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第八章積分學(xué)定積分二重積分三重積分積分域區(qū)間域平面域空間域曲線積分曲線域曲面域曲線積分曲面積分對弧長的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分對面積的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分

8-1第一型曲線積分1.第一型曲線積分的概念與性質(zhì)

設(shè)有一條不均勻的物質(zhì)曲線以為其二個端點(diǎn),并設(shè)上任一點(diǎn)處的線密度為

,求l的質(zhì)量m.把曲線任意分割成段，設(shè)第段的弧長為，在第段上任取一點(diǎn)第段的質(zhì)量令若極限存在，則曲線的質(zhì)量定義設(shè)函數(shù)在分段光滑曲線段l上有定義把曲線任意分割成段，設(shè)第段的弧長為，在第段上任取一點(diǎn)令若極限對于曲線的任意分割法及中間點(diǎn)的任意取法都存在，則稱此極限為函數(shù)沿曲線的第一型（對弧長的）曲線積分，記作稱為被積函數(shù)積分曲線弧微分即說明

1.曲線光滑或分段光滑（光滑是指：曲線上每一點(diǎn)都有切線，且切線方向隨著曲線上點(diǎn)的連續(xù)變動而連續(xù)變動；分段光滑是指：曲線可由有限條光滑曲線弧段連接而成。例如，圓周、拋物線都是光滑曲線；四邊形的周線是分段光滑曲線。2.函數(shù)在曲線上連續(xù)是指在一個包含的區(qū)域上連續(xù).4.平面第一型曲線積分形式是:3.可以證明：當(dāng)函數(shù)在光滑曲線弧上連續(xù)時，則在上可積.3.性質(zhì)（c為常數(shù))(l

由組成)(l為曲線弧l

的長度)

第一型曲線積分與曲線的走向無關(guān)2.第一型曲線積分的計算定理１

(轉(zhuǎn)化為定積分)證:根據(jù)定義而因?yàn)閷的任意一個分割都相當(dāng)于對區(qū)間的一種分割，因此，上述和式可改寫為于是上述和式又近似于可以嚴(yán)格地證明，當(dāng)上述和式的極限就是線積分i，即弧微分.例1.

計算其中l(wèi)是拋物線與點(diǎn)

b(1,1)之間的一段弧.解:上點(diǎn)o(0,0)定理2

設(shè)曲線l的參數(shù)方程為x(t)

y(t)(t)說明:因此積分限必須滿足(2)注意到因此上述計算公式相當(dāng)于“換元法”.例2解例3求

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