反饋控制系統(tǒng)

反饋控制系統(tǒng)反饋控制的原理在以上反饋裝置中，發(fā)電機(jī)為被控對(duì)象，其端電壓U為被控量，實(shí)現(xiàn)控制的設(shè)備稱(chēng)為控制器，被控對(duì)象與控制器組成的系統(tǒng)稱(chēng)為控制系統(tǒng)。先從被控對(duì)象獲取信息，反過(guò)來(lái)又把調(diào)節(jié)被控量的作用饋送給被控對(duì)象，這種控制方法稱(chēng)為反饋控制，按被控量偏離整定值的方向而向相反方向改變控制量的反饋稱(chēng)為負(fù)反饋。其中信息的傳送途徑是一個(gè)自身閉合的環(huán)，稱(chēng)為閉環(huán)。反饋控制系統(tǒng)＝被控對(duì)象＋控制器包括以下基本部件：量測(cè)元件整定元件，電源U0。

比較元件放大元件，放大器8。執(zhí)行元件，執(zhí)行電動(dòng)機(jī)5。校正元件能源元件，放大器所用電源。反饋控制系統(tǒng)的構(gòu)成執(zhí)行機(jī)構(gòu)控制對(duì)象控制器-期望電壓實(shí)際電壓發(fā)電機(jī)電壓閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)負(fù)反饋：使系統(tǒng)的輸出值與目標(biāo)值的偏差愈來(lái)愈小正反饋：使系統(tǒng)的輸出值與目標(biāo)值的偏差愈來(lái)愈大正反饋和負(fù)反饋正反饋并不都是不好的，有的系統(tǒng)需要正反饋的作用。如原子彈引爆裝置中要用到的裂變鏈?zhǔn)椒磻?yīng)。又如在植物保護(hù)中，為了消滅有害的昆蟲(chóng)，大量繁殖這種害蟲(chóng)的天敵。

一個(gè)軍士每天早晨9點(diǎn)鐘路過(guò)珠寶店時(shí)，都與櫥窗里的精密時(shí)鐘對(duì)表。一天，這個(gè)軍士走進(jìn)店內(nèi)，向店主恭維那只精密時(shí)鐘的準(zhǔn)確性?！八遣皇前凑瞻⒘诸D的時(shí)間信號(hào)精確對(duì)時(shí)的？”軍士問(wèn)。“不，”店主說(shuō)，“我每天下午5點(diǎn)按照城堡的鳴炮聲來(lái)調(diào)鐘。告訴我，軍士，為什么你每天都要停下來(lái)對(duì)表呢？”軍士答道：“我是城堡中的炮手！”在這個(gè)故事中，是正反饋還是負(fù)反饋占優(yōu)勢(shì)？若這個(gè)珠寶店的“精密”時(shí)鐘每24小時(shí)慢2分鐘，軍士的表每8小時(shí)慢3分鐘的話，那么12天后，城堡中鳴炮的時(shí)間誤差是多少？實(shí)例分析1：軍士與店主系統(tǒng)的穩(wěn)定性

穩(wěn)定性的定義

穩(wěn)定性可以這樣定義：當(dāng)一個(gè)實(shí)際的系統(tǒng)處于一個(gè)平衡的狀態(tài)時(shí)（就相當(dāng)于小球在木塊上放置的狀態(tài)一樣）如果受到外來(lái)作用的影響時(shí)（相當(dāng)于對(duì)小球施加的力），系統(tǒng)經(jīng)過(guò)一個(gè)過(guò)渡過(guò)程仍然能夠回到原來(lái)的平衡狀態(tài)，我們稱(chēng)這個(gè)系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，否則稱(chēng)系統(tǒng)不穩(wěn)定。一個(gè)控制系統(tǒng)要想能夠?qū)崿F(xiàn)所要求的控制功能就必須是穩(wěn)定的。穩(wěn)定性的萌芽思想

2000年前，漢朝的淮南王劉安

《淮南子?說(shuō)山訓(xùn)》：“下輕上重，其覆必易”；

宋朝沈括在

《夢(mèng)溪筆談》中把這種觀察到的事實(shí)付諸于應(yīng)用，他在《忘懷錄》中指出：“安車(chē)車(chē)輪不欲高，高則搖”；類(lèi)似穩(wěn)定，至少可以追溯1500年前到晉書(shū)上所述“行人安穩(wěn)，布帆無(wú)恙”；西方“stable”源出于拉丁文“stabilis”，表示堅(jiān)持、保持的意思；以上說(shuō)法與觀念表現(xiàn)了對(duì)穩(wěn)定這一概念的最初理解。穩(wěn)定性科學(xué)概念的發(fā)展

