第十六章數(shù)字系統(tǒng)與二進(jìn)碼

第十六章數(shù)字系統(tǒng)與二進(jìn)碼計(jì)算機(jī)概論編輯小組1計(jì)算機(jī)概論大綱數(shù)字系統(tǒng)介紹我們所習(xí)慣的十進(jìn)位數(shù)字資料表示法介紹一些中英文字以及數(shù)字如何存在電腦內(nèi)部，以方便電腦做資料處理二進(jìn)碼介紹如何利用二進(jìn)碼編十進(jìn)位元、葛雷碼、條碼以及浮點(diǎn)表示法2計(jì)算機(jī)概論16.1 數(shù)字系統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng)(NumberSystems)是計(jì)算與數(shù)之命名的方法。數(shù)元(digit)的個數(shù)，即決定了何種數(shù)字系統(tǒng)。K進(jìn)位數(shù)字系統(tǒng)，即以K為基底的數(shù)字系統(tǒng)，其數(shù)元共有K個，即0,1,2,...,K-1。十進(jìn)位數(shù)字系統(tǒng)是一套以十為基底的數(shù)字系統(tǒng)。3計(jì)算機(jī)概論在一個K進(jìn)位的數(shù)字系統(tǒng)中，其基底為K，則該系統(tǒng)的任何一個正數(shù)(不管是整數(shù)或?qū)崝?shù))都可用一個多項(xiàng)式N來表示：以K為基底的數(shù)字N，通常寫成Nk=(Ap-1Ap-2….A1A0.A-1A-2….A-q)k

最左邊的數(shù)元Ap-1

通常稱為最大有效數(shù)元(MostSignificantDigit,MSD)最右邊的數(shù)元A-q

則稱為最小有效數(shù)元(LeastSignificantDigit,LSD)4計(jì)算機(jī)概論以K為基底表示正數(shù)N，可簡化為：

5計(jì)算機(jī)概論6計(jì)算機(jī)概論7計(jì)算機(jī)概論8計(jì)算機(jī)概論9計(jì)算機(jī)概論10計(jì)算機(jī)概論11計(jì)算機(jī)概論12計(jì)算機(jī)概論16.2資料表示法電腦的基本功能是做資料處理（dataprocessing）資料可以是數(shù)字，例如正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù)、與實(shí)數(shù)，這些可以計(jì)算的資料統(tǒng)稱為數(shù)值資料（NumericData）。姓名、住址、電話等或任何文件內(nèi)的文字（中、英文）、數(shù)據(jù)等，這種不可計(jì)算的資料統(tǒng)稱為文數(shù)資料（AlphanumericData），這些資料常用於電腦排版系統(tǒng)，例如：MicrosoftWord，LaTEX等。13計(jì)算機(jī)概論16.2.1

