自動(dòng)控制原理-暫態(tài)性能分析

本章的主要內(nèi)容3.1穩(wěn)定性分析3.2暫態(tài)性能分析3.3穩(wěn)定性能分析3.4MATLAB輔助分析控制系統(tǒng)時(shí)域性能3.2.1

典型輸入信號(hào)及性能指標(biāo)

一個(gè)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，不僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，而且還同系統(tǒng)的初始狀態(tài)以及加在系統(tǒng)上的外作用信號(hào)有關(guān)。為了分析和比較控制系統(tǒng)的優(yōu)劣，通常對(duì)初始狀態(tài)和外作用信號(hào)做一些典型化處理。初始狀態(tài)：零狀態(tài)外作用：一、典型輸入信號(hào)1．階躍函數(shù)其表達(dá)式為當(dāng)a=1時(shí)，稱為單位階躍函數(shù)，記作1(t)，則有

單位階躍函數(shù)的拉氏變換為

2．速度函數(shù)（斜坡函數(shù)）

其表達(dá)式為

當(dāng)a=1時(shí)，r(t)=t，稱為單位速度函數(shù)，其拉氏變換為

3．加速度函數(shù)（拋物線函數(shù)）

其表達(dá)式為

當(dāng)a=1/2時(shí)，稱為單位加速度函數(shù)，其拉氏變換為

4．脈沖函數(shù)

其表達(dá)式為

單位脈沖函數(shù)δ(t)，其數(shù)學(xué)描述為單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為

5．正弦函數(shù)

其表達(dá)式為

其拉氏變換為

3.2.2暫態(tài)性能指標(biāo)

分析時(shí)假定控制系統(tǒng)是單位反饋的、初始條件為零、給定輸入為單位階躍函數(shù)。

控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，從時(shí)間順序上，可以劃分為過渡過程和穩(wěn)態(tài)過程。過渡過程是指系統(tǒng)從初始狀態(tài)到接近最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。穩(wěn)態(tài)過程是指時(shí)間趨于無窮時(shí)系統(tǒng)的輸出狀態(tài)?？刂葡到y(tǒng)單位階躍輸入單位階躍響應(yīng)初始條件為零

105%的穩(wěn)態(tài)值響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值典型的單位階躍響應(yīng)曲線（衰減振蕩形式）

（1）（最大）超調(diào)量

5%的穩(wěn)態(tài)值響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值3.2.2暫態(tài)性能指標(biāo)系統(tǒng)對(duì)于超調(diào)量的要求對(duì)一般系統(tǒng)，總希望超調(diào)量較小。但常常希望系統(tǒng)有一點(diǎn)超調(diào)，以增加系統(tǒng)的快速性。例如，在電動(dòng)機(jī)調(diào)速系統(tǒng)中，電動(dòng)機(jī)速度有一點(diǎn)超調(diào)是容許的，這時(shí)電動(dòng)機(jī)速度跟蹤特性較好。對(duì)不可逆系統(tǒng)，系統(tǒng)不能出現(xiàn)超調(diào)，例如，在水泥攪拌控制系統(tǒng)中，含水量不能過量，因?yàn)榭刂葡到y(tǒng)只能加水，而不能排水。機(jī)床刀架系統(tǒng)。5%的穩(wěn)態(tài)值響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值（2）（最大）超調(diào)時(shí)間

（3）上升時(shí)間

（4）調(diào)節(jié)時(shí)間

5%的穩(wěn)態(tài)值響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值典型的單位階躍響應(yīng)曲線（非衰減振蕩形式）90%的穩(wěn)態(tài)值上升時(shí)間超調(diào)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間快速性超調(diào)量

穩(wěn)態(tài)誤差平穩(wěn)性最終(穩(wěn)態(tài))精度3.2.3一階系統(tǒng)的暫態(tài)性能分析

為什么要研究典型系統(tǒng)的性能分析？現(xiàn)實(shí)中存在大量的系統(tǒng)，他們本身就屬于典型的一階或二階系統(tǒng)。（溫度計(jì)系統(tǒng)，單自由度機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)等等）大量的高階、復(fù)雜系統(tǒng)可以在一定的近似范圍內(nèi)簡(jiǎn)化為典型的系統(tǒng)，以便于系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)。在校正系統(tǒng)時(shí)，往往把系統(tǒng)設(shè)計(jì)成一個(gè)典型的系統(tǒng)。分析和理解高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)的基礎(chǔ)。一階系統(tǒng)R(s)=1/sC(s)r(t)c(t)微分方程：傳遞函數(shù)：Kt一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：Kt2.3T3T一階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)

（1）上升時(shí)間（2）調(diào)節(jié)時(shí)間

95%

設(shè)K=1，取不同的時(shí)間常數(shù)T,對(duì)于系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的影響。T=1T=3T=7T=9T=5t參數(shù)K，T對(duì)于一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的影響設(shè)T=3，取不同的K，對(duì)于系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的影響。K=10K=7K=4K=1tKT小結(jié)：一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是單調(diào)上升的。因而，不存在超調(diào)量?？梢杂蒙仙龝r(shí)間或者調(diào)節(jié)時(shí)間來作為動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。為了提高一階系統(tǒng)的快速響應(yīng)和跟蹤能力，應(yīng)該減少系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)T。

