洛倫茲坐標(biāo)變換式的推導(dǎo)

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Xu04/20/2010

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Lorentztransformation

洛倫茲坐標(biāo)變換式的推導(dǎo)OzxySO'z'(x')y'S'uP(x,y,z)(x',y',z')時(shí)空變換關(guān)系必須滿足

兩個(gè)基本假設(shè)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)速率遠(yuǎn)小于真空中的光速，新時(shí)空變換能退化到伽利略變換t時(shí)刻，對(duì)慣性系S有對(duì)慣性系S'

，根據(jù)光速不變?cè)?，有在兩個(gè)參考系中兩者形式完全相同!設(shè)S'

系相對(duì)S

系的速度為u對(duì)O'：對(duì)O:x(x')OO'變換關(guān)系(線性)a,b,d,e

待定系數(shù)設(shè)洛倫茲坐標(biāo)變換式具有以下形式比較兩式，有討論反映空間測(cè)量與時(shí)間測(cè)量相互影響，相互制約(1)

t'的數(shù)值不僅與t的數(shù)值有關(guān)，而且與x有關(guān)。例如，測(cè)量空間和時(shí)間事件1事件2時(shí)間間隔空間間隔(2)當(dāng)u<<c洛倫茲變換簡(jiǎn)化為伽利略變換式在低速情況下，相對(duì)論時(shí)空觀可由絕對(duì)時(shí)空觀替代(3)光速是各種物體運(yùn)動(dòng)的一個(gè)極限速度虛數(shù)（洛倫茲變換失去意義）任何物體的運(yùn)動(dòng)都不會(huì)超過光速如圖所示，棒AB

的B端位于x軸上x0處，其與x軸的夾角為?，F(xiàn)棒AB以恒定速度v

(v<c

)沿y軸向上做平動(dòng)，試求棒與x軸交點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度V。OSxyABv思考題?三.時(shí)序假設(shè)事件1先與事件2發(fā)生1.兩獨(dú)立事件間的時(shí)序時(shí)序不變同時(shí)發(fā)生時(shí)序顛倒?2.

同地發(fā)生的兩事件間的時(shí)序時(shí)序不變?3.因果律事件OSxv子彈傳遞速度(平均速度)因果律事件間的時(shí)序不會(huì)顛倒例一短跑選手在地面上以10s

的時(shí)間跑完100m。一飛船沿同一方向以速率u=0.8c飛行。求(1)飛船參考系上的觀測(cè)者測(cè)得百米跑道的長(zhǎng)度和選手跑過的路程；(2)飛船參考系上測(cè)得選手的平均速度

。

解設(shè)地面參考系為S系，飛船參考系為S'，選手起跑為事件“1”，到終點(diǎn)為事件“2”，依題意有(1)S系中測(cè)得跑道長(zhǎng)度100m

為原長(zhǎng)l0

，S'系中測(cè)得跑道長(zhǎng)度l為運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)度，由長(zhǎng)度收縮公式有選手從起點(diǎn)到終點(diǎn)，這一過程在S'系中對(duì)應(yīng)的空間間隔為x'，根據(jù)空間間隔變換式得因此，

S'系中測(cè)得選手跑過的路程為(2)

S'系中測(cè)得選手從起點(diǎn)到終點(diǎn)的時(shí)間間隔為

t'，由洛侖茲變換得S'系中測(cè)得選手的平均速度為例北京和上海相距1000km，北京站的甲火車先于上海站的乙火車1.0×10-3s發(fā)車?，F(xiàn)有一艘飛船沿從北京到上海的方向從高空掠過，速率恒為u=0.6c

。試求宇航員參考系中測(cè)得的甲乙兩列火車發(fā)車的時(shí)間間隔，哪一列先開?求宇航員參考系中測(cè)得的甲乙兩列火車發(fā)車的時(shí)間間隔，哪一列先開?解取地面為

S系，和飛船一起運(yùn)動(dòng)的參考系為S

系，北京站為坐標(biāo)原點(diǎn)，北京至上海方向?yàn)閤

軸正方向，依題意有OxSzyuS'

O'

t'<0，說明上海站的乙火車先開，時(shí)序顛倒。若北京站的另一列丙火車先于北京站的乙火車1.0×10-3s發(fā)車，則宇航員參考系中測(cè)得哪一列火車先開？由洛侖茲坐標(biāo)變換，S

測(cè)得甲乙兩列火車發(fā)車的時(shí)間間隔為例宇宙飛船以0.8c

速度遠(yuǎn)離地球(退行速度u=0.8c

)，在此過程中飛船向地球發(fā)出兩個(gè)閃光信號(hào)，其時(shí)間間隔為t0

.求地球上接收到它發(fā)出的兩個(gè)光信號(hào)間隔tR

.解令宇宙飛船為S'系，地面為S系，光信號(hào)由O'點(diǎn)發(fā)出。OO'x(

x′)1O'2t'1t1t'2t2？由洛侖茲坐標(biāo)變換定義:§15.5狹義相對(duì)論的速度變換定理得整理得請(qǐng)大家自己寫出速度的逆變換式一宇宙飛船以速度

u

遠(yuǎn)離地球沿x

軸方向飛行，發(fā)現(xiàn)飛船前方有一棒形不明飛行物，平行于x軸。飛船上測(cè)得此物長(zhǎng)為l

'

，速度大小為

v

'

，方向沿x

軸正向。令地球參照系為

S

系，飛船為S

'

系，不明飛行物為S''

系，在S''

系中測(cè)得的不明飛行物的長(zhǎng)度為原長(zhǎng)l

0

，則由長(zhǎng)度收縮公式有地面參考系上觀測(cè)者測(cè)得此物長(zhǎng)度。例解求例解求飛船A,B

相對(duì)于地面分別以0.6c和0.8c

的速度相向而行。(1)飛船A

上測(cè)得地球的速度；(2)飛船A

上測(cè)得飛船B

的速度；(3)地面上測(cè)得飛船

A

和飛船B

的相對(duì)速度。(1)根據(jù)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性，飛船

A上測(cè)得地球的速度為:0.6c(2)設(shè)地面為S

系，飛船A

為S'系，S'系相對(duì)與S

系的速度為u=0.6c.依題意飛船

B

在S系中的速度v=-0.8c，由洛侖茲速度變換，S'系(飛船

A)測(cè)得飛船

B

的速度為(3)地面上測(cè)得飛船

A和飛船B

的相對(duì)速度為（第三者觀測(cè)