18世紀(jì)下半葉到19世紀(jì)末，發(fā)生了一些具有深遠(yuǎn)影響的事件，從中人們可以看到穩(wěn)定性理論產(chǎn)生的必然性。

J.Watt1765改進(jìn)了T.Newcomen

發(fā)明的蒸氣機(jī)，引發(fā)了工業(yè)革命；

J.L.Lagrange1780年出版

《分析力學(xué)》，科學(xué)地討論了平衡位置的穩(wěn)定性；

C.Hermite1856年建立了關(guān)于多項(xiàng)式對(duì)根交錯(cuò)的理論；J.C.Maxwell1868年發(fā)表的“論調(diào)節(jié)器”，討論了蒸氣機(jī)自動(dòng)調(diào)速器與時(shí)鐘機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性；A.L.Cauchy在19世紀(jì)給出了關(guān)于極限描述的－，－N語(yǔ)言；H.Poincare在微分方程定義的積分曲線和天體力學(xué)方面作出了貢獻(xiàn)；G.Peano，I.Bendixson和G.Darboux微分方程解對(duì)初值及參數(shù)連續(xù)依賴性的研究。上述這些重要事件及相關(guān)科學(xué)的進(jìn)展促成了19世紀(jì)末穩(wěn)定性理論的兩個(gè)主要學(xué)派的形成。

穩(wěn)定性科學(xué)概念的發(fā)展

Routh-Hurwitz（1875，1895）通過(guò)判斷系統(tǒng)的特征根是否在左半平面判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定；A.M.Lyapunov1892發(fā)表著名的博士論文《運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性一般問(wèn)題》，通過(guò)考察系統(tǒng)能量是否衰減來(lái)判定穩(wěn)定性。兩個(gè)主要學(xué)派

設(shè)一個(gè)單輸入單輸出的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)可用以下線性微分方程表示：

Laplace變換則G(s)稱(chēng)為該動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，一個(gè)線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是零初值條件下輸出量的Laplace變換與輸入量的Laplace變換之比。d(s)稱(chēng)為特征多項(xiàng)式，d(s)＝0稱(chēng)為特征方程，其根稱(chēng)為特征根，即傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。n(s)的零點(diǎn)稱(chēng)為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。對(duì)于用狀態(tài)空間描述的系統(tǒng)我們可以利用系統(tǒng)的特征根來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，以下例說(shuō)明，設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：它的特征方程：的根是：則系統(tǒng)的解可以表示為：是方程的一個(gè)特解，由輸入u(t)確定。前兩項(xiàng)是相應(yīng)的齊次方程的通解，其中A,B,是待定常數(shù)，由初始條件確定。經(jīng)充分長(zhǎng)時(shí)間以后，系統(tǒng)的解終將進(jìn)入的無(wú)限小領(lǐng)域，即完全由輸入量確定而與初始條件無(wú)關(guān)。這在工程上認(rèn)為系統(tǒng)進(jìn)入了靜態(tài)，對(duì)應(yīng)的特解稱(chēng)為靜態(tài)解或穩(wěn)態(tài)解，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：其全部特征根都位于復(fù)平面的左半平面！一階系統(tǒng)

當(dāng)u(t)=1時(shí)候，系統(tǒng)有一個(gè)靜態(tài)解x(t)=K，其通解為：u(t)＝1靜態(tài)解對(duì)應(yīng)的特征方程通解二階系統(tǒng)

當(dāng)a0不等于零時(shí)，如果取u(t)=1，系統(tǒng)有靜態(tài)解

系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式

的根全部都在左半平面時(shí)，系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于u(t)＝1的所有解當(dāng)t＋時(shí)都趨于靜態(tài)解

。高階系統(tǒng)

構(gòu)造Hurwitz行列式D設(shè)系統(tǒng)的特征方程為其Hurwitz行列式為：在上例中，其Hurwitz行列式的各階主子式均大于0，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。以三階系統(tǒng)為例，特征方程為Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)：全部特征根都位于左半平面的充分必要條件是Hurwitz行列式的各階主子式均大于0。

設(shè)G(s)=n(s)/d(s),d(s),n(s)分別是n次，m次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，n>m，d(s)在右半平面有p個(gè)零點(diǎn)，在虛軸上無(wú)零點(diǎn)，那么上圖所示的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)由－到＋時(shí)G(j)繞(－1/k，0)點(diǎn)p圈。當(dāng)G(s)穩(wěn)定時(shí)，即d(s)的根均在開(kāi)左半平面，則上圖所示的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)由－到＋時(shí)不包含（－1/k，0）在內(nèi)部。

