第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式

第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式1/11/20231本章主要內(nèi)容1.1

狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式1.2

系統(tǒng)按其狀態(tài)空間描述的分類1.3

狀態(tài)空間表達(dá)式的建立1.4

狀態(tài)向量的線性變換1.5

從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣1.6

離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式1/11/202321.1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式1/11/20233若系統(tǒng)在時(shí)刻t的輸出并不取決于在t之后的輸入，而僅取決于時(shí)刻t和在t之前的輸入，則稱系統(tǒng)是具有因果性的。實(shí)際物理系統(tǒng)都是具有因果性的。簡(jiǎn)言之，過(guò)去可以影響將來(lái)，反之則不然。

一、系統(tǒng)描述中常用的基本概念1、因果性1/11/202342、松弛性從能量的觀點(diǎn)看，系統(tǒng)在t0時(shí)刻是松弛的意味著系統(tǒng)在t0時(shí)刻不存儲(chǔ)能量。例如一個(gè)RLC網(wǎng)絡(luò)，若所有電容兩端的電壓和流過(guò)電感的電流在t0時(shí)刻均為零(即初始條件為零)，則稱網(wǎng)絡(luò)在t0時(shí)刻是松弛的。若網(wǎng)絡(luò)不是松弛的，則其輸出不僅由輸入決定，而且與初始條件有關(guān)。傳遞函數(shù)是系統(tǒng)的輸入輸出描述，是在系統(tǒng)松弛情況下獲得的。應(yīng)用傳遞函數(shù)時(shí)，總是隱含系統(tǒng)在t＝0時(shí)刻松弛。若系統(tǒng)的輸出y[t0，由輸入u[t0，唯一確定，則稱系統(tǒng)在t0時(shí)刻是松弛的。1/11/202353、線性或：則稱該系統(tǒng)為線性，否則稱為非線性。H(1u1+2u2)=1Hu1+2Hu2H(1u1)=1H(u1)齊次性H(u1+u2)=Hu1+Hu2

可加性若松弛系統(tǒng)具有可加性和其次性，則稱該系統(tǒng)滿足疊加原理。一個(gè)松弛系統(tǒng)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任何輸入u1和u2及任何實(shí)數(shù)1，2均有：1/11/20236簡(jiǎn)言之，若系統(tǒng)特性不隨時(shí)間而變，則系統(tǒng)稱為定常的，否則，為時(shí)變的。

4、定常性1/11/20237例：設(shè)有如圖所示的RLC網(wǎng)絡(luò)，u為輸入變量，uc為輸出變量。求其數(shù)學(xué)描述。

二、狀態(tài)變量1/11/20238三種形式的數(shù)學(xué)描述1/11/20239用兩個(gè)一階微分方程來(lái)描述：

用向量矩陣方程表示：

1/11/202310在此RLC網(wǎng)絡(luò)中，若已知:

電流的初值i(t0)

電壓的初值uc(t0)tt0時(shí)的輸入電壓u(t)則:tt0時(shí)的狀態(tài)可完全確定因此，i(t)、uc(t)是這個(gè)系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量。

1/11/202311動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)變量是指能完整地、確定地描述系統(tǒng)的時(shí)域行為的最小一組變量。如果給定了t=t0時(shí)刻這組變量的值和tt0時(shí)輸入的時(shí)間函數(shù)，那么系統(tǒng)在tt0的任何瞬間的行為就完全確定了，這樣的一組變量稱為狀態(tài)變量。

狀態(tài)變量：1/11/202312以狀態(tài)變量為元所組成的向量，稱為狀態(tài)向量。則狀態(tài)向量就是以這組狀態(tài)變量為分量的向量，即：

