導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)的核心概念

導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)的核心概念,是研究函數(shù)§1

導(dǎo)數(shù)的概念一、導(dǎo)數(shù)的概念化率”,就離不開導(dǎo)數(shù).三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、導(dǎo)函數(shù)態(tài)的有力工具.無論何種學(xué)科,只要涉及“變與自變量關(guān)系的產(chǎn)物,又是深刻研究函數(shù)性返回一、導(dǎo)數(shù)的概念一般認(rèn)為,求變速運(yùn)動的瞬時速度，求已知曲線別在研究瞬時速度和曲線的牛頓(1642－1727,英國)兩個關(guān)于導(dǎo)數(shù)的經(jīng)典例子.切線時發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的.下面是微分學(xué)產(chǎn)生的三個源頭.牛頓和萊布尼茨就是分上一點處的切線，求函數(shù)的最大、最小值，這是艾薩克?牛頓

(1643~1727)

爵士，英國皇家學(xué)會會員，英格蘭物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、自然哲學(xué)家和煉金術(shù)士。牛頓(1642–1727)偉大的英國數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,天文學(xué)家和自然科學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù)(微分)術(shù),次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成《流數(shù)術(shù)與無窮級數(shù)》一書(1736年出版).他還著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和《廣義算術(shù)》等.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束萊布尼茲(1646–1716)德國數(shù)學(xué)家,哲學(xué)家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人,他在《學(xué)藝》雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的早于牛頓,所用微積分符號也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓.他還設(shè)計了作乘法的計算機(jī),系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計數(shù)法,并把它與中國的八卦聯(lián)系起來.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1.

瞬時速度設(shè)一質(zhì)點作直線運(yùn)動,質(zhì)點的位置s

是當(dāng)t越來越接近t0時，平均速度就越來越接近t0時間t的函數(shù),即其運(yùn)動規(guī)律是則在某(1)時刻的瞬時速度.嚴(yán)格地說,當(dāng)極限時刻t0及鄰近時刻t之間的平均速度是2.

切線的斜率如圖所示,存在時,這個極限就是質(zhì)點在t0時刻的瞬時速度.其上一點

P(x0,y0)處的切線點擊上圖動畫演示點Q,作曲線的割線PQ，這PT.為此我們在P的鄰近取一需要尋找曲線y=f(x)

在條割線的斜率為答:它就是曲線在點

P的切線

PT的斜率.的極限若存在，則這個極限會是什么呢？設(shè)想一下,當(dāng)動點

Q沿此曲線無限接近點

P時，(2)上面兩個問題雖然出發(fā)點相異，但都可歸結(jié)為同x0

處關(guān)于x的瞬時變化率(或簡稱變化率).均變化率，增量比的極限(如果存在)稱為f在點的極限.這個增量比稱為函數(shù)f關(guān)于自變量的平

Dy=f(x)–f(x0)與自變量增量

Dx=

x–xo

之比一類型的數(shù)學(xué)問題：求函數(shù)f

在點x0處的增量定義1設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，如果極限存在,則稱函數(shù)

f在點

x0

可導(dǎo),

該極限稱為

f在如果令

Dx

=

x–

x0,Dy

=f(x0

+Dx)–f(x0),導(dǎo)數(shù)就x0

的導(dǎo)數(shù)，記作可以寫成這說明導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量

Dy與自變量增量

Dx之比例1求函數(shù)y=

x3在x=

1處的導(dǎo)數(shù)，并求該曲線在點

P(1,1)的切線方程.解的極限,即

就是

f(x)關(guān)于

x在

x0處的變化點x0不可導(dǎo).率.如果(3)或(4)式的極限不存在,則稱在由此可知曲線y=x3在點

P(1,1)

的切線斜率為所以于是所求切線方程為即例2常量函數(shù)f(x)=c在任何一點x的導(dǎo)數(shù)都為例3證明函數(shù)f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo).證因為時它的極限不存在,所以

f(x)

在x=0當(dāng)零.這是因為Dy

0，所以處不可導(dǎo).例4

證明函數(shù)在x=0處不可導(dǎo).不存在極限,所以

f在

x=0處不可導(dǎo).證因為當(dāng)時,(5)式稱為

f(x)在點

x0的有限增量公式,

這個公有限增量公式

設(shè)

f(x)在點

x0可導(dǎo)，則這樣,函數(shù)f(x)的增量可以寫成根據(jù)有限增量公式即可得到下面定理.時的無窮小量，于是

e

Dx=o(Dx).是當(dāng)式對

Dx

=0仍然成立.定理5.1

如果函數(shù)

f在點

x0可導(dǎo),則

f在點

x0連續(xù).值得注意的是函數(shù)在某點連續(xù)僅是函數(shù)在該點可其中

D(x)是熟知的狄利克雷函數(shù).例5證明函數(shù)

僅在

x=0處可導(dǎo),

處連續(xù)，卻不可導(dǎo).導(dǎo)的必要條件.如例3、例4中的函數(shù)均在x=0不連續(xù),由定理

5.1,f(x)在點

x0不可導(dǎo).由于導(dǎo)數(shù)是一種極限,因此如同左、右極限那樣,所以有當(dāng)

x0=0時,因為證當(dāng)時,用歸結(jié)原理容易證明

f(x)在點

x0可以定義左、右導(dǎo)數(shù)(單側(cè)導(dǎo)數(shù)).存在，則稱該極限為f(x)在點

x0的右導(dǎo)數(shù),

記作類似地可以定義左導(dǎo)數(shù),合起來即為:上有定義，如果右極限定義2

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點的某個右鄰域右導(dǎo)數(shù)和左導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù).定理5.2

