第六章概率模型

第六章概率模型駱吉洲luojizhou@計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程系主要內(nèi)容報(bào)童的訣竅隨機(jī)存儲(chǔ)模型航空公司的預(yù)訂票策略6.1報(bào)童的訣竅問題描述問題分析模型建立模型求解模型分析與運(yùn)用問題描述報(bào)童每天清晨從報(bào)館購(gòu)進(jìn)報(bào)紙，晚上將未賣出的報(bào)紙返回。假設(shè)每份報(bào)紙的購(gòu)進(jìn)價(jià)格為a，零售價(jià)為b，返回價(jià)格為c。于是賣出每份報(bào)紙掙b-a，退回每份報(bào)紙賠a-c。

如果每次購(gòu)進(jìn)的報(bào)紙?zhí)?，賣不完，則收益減少；如果報(bào)紙購(gòu)進(jìn)太少，不夠賣，則收益也會(huì)減少。請(qǐng)問，他每天應(yīng)該購(gòu)進(jìn)多少報(bào)紙，才能使得他的收益最大？問題分析報(bào)童的收益：如果每天購(gòu)進(jìn)的報(bào)紙的數(shù)量一致報(bào)童的收益g(x)隨銷售量變化報(bào)紙每天的銷售量x：每天都不一樣，是一個(gè)隨機(jī)變量模型目標(biāo)：由于報(bào)童每天的收益都在變化建立模型求解每天的收益，使得它大就不現(xiàn)實(shí)于是我們能否建模，確定在一段時(shí)間T內(nèi)，每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)多少報(bào)紙，使得這段時(shí)間內(nèi)平均每天的收益最大即E(g(x）)最大。模型假設(shè)[0,T]—我們考慮時(shí)間段n－報(bào)童每天購(gòu)進(jìn)的報(bào)紙數(shù)量r－報(bào)紙每天的銷售量(需求量)，它是隨機(jī)變量f(r)－隨機(jī)變量r的概率函數(shù)，而且報(bào)童已經(jīng)掌握了這個(gè)規(guī)律G(n)－報(bào)童平均每天的收益求解目標(biāo)：建立G(n)的表達(dá)式根據(jù)G(n)的數(shù)學(xué)期望最大，求n的值模型建立如果rn，賣出r份報(bào)紙，退回n-r份報(bào)紙—這種情況的概率f(r)收益:g(n)＝(b-a)*r-(a-c)*(n-r)對(duì)于某一天，設(shè)銷售量為r，收益為g(n,r)如果r>n,報(bào)紙全部賣完收益:g(n)＝(b-a)*n于是：G(n)＝g(n,0)f(0)＋g(n,1)f(1)+…g(n,k)f(k)+…

求n的值，使得G(n)

最大模型求解離散情況不易分析處理，我們轉(zhuǎn)換成連續(xù)的情況6.2隨機(jī)存儲(chǔ)模型問題描述在一周中，商店對(duì)某種商品的銷售量是隨機(jī)的。每逢周末，經(jīng)理要根據(jù)該商品的庫(kù)存量來決定是否訂購(gòu)貨物，以供下周銷售。每次訂貨要支付訂貨費(fèi)。訂貨太多，下周賣不完，需要根據(jù)商品多少支付庫(kù)存費(fèi)。訂貨太少，不夠賣，商場(chǎng)由于缺貨要損失一些收益。一種簡(jiǎn)單的訂貨策略是：制定庫(kù)存量的下界s和上界S。當(dāng)庫(kù)存量比s小時(shí)，則訂貨使得庫(kù)存達(dá)到S；當(dāng)庫(kù)存量比s大時(shí)，不定貨。

s和S取多大的時(shí)候，商場(chǎng)總的費(fèi)用最?。繂栴}分析2.每一周的銷售量是隨機(jī)變量1.問題中涉及到的費(fèi)用有：訂貨費(fèi)，存儲(chǔ)費(fèi)，缺貨損失費(fèi)，商品的進(jìn)價(jià)4.每周用于訂貨和庫(kù)存的費(fèi)用也是隨機(jī)的3.每周的庫(kù)存量也是隨機(jī)的5.因此我們因該考慮一段時(shí)間內(nèi)該費(fèi)用的平均值最少因此，我們要將費(fèi)用這個(gè)隨機(jī)量表達(dá)成一些量(包含s，S)的函數(shù)關(guān)系由其數(shù)學(xué)期望的極值問題來求s和S模型假設(shè)1、c0—訂貨費(fèi)，與訂貨多少無關(guān)，c1—每件商品的購(gòu)進(jìn)價(jià)格c2—每件商品存儲(chǔ)一周的費(fèi)用c3—零售價(jià)格，缺貨損失c1<c3商品一周的銷售量r是隨機(jī)的。r取值很大，可以看成連續(xù)變量，其概率密度函數(shù)為p(r);4.一周的商品銷售集中在周一進(jìn)行