是系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量三、狀態(tài)向量1/11/202313四、狀態(tài)空間為坐標(biāo)軸所組成的為正交空間稱為狀態(tài)空間。狀態(tài)空間中的每一點(diǎn)都代表了狀態(tài)向量的唯一的、確定的一組值以狀態(tài)變量1/11/202314由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。將狀態(tài)變量用一般符號(hào)xi，即令：x1=uc，x2=i對(duì)應(yīng)上述的RLC網(wǎng)絡(luò)，該系統(tǒng)的狀態(tài)方程：五、狀態(tài)方程1/11/202315并寫成向量矩陣的形式，則狀態(tài)方程變?yōu)椋?/11/202316六、輸出方程y=CX這就是該系統(tǒng)的輸出方程。y=x1y=uc在RLC網(wǎng)絡(luò)中，指定x1=uc作為輸出，則有：輸出一般用y表示。矩陣表示式為：C=[10]在指定系統(tǒng)輸出的情況下，該輸出與狀態(tài)變量間的函數(shù)關(guān)系式，稱為系統(tǒng)的輸出方程。1/11/202317七、狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)方程和輸出方程總合起來(lái)，構(gòu)成對(duì)一個(gè)系統(tǒng)完整的動(dòng)態(tài)描述，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。1/11/202318若改選uc和作為兩個(gè)狀態(tài)變量，即令：

從理論上說(shuō)，并不要求狀態(tài)變量在物理上一定是可以測(cè)量的量。但在工程實(shí)踐上，仍以選取那些容易測(cè)量的量作為狀態(tài)變量為宜，因?yàn)樵谧顑?yōu)控制中，往往需要將狀態(tài)變量作為反饋量。1/11/202319對(duì)于r輸入m輸出，n個(gè)狀態(tài)變量的線性定常系統(tǒng)，狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式為：

x：n維狀態(tài)向量u：r維輸入(控制)向量y：m維輸出向量A：nn維系統(tǒng)矩陣B：nr維輸入(控制)矩陣C：mn維輸出矩陣D：mr維直接傳遞矩陣

當(dāng)r=m=1時(shí)，即單輸入單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：1/11/202320單輸入單輸出系統(tǒng)的方框圖

bcuyAd八、狀態(tài)空間表達(dá)式的系統(tǒng)方框圖1/11/202321多輸入多輸出系統(tǒng)的方框圖bcuyAD1/11/2023221.2系統(tǒng)按其狀態(tài)空間描述的分類1/11/202323一、線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)若向量方程中f(x,u,t)和g(x,u,t)的所有元都是變量x和u的線性函數(shù)，則稱相應(yīng)的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。中，向量函數(shù)f(x,u,t)和g(x,u,t)至少包含一個(gè)元為變量x和u的非線性函數(shù)。稱一個(gè)系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)其狀態(tài)空間描述1/11/202324當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述中顯含時(shí)間t時(shí)，即向量函數(shù)f和g或系數(shù)矩陣A、B、C、D是包含t的函數(shù)時(shí)，稱相應(yīng)的系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。二、時(shí)變系統(tǒng)和時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)不變系統(tǒng)又稱為定常系統(tǒng)，時(shí)不變系統(tǒng)的特點(diǎn)是其狀態(tài)空間描述中不顯含時(shí)間t。1/11/202325連續(xù)系統(tǒng)的一個(gè)基本特點(diǎn)是，不管是作用于系統(tǒng)的變量，還是表征系統(tǒng)形態(tài)的變量，都是時(shí)間t的連續(xù)變量過(guò)程。或是一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)因?yàn)椴捎脭?shù)字計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算或控制的需要而人為地加以時(shí)間離散化而導(dǎo)出的模型。三、連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)是一類實(shí)際的離散時(shí)間問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，如許多社會(huì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題、生態(tài)問(wèn)題等；當(dāng)系統(tǒng)的各個(gè)變量取值于離散的時(shí)刻時(shí)，為離散時(shí)間系統(tǒng)。1/11/202326離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述中，狀態(tài)方程為差分方程，輸出方程為離散時(shí)間變換方程：1/11/202327確定性系統(tǒng)：指系統(tǒng)的特性和參數(shù)是按確定的規(guī)律而變化的，且各個(gè)輸入變量（包括控制和擾動(dòng)）也是按確定的規(guī)律而變化的。確定性系統(tǒng)的一個(gè)特點(diǎn)是，其狀態(tài)和輸出變量都為時(shí)間t的確定性函數(shù)，通過(guò)分析可以確定這些變量在任一時(shí)刻的值。隨機(jī)系統(tǒng)：或者系統(tǒng)的特性和參數(shù)的變化不能用確定的規(guī)律來(lái)描述，或者作用于系統(tǒng)的變量（包括控制和擾動(dòng)）是隨機(jī)變量，或者兩者兼而有之。隨機(jī)系統(tǒng)的特點(diǎn)是，不能確定狀態(tài)和輸出變量的直接時(shí)間過(guò)程，只能確定其統(tǒng)計(jì)的規(guī)律性。