如果函數(shù)

y=f(x)在點

x0的某個鄰域內(nèi)有在討論分段函數(shù)在分段點上的可導(dǎo)性時,本結(jié)論定義，則存在的充要條件是都存在，且很有用處，請看下面例題.類比左、右極限與極限的關(guān)系，我們有：例6設(shè)試討論f(x)在

x=0處的左、右導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù).解容易看到f(x)在

x=0處連續(xù).又因

所以故f(x)在

x=0處不可導(dǎo).二、導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)f在區(qū)間I上的每一點都可導(dǎo)(對于區(qū)間(7)即導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù),記作定義了一個在區(qū)間I上的函數(shù)，稱為f在I上的則稱f為區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù).此時,對I上的任端點考慮相應(yīng)的單側(cè)導(dǎo)數(shù),如左端點考慮右導(dǎo)數(shù)),僅為一個記號，學(xué)了微分之后就會知注

這里意一點x都有f的一個導(dǎo)數(shù)與之對應(yīng),這就道，這個記號實質(zhì)是一個“微分的商”.例7求函數(shù)y=xn

的導(dǎo)數(shù)，n為正整數(shù).解由于相應(yīng)地，也可表示為因此例8證明:我們只證明

(i)的第二式和

(iii).

證(i)由于上的連續(xù)函數(shù)，所以(iii)由于因此特別有三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線的方程是記a為切線與x軸正向的夾角，則f￠(x0)=tana.(8)在用幾何問題引出導(dǎo)數(shù)概念時,已知是曲線處切線的斜率.在點所以該由此可知,

f￠(x0)>0說明

a是銳角;f￠(x0)<0說明a是鈍角;點擊上圖動畫演示則曲線

y=f(x)在點

P的切線垂直于

x軸，此時符合上述特征,故在該點11特別要注意，如果

在點

連續(xù),

且如右圖所示,曲為在點

(1,0)處線處的切線為y=f(x)在點

P的切線方程例9

求曲線

y=ln

x在其上任一點

P(x0,ln

x0)處的切線和法線方程.解因此

y=

lnx

在點

P的切線方程和法線方程分別為方程.例10

求曲線在點

P(0,0)處的切線和法線在點

P(0,0)處的切線、法線方程分所以別為解由于在處連續(xù),且與瞬時變化率有關(guān)的物理問題還有很多，例如瞬率，即時電流強(qiáng)度

i(t)是通過導(dǎo)線截面電量

q(t)的變化質(zhì)量分布不均勻的金屬絲，以

m(x)表示從

0到

x的質(zhì)量，則它在

x處的線密度

r(x)是

m(x)在

x處的變化率，即除了上面介紹的幾何和物理問題外，導(dǎo)數(shù)在其他定義3

如果函數(shù)

f在點

x0的某個鄰域

U(x0)上對一切

x?U(x0)有則稱函數(shù)

f在

x0處取得極大(或極小)值,稱點

x0值,極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點.為極大(或極?。┲迭c.極大值、極小值統(tǒng)稱為極領(lǐng)域(如經(jīng)濟(jì)、化學(xué)、生物等)也有廣泛的應(yīng)用.如圖，函數(shù)

在

處取極小值,在○·外,在處是極值點.切線,但它不雖然也有水平足為奇的.此現(xiàn)象,那是不因此如果出現(xiàn)某一極大值反而小于另一極小值的處取極大值.由于極值是一個局部性概念,例11證由右導(dǎo)數(shù)的定義:與極限保號性，推知存在

>0,使得(9)再由,得

于是

(9)式成立.根據(jù)例11，可得如下重要定理：設(shè)函數(shù)

f在點

x0的某鄰域內(nèi)有定義,且在點

x0可定理

5.3(費(fèi)馬定理)導(dǎo).如果

x0

是

f的極值點，則必有使得類似地，若上述定理的幾何意義：如果

f在極值

x=x0處可導(dǎo)，則該點處的切線平行于

x軸.稱滿足方程f￠(x)=0的點為f

的穩(wěn)定點.注穩(wěn)定點不一定都是極值點，如

x

=0是

y=x3不是穩(wěn)定點(因為它在x

=0處不可導(dǎo)

).都是穩(wěn)定點,如x

=0

是y=|x|的極小值點,但的穩(wěn)定點,但不是極值點.反之,極值點也不一定費(fèi)馬

(Fermat,P.

1601-1665,

法國)達(dá)布(Darboux,J.G.1842-1917,法國

)費(fèi)馬(Fermat，PierredeFermat)

(1601～1665）法國數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王。”

費(fèi)馬的貢獻(xiàn)：◆對解析幾何費(fèi)馬獨(dú)立于笛卡兒發(fā)現(xiàn)了解析幾何的基本原理?！魧ξ⒎e分的貢獻(xiàn)

費(fèi)馬建立了求切線、求極大值和極小值以及定積分方法，對微積分做出了重大貢獻(xiàn)?！魧Ω怕收摰呢暙I(xiàn)

建立了概率論的基本原則——數(shù)學(xué)期望的概念?！魧?shù)論的貢獻(xiàn)