一周的存儲(chǔ)量是x+u-r，不隨時(shí)間的變化而變化3.X—每周末的實(shí)際庫(kù)存量

u—每周末的實(shí)際定貨量定完貨后立即到貨，周一的庫(kù)存量為x＋u模型的建立-1如果xs，則不進(jìn)貨，u=0—本周的存儲(chǔ)費(fèi)用或缺貨損失如果x<s，則進(jìn)貨量u=S-x>0周一的庫(kù)存量為x，本周費(fèi)用為L(zhǎng)(x)周一的庫(kù)存量為x＋u，本周費(fèi)用為c0+c1*u+L(x＋u)對(duì)于某一周當(dāng)周一的庫(kù)存為t時(shí)，我們來計(jì)算L(t)—取決于銷售量rr>t費(fèi)用l(t,r)=(r-t)*c3r<t費(fèi)用l(t,r)＝(t-r)*c2模型建立－2所建立的模型為：求解的任務(wù)在于根據(jù)J(u)的極值問題，求出s和S模型求解-1U>0的情況下，函數(shù)體中含有S因此，求S的值變成了求u>0時(shí)函數(shù)的極小值點(diǎn)模型求解－2在S已知的情況下，假設(shè)庫(kù)存為x下面求s如果訂貨（u>0），本周的平均費(fèi)用為如果不訂貨（u=0），本周的平均費(fèi)用為于是，定不定貨取決于J2＝<J1是否成立6.3航空公司的預(yù)訂票策略問題描述航空公司為適應(yīng)激烈的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)而開展預(yù)定票服務(wù)。公司承諾如果預(yù)定票的旅客未能按時(shí)登機(jī)，他可以退票或者乘坐下一航班，無需任何附加費(fèi)用。開展預(yù)定票業(yè)務(wù)時(shí)，如果預(yù)定票數(shù)量恰好等于飛機(jī)的座位數(shù)量，則由于有些旅客不能按時(shí)登機(jī)，導(dǎo)致航班不滿員從而使得公司的收益減小。如果預(yù)定票數(shù)量超過飛機(jī)座位數(shù)量太大，則前來登機(jī)的乘客數(shù)可能太多而導(dǎo)致乘客不能乘坐預(yù)定航班，使得航空的聲譽(yù)和經(jīng)濟(jì)受損。建立數(shù)學(xué)模型來確定預(yù)定票數(shù)量的最佳限額。問題分析建模目的：確定預(yù)定票的最佳限額x條件：航空公司的收益s最大航空公司的聲譽(yù)p受損程度最小將S和P表達(dá)成x的函數(shù)，根據(jù)s(x)最大和P(x)最小求出相應(yīng)的x值S—機(jī)票收入、飛行費(fèi)用、賠償金P—持機(jī)票按時(shí)來登機(jī)，但是因飛機(jī)滿員不能飛走的乘客數(shù)量預(yù)定了機(jī)票的乘客是否按時(shí)來登機(jī)是隨機(jī)的，從而S,P都是隨機(jī)的，需要考慮它們的數(shù)學(xué)期望模型假設(shè)

n—飛機(jī)容量，常數(shù)

g—機(jī)票價(jià)格，常數(shù)

r—飛行費(fèi)用，常數(shù)

—利潤(rùn)調(diào)節(jié)因子，票價(jià)g＝r/n

x—預(yù)定票限額，x>n

p—每一位乘客不按時(shí)登機(jī)的概率，各乘客是否按時(shí)登機(jī)是相互獨(dú)立的

b—每一位乘客因客滿而無法按時(shí)登機(jī)時(shí)得到的賠償金模型建立－1設(shè)m張預(yù)定票中有k人未按時(shí)來登機(jī)，這件事情發(fā)生的概率記為pk，公司的收益s(k)于是公司的平均收益可以表示為S(m)=s(0)p0