四、確定性系統(tǒng)和隨機(jī)系統(tǒng)1/11/2023281.3

狀態(tài)空間表達(dá)式的建立1/11/202329a+-一、從系統(tǒng)方塊圖出發(fā)建立系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式1/11/202330系統(tǒng)方塊圖如圖。輸入為u，輸出為y，試求其狀態(tài)空間表達(dá)式。K4uy+-舉例1/11/202331+-+-K4-uy1/11/2023321/11/202333uy-+1/11/202334uy-+++uy-++++-+-1/11/2023351/11/202336二、從系統(tǒng)的機(jī)理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式一般常見(jiàn)的控制系統(tǒng)，按其能量屬性，可分為電氣、機(jī)械、機(jī)電、氣動(dòng)液壓、熱力等系統(tǒng)。根據(jù)其物理規(guī)律，如基爾霍夫定律、牛頓定律等，即可建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程。例：考慮人口分布問(wèn)題。設(shè)某國(guó)1998年的人口分布為：城市人口為107，農(nóng)村人口為9107。人口的流動(dòng)情況為：每年有4％的上一年城市人口遷去農(nóng)村，同時(shí)有2％的上一年農(nóng)村人口遷到城市。整個(gè)國(guó)家的人口自然增長(zhǎng)率為1％。當(dāng)指定系統(tǒng)的輸出時(shí)，也很容易寫出系統(tǒng)的輸出方程。1/11/202337確定狀態(tài)變量：城市人口x1，農(nóng)村人口x2

建立人口按年分布方程：取1998年為k＝0，則k＋1年時(shí)城市人口和農(nóng)村人口的分布方程為：

1/11/202338由描述系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(或高階微分方程)出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式的問(wèn)題，稱為實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。對(duì)于具有給定傳遞函數(shù)矩陣的線性定常系統(tǒng)，維數(shù)最低的實(shí)現(xiàn)，稱為最小實(shí)現(xiàn)。對(duì)于單輸入單輸出系統(tǒng)，存在著傳遞函數(shù)零點(diǎn)、極點(diǎn)可以對(duì)消(傳遞函數(shù)分子分母可約)，或是不可以對(duì)消(傳遞函數(shù)分子分母不可約)這樣兩種情況。不可約傳遞函數(shù)的實(shí)現(xiàn)稱為是最小實(shí)現(xiàn)。這時(shí)特征方程的階次最低，狀態(tài)變量的數(shù)目最少，矩陣的維數(shù)最小。三、最小實(shí)現(xiàn)問(wèn)題1/11/202339考慮一個(gè)單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)：?jiǎn)屋斎雴屋敵鼍€性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：

實(shí)現(xiàn)問(wèn)題就歸結(jié)為選取適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量與確定各個(gè)系數(shù)矩陣。(一)、單輸入單輸出系統(tǒng)1/11/202340當(dāng)m=n時(shí)有理分式是真的，m<n時(shí)這個(gè)有理分式是嚴(yán)格真的。

1、相變量標(biāo)準(zhǔn)型微分算子能控標(biāo)準(zhǔn)型1/11/202341當(dāng)m<n時(shí)：1/11/2023421/11/202343例：給定系統(tǒng)的輸入輸出描述為：

則可定義出相應(yīng)的一個(gè)狀態(tài)空間描述為：

舉例1/11/202344當(dāng)m=n時(shí)：

1/11/202345在同樣的狀態(tài)變量的選取下，狀態(tài)方程等同于m<n的情況。不同在于輸出方程。1/11/202346an-1-an-2-a1a0--b0-bna0b1-bna1bn-2-bnan-2+++bn-1-bnan-1+bn+uy1/11/202347例：給定系統(tǒng)的輸入輸出描述為：