單位階躍輸入，一階系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)值為K，穩(wěn)態(tài)值與T無關(guān)。

3.2.4典型二階系統(tǒng)的暫態(tài)性能

為系統(tǒng)的阻尼比，為無阻尼自然振蕩頻率。1、典型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：二階系統(tǒng)R(s)=1/sC(s)r(t)c(t)閉環(huán)傳遞函數(shù)寫成如下一般形式

其閉環(huán)特征方程為

方程的特征根為

2、典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)阻尼比的取值不同，二階系統(tǒng)的特征根(閉環(huán)極點(diǎn))在s平面上的分布：欠阻尼狀態(tài)臨界阻尼狀態(tài)

過阻尼狀態(tài)零阻尼狀態(tài)負(fù)阻尼狀態(tài)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

1.過阻尼>1的情況

系統(tǒng)閉環(huán)特征方程有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根。

式中

于是閉環(huán)傳遞函數(shù)為

因此，過阻尼二階系統(tǒng)可以看成兩個(gè)時(shí)間常數(shù)不同的慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)。

當(dāng)輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)

系統(tǒng)的輸出

取C(s)的拉氏反變換，得到單位階躍響應(yīng)

穩(wěn)態(tài)分量為1，動(dòng)態(tài)分量為兩項(xiàng)指數(shù)項(xiàng)。過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線2.臨界阻尼=1的情況

系統(tǒng)具有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根s1,2=-n。

所以

取C(s)的拉氏反變換，得臨界阻尼下二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

3.欠阻尼0<<1的情況

欠阻尼二階系統(tǒng)具有一對(duì)實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根，時(shí)間響應(yīng)呈衰減振蕩特性，故又稱為振蕩環(huán)節(jié)。

系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為

特征根為一對(duì)共軛復(fù)根衰減系數(shù)d有阻尼振蕩頻率當(dāng)輸入信號(hào)為單位階躍作用時(shí)

取C(s)的拉氏變換，得欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

或者寫成

式中

或

系統(tǒng)的響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和動(dòng)態(tài)分量?jī)刹糠纸M成，穩(wěn)態(tài)分量的值等于1，動(dòng)態(tài)分量是一個(gè)隨時(shí)間t的增長(zhǎng)而衰減的振蕩過程。

欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線

二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的通用曲線

t小結(jié)：當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的輸出為正弦曲線。這種情況稱為無阻尼振蕩，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)為欠阻尼振蕩狀態(tài)。增加，將減少系統(tǒng)的振蕩，減少超調(diào)量；但上升時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間加大。當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)為臨界阻尼狀態(tài)，這是總能保持系統(tǒng)的輸出值小于1的最小阻尼值。當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)為過阻尼狀態(tài)，在增加時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)減慢。當(dāng)自然頻率增加時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)速度加快但是系統(tǒng)響應(yīng)的峰值保持不變，超調(diào)量由阻尼系數(shù)唯一確定。三（欠阻尼）二階系統(tǒng)性能指標(biāo)計(jì)算

1.上升時(shí)間

由定義知：為輸出響應(yīng)第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需時(shí)間，所以應(yīng)取n=1。當(dāng)一定時(shí)，越小，越小；當(dāng)一定時(shí)，越大，越小。2.超調(diào)時(shí)間對(duì)上式兩邊求導(dǎo)，并令其等于0，得：代入

按的定義，應(yīng)取n=1。當(dāng)一定時(shí)，越小，越??；當(dāng)一定時(shí)，越大，越小。

與有類似的表現(xiàn)。3.超調(diào)量

與的關(guān)系曲線

增大，減小。通常，為了獲得良好的平穩(wěn)性和快速性，阻尼比取在0.4-0.8之間,相應(yīng)的超調(diào)量約為25%-2.5%。超調(diào)量只是阻尼比的函數(shù)

4.調(diào)節(jié)時(shí)間根據(jù)定義：

令：

在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí),

通常由要求的最大超調(diào)量決定,而調(diào)節(jié)時(shí)間則由無阻尼振蕩頻率

來決定。超越方程定義：等號(hào)兩邊至少有一個(gè)含有未知數(shù)的初等超越函數(shù)式的方程，如指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、三角方程、反三角方程等。具有未知量的對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等的方程。解法：

超越方程一般沒有解析解，而只有數(shù)值解或近似解，只有特殊的超越方程才可以求出解析解來。求解超越方程的近似解法有很多，圖象法雖然形象，但得到的解誤差太大了。常用的近似解法有牛頓切線法、冪級(jí)數(shù)解法等等，現(xiàn)在也可以編制一段程序用計(jì)算機(jī)求解，或者利用現(xiàn)成的軟件求解，例如大多數(shù)電腦都安裝的EXCEL也可以用來求解超越方程。

matlab是獲得數(shù)值解的一個(gè)最強(qiáng)大的工具。常用的命令有fsolve,fzero等，但超越方程的解很難有精確的表達(dá)式，因此在matlab中常用eval（）函數(shù)得到近似數(shù)值解，再用vpa（）函數(shù)控制精度。計(jì)算舉例如圖所示典型二階系統(tǒng)，求

－計(jì)算舉例設(shè)計(jì)圖示系統(tǒng)具有如下的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)：超調(diào)量20%，超調(diào)時(shí)間為1秒。試確定系統(tǒng)參數(shù)K