Nyquist判據(jù)-G(s)k例：x1x2漸近穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定（1）穩(wěn)定：從小圓內(nèi)出發(fā)的解總離不開(kāi)大圓；（2）漸近穩(wěn)定：從小圓內(nèi)出發(fā)的解不但不離開(kāi)大圓，隨著時(shí)間無(wú)限增大，收斂于原點(diǎn)；對(duì)于任意給定的大圓，總能找到一個(gè)小圓，使得：若存在一個(gè)大圓，無(wú)論小圓的半徑多?。?）不穩(wěn)定：由小圓內(nèi)出發(fā)的解跑到大圓外。二階系統(tǒng)：例：(1)確定平衡點(diǎn)，可得(2)尋找正定的Lyapunov函數(shù)(3)判定的負(fù)定性顯然有，因此系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。如何用Lyapunov方法判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性？例：(1)試選正定的Lyapunov函數(shù)則是不定的，不能提供穩(wěn)定性的信息。則，因此系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。(2)另選正定的Lyapunov函數(shù)則，可知系統(tǒng)至少是穩(wěn)定的。(3)再選正定的Lyapunov函數(shù)選擇合適的Lyapunov函數(shù)！實(shí)例分析2：傳染病的傳播將被調(diào)查人數(shù)分為3類(lèi)，其人數(shù)分別記為x1,x2,x3,x1表示易受感染人數(shù)，x2表示已染病人數(shù)，x3表示從最初人群中剔除出去的人數(shù)，其原因可能是接受了免疫治療，也可能是與傳染病源相隔離，還可能是已經(jīng)死亡。描述傳染病傳播過(guò)程的反饋系統(tǒng)狀態(tài)微分方程為：其中u1,u2分別為新加入易受感染者和新加入染病者的速率。寫(xiě)成矩陣形式當(dāng)時(shí)，特征方程的兩個(gè)根都位于s平面的左半平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。研究一個(gè)封閉的被調(diào)查人群，令u1(t)=u2(t)=0，得到系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為x1=x2=0，為確定該傳染病能否在人群中根除，即平衡點(diǎn)能否穩(wěn)定，考察系統(tǒng)的特征方程實(shí)例分析3：倒立擺系統(tǒng)水平方向受力之和：鉸接點(diǎn)處的轉(zhuǎn)矩之和：選擇狀態(tài)變量：可得經(jīng)運(yùn)算可得一階微分方程組系統(tǒng)矩陣方程為：生態(tài)系統(tǒng)中的生物有出生和死亡，遷入和遷出；無(wú)機(jī)環(huán)境也在不斷變化，因此，生態(tài)系統(tǒng)總是在發(fā)展變化的。生態(tài)系統(tǒng)發(fā)展到一定階段，它的結(jié)構(gòu)和功能能夠保持相對(duì)穩(wěn)定。生態(tài)系統(tǒng)所具有的保持或恢復(fù)自身結(jié)構(gòu)和功能相對(duì)穩(wěn)定的能力，叫做生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例如，當(dāng)氣候干旱時(shí)，森林中的動(dòng)植物種類(lèi)和數(shù)量一般不會(huì)有太大的變化，這說(shuō)明森林生態(tài)系統(tǒng)具有抵抗氣候變化、保持自身相對(duì)穩(wěn)定的能力。生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性包括抵抗力穩(wěn)定性和恢復(fù)力穩(wěn)定性等方面。

生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性抵抗力穩(wěn)定性是指生態(tài)系統(tǒng)抵抗外界干擾并使自身的結(jié)構(gòu)和功能保持原狀的能力。生態(tài)系統(tǒng)之所以具有抵抗力穩(wěn)定性，是因?yàn)樯鷳B(tài)系統(tǒng)內(nèi)部具有一定的自動(dòng)調(diào)節(jié)能力。例如，河流受到輕微的污染時(shí)，能通過(guò)物理沉降、化學(xué)分解和微生物的分解，很快消除污染，河流中生物的種類(lèi)和數(shù)量不會(huì)受到明顯的影響。再比如在森林中，當(dāng)害蟲(chóng)數(shù)量增加時(shí)，食蟲(chóng)鳥(niǎo)類(lèi)由于食物豐富，數(shù)量也會(huì)增多，這樣害蟲(chóng)種群的增長(zhǎng)就會(huì)受到抑制。

抵抗力穩(wěn)定性恢復(fù)力穩(wěn)定性是指生態(tài)系統(tǒng)在遭到外界干擾因素的破壞以后恢復(fù)到原狀的能力。河流被嚴(yán)重污染后，導(dǎo)致水生生物大量死亡，使河流生態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和功能遭到破壞。如果停止污染物的排放，河流生態(tài)系統(tǒng)通過(guò)自身的凈化作用，還會(huì)恢復(fù)到接近原來(lái)的狀態(tài)。再比如，一片草地上發(fā)生火災(zāi)后，第二年就又長(zhǎng)出茂密的草本植物，動(dòng)物的種類(lèi)和數(shù)量也能很快恢復(fù)?；謴?fù)力穩(wěn)定性對(duì)一個(gè)生態(tài)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，抵抗力穩(wěn)定性與恢復(fù)力穩(wěn)定性之間往往存在著相反的關(guān)系。抵抗力穩(wěn)定性較高的生態(tài)系統(tǒng)，恢復(fù)力穩(wěn)定性就較低，反之亦然。例如，森林生態(tài)系統(tǒng)的抵抗力穩(wěn)定性比草原生態(tài)系統(tǒng)的高，但是它的恢復(fù)力穩(wěn)定性要比草原生態(tài)系統(tǒng)低得多。熱帶雨林一旦遭到嚴(yán)重破壞(如亂砍濫伐)，要想再恢復(fù)原狀就非常困難了。生態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性的保護(hù)