其相應(yīng)的狀態(tài)空間描述為：

舉例1/11/202348選取不同的相變量作為狀態(tài)變量，可得另一種相變量標(biāo)準(zhǔn)型：

1/11/202349an-1an-2a1a0-++++n+uy01n-2n-1+++++++++1/11/202350例：給定系統(tǒng)的輸入輸出描述為：

舉例1/11/2023511/11/202352能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形

1/11/2023532、對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型和Jordan(約當(dāng))標(biāo)準(zhǔn)型并聯(lián)型的實(shí)現(xiàn)1/11/202354具有互異根的情況：

1/11/2023551++c12++c2…n++cn+++uy1/11/2023561++c12++c2…n++cn+++uy1/11/2023571/11/202358具有重根的情況

設(shè)只有一個(gè)特征根1為重根，其重?cái)?shù)為q，其余q、q＋1、n為互異根，則可將其展開(kāi)為如下的部分分式：1/11/202359cq+1…+++uycn…c1qc1q-1c12c11+++1/11/2023601/11/202361考慮由下式確定的系統(tǒng)：試求其狀態(tài)空間表達(dá)式之能控標(biāo)準(zhǔn)形、能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形和對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形。能控標(biāo)準(zhǔn)形為：舉例1/11/202362能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形為：對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形為：1/11/202363(二)、多輸入多輸出系統(tǒng)式中，b0，b1，

bn-1和W(s)均為mr矩陣。與單輸入單輸出系統(tǒng)相類似，設(shè)r維輸入、m維輸出的系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣經(jīng)過(guò)整理為：1/11/202364A、B、C分別為nn、n1、1n塊的分塊矩陣；I、0和b分別為mm、mm、mr維矩陣；u、y、x分別為r、m和nm維列向量。

1/11/202365A、B、C分別為nn、n1、1n塊的分塊矩陣；I、0和b分別為rr、rr、mr維矩陣；u、y、x分別維r、m和nr維列向量。

如果r=m=1，則為單輸入單輸出的情況。如果r>m，宜采用第一種狀態(tài)空間表達(dá)式，如果r<m，宜采用第二種狀態(tài)空間表達(dá)式。這兩種實(shí)現(xiàn)還不是最小實(shí)現(xiàn)。對(duì)于多輸入多輸出的系統(tǒng)，計(jì)算需求是很大的。1/11/2023661.4

狀態(tài)向量的線性變換1/11/202367所選取的狀態(tài)向量之間，是一種矢量的線性變換(坐標(biāo)變換)一、系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性即：由于T為任意非奇異陣，故狀態(tài)空間表達(dá)式為非唯一的通常稱T為變換矩陣。1/11/202368某系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：

①若取變換矩陣

即：即：舉例1/11/2023691/11/202370②若取變換陣：

即：系統(tǒng)矩陣是對(duì)角線型的，因此是一種并聯(lián)實(shí)現(xiàn)。

1/11/202371③若欲將上式狀態(tài)方程中的控制矩陣B從

1/11/202372即：1/11/2023731/11/202374二、系統(tǒng)特征值的不變性及系統(tǒng)的不變量系統(tǒng)特征值就是系統(tǒng)矩陣A的特征值nn方陣A有n個(gè)特征值1、系統(tǒng)特征值實(shí)際物理系統(tǒng)中，A為實(shí)數(shù)方陣，故特征值或?yàn)閷?shí)數(shù)，或?yàn)槌蓪?duì)的共軛復(fù)數(shù)；如A為實(shí)數(shù)對(duì)稱方陣，則其特征值都是實(shí)數(shù)。1/11/2023752、系統(tǒng)的不變量與特征值的不變性1/11/202376由于特征值全由特征多項(xiàng)式的系數(shù)：

唯一地確定，而特征值經(jīng)非奇異變換是不變的，那么這些系數(shù)也是不變的量，所以稱特征多項(xiàng)式的系數(shù)為系統(tǒng)的不變量。

1/11/2023773、特征向量

一個(gè)n維向量經(jīng)過(guò)以A作為變換陣的變換，得到一個(gè)新的向量

，即：

并且這個(gè)新的向量滿足：

則稱為A的對(duì)應(yīng)于的特征向量

1/11/202378求

的特征向量。

舉例1/11/2023791/11/202380三、狀態(tài)空間表達(dá)式變換為對(duì)角線型或約旦標(biāo)準(zhǔn)型當(dāng)A的特征值無(wú)重根時(shí)

1/11/202381當(dāng)A的特征值有重根時(shí)(設(shè)1有q重根)1/11/2023821、A陣為任意形式

證明：由于特征值互異，故特征向量線性無(wú)關(guān)，從而由它們構(gòu)成的矩陣：

必為非奇異，即存在，從而有：

特征值無(wú)重根時(shí)：1/11/2023831/11/202384例：將下列狀態(tài)方程變換為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型：

舉例1/11/2023851/11/2023861/11/202387設(shè)只有一個(gè)特征根1為重根，其重?cái)?shù)為q，其余q、q＋1、n為互異根，則變換陣T的計(jì)算公式如下：

是對(duì)應(yīng)于(n-q)個(gè)單根的特征向量是對(duì)應(yīng)于q個(gè)1重根的特征向量

顯然，p1仍為對(duì)應(yīng)的特征向量，其余p2，p3，pq則稱之為廣義特征向量。

特征值有重根時(shí)：1/11/202388例：將下列狀態(tài)空間表達(dá)式化為約旦標(biāo)準(zhǔn)型：

舉例1/11/2023891/11/2023901/11/2023912、A為標(biāo)準(zhǔn)型

1/11/202392

A的特征值無(wú)重根其變換陣是一個(gè)范德蒙德(Vandermonde)矩陣，為：1/11/202393以1有三重根為例：

A的特征值有重根1/11/202394

A的特征值有共軛復(fù)根以四階系統(tǒng)為例，設(shè)其中有一對(duì)共軛復(fù)根1/11/2023951.5

從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)矩陣

1/11/202396一、傳遞函數(shù)(陣)取Laplace變換并設(shè)初始條件為零，有：

1/11/202397它是一個(gè)mr維矩陣函數(shù)，即：

其中各元素Wij(s)都是標(biāo)量函數(shù)，它標(biāo)征第j個(gè)輸入對(duì)第i個(gè)輸出的傳遞關(guān)系。當(dāng)ij時(shí)，意味著不同標(biāo)號(hào)的輸入與輸出有相互關(guān)聯(lián)，稱為有耦合關(guān)系，這正是多變量系統(tǒng)的特點(diǎn)。1/11/202398可以看出，W(s)的分母，就是系統(tǒng)矩陣A的特征多項(xiàng)式，W(s)的分子是一個(gè)多項(xiàng)式矩陣。

對(duì)應(yīng)單輸入單輸出情形，狀態(tài)空間表達(dá)式和傳遞函數(shù)分別為：1/11/202399同一系統(tǒng)盡管其狀態(tài)空間表達(dá)式可以作各種非奇異變換而不是唯一的，但它的傳遞函數(shù)陣是不變的。1/11/2023100二、子系統(tǒng)在各種聯(lián)結(jié)時(shí)的傳遞函數(shù)陣簡(jiǎn)記為：S1:(A1,B1,C1,D1)設(shè)系統(tǒng)2為：

簡(jiǎn)記為：S2:(A2,B2,C2,D2)實(shí)際的控制系統(tǒng)，往往由多個(gè)子系統(tǒng)組合而成，或并聯(lián)，或串聯(lián)，或形成反饋聯(lián)結(jié)?，F(xiàn)僅以兩個(gè)子系統(tǒng)作各種聯(lián)結(jié)為例，推導(dǎo)其等效的傳遞函數(shù)陣。設(shè)系統(tǒng)1為：1/11/20231011、并聯(lián)聯(lián)結(jié)A1,B1,C1D1＋＋＋A2,B2,C2＋yuu1u2D1＋＋y1