數(shù)值資料（NumericData）數(shù)值有整數(shù)與實(shí)數(shù)之分，並有正、負(fù)之別三種表示數(shù)值資料的方式符號帶大小（Sign-magnitude）1補(bǔ)數(shù)(1’sComplement)2補(bǔ)數(shù)(2’sComplement)假設(shè)我們利用n位元（n-bit）來表示一個整數(shù)，最左邊的那個位元用來表示正負(fù)號等於“0”，則表示該整數(shù)為正數(shù)等於“1”，則表示該整數(shù)為負(fù)數(shù)。14計(jì)算機(jī)概論三種方法可以表示的正負(fù)數(shù)範(fàn)圍15計(jì)算機(jī)概論A.符號帶大小（Sign-Magnitude）如果用n位元來表示一個整數(shù)，最左邊一位元表示正負(fù)號，其餘n-1個位元用來表示該數(shù)的大小。而n-1個位元若全為“0”則是最小的數(shù)，為0；若n-1個位元全為“1”，則是最大的數(shù)，為。將這個數(shù)的大小配上正負(fù)號，就可表示一個整數(shù)。缺點(diǎn)：有兩個“0”（即+0與-0）的表示法，增加電腦核對一個運(yùn)算結(jié)果是否為0的負(fù)擔(dān)（要核對兩次，是為+0或-0）不易用邏輯電路製做加減法器。故這種表示法不被電腦採用。16計(jì)算機(jī)概論B.1補(bǔ)數(shù)（1’sComplement）最左邊的位元視為符號位元(“1”表示負(fù)數(shù)，“0”代表正數(shù))，其正數(shù)的表示法和符號帶大小完全相同，但當(dāng)表示負(fù)數(shù)時，它將某正數(shù)的表示法的所有位元，由“0”變成“1”，而“1”則變成“0”，得到的二進(jìn)位元串，用以表示該正數(shù)的相對應(yīng)負(fù)數(shù)。例如用4位元表示一個整數(shù)，+3=(0011)2，而-3則表是成(1100)2。又如+0=(0000)2，而-0=(1111)2，所以(0000)2和(1111)2都是表示“零”。缺點(diǎn)：有兩種“零”的表示法算數(shù)運(yùn)算雖可用邏輯電路製做，不過有一點(diǎn)麻煩且較2補(bǔ)數(shù)沒效率。所以1補(bǔ)數(shù)的整數(shù)表示法亦不被電腦採用。17計(jì)算機(jī)概論C.2補(bǔ)數(shù)（2’sComplement）最左邊的位元視為符號位元(“1”表示負(fù)數(shù)，“0”代表正數(shù))，表示方法正數(shù)的表示法和符號帶大小完全相同，負(fù)數(shù)表示法則是利用1補(bǔ)數(shù)的負(fù)數(shù)表示法加“1”達(dá)成。例如用4位元表示一個整數(shù)，+3=(0011)2，而-3=(1100)2+1=(1101)2，又如+0=(0000)2，而-0=(1111)2+1=(0000)2，所以2補(bǔ)數(shù)和上述兩種表示法對0的表示方式是不同的，它永遠(yuǎn)只有一種零的表示法，那就是所有的位元皆為“0”。負(fù)數(shù)處理步驟(用n位元的2補(bǔ)數(shù))1.我們先將該負(fù)數(shù)相對應(yīng)的正數(shù)用n位元的符號帶大小方式表示之2.再0變1，1變0，最後再加上1即可。另一種方法將正數(shù)表示出來後，從右邊掃描到左邊，凡是0就照抄下來，一直碰到第一個“1”仍然照抄，但是從這個“1”以後的左邊每個位元將1改成0，0改成1，也可得到2補(bǔ)數(shù)的負(fù)數(shù)表示方式。18計(jì)算機(jī)概論以4位元來表示整數(shù)的三種不同表示法19計(jì)算機(jī)概論補(bǔ)數(shù)的進(jìn)一步闡述20計(jì)算機(jī)概論16.2.2數(shù)值資料的算術(shù)運(yùn)算補(bǔ)數(shù)運(yùn)算概念A(yù),B若是兩個K進(jìn)位數(shù)字，則A-B等於A+(B的K補(bǔ)數(shù))補(bǔ)數(shù)加的運(yùn)算範(fàn)例：(278)10+(123)10

21計(jì)算機(jī)概論補(bǔ)數(shù)減的運(yùn)算範(fàn)例：(278)10-(123)10

22計(jì)算機(jī)概論補(bǔ)數(shù)乘的運(yùn)算範(fàn)例：(1011)2×(1101)2

23計(jì)算機(jī)概論補(bǔ)數(shù)除的運(yùn)算範(fàn)例：(10001111)2÷(1011)2

24計(jì)算機(jī)概論16.2.3文數(shù)資料(AlphanumericData)文數(shù)資料是含文字(Letter)、符號(Symbol)與數(shù)字(Digit)的資料，所有不可做算數(shù)運(yùn)算的資料皆屬此類。表示方法ASCII(讀作as-kee)碼(AmericaStandardCodeforInformationInterchange,美國標(biāo)準(zhǔn)資訊交換碼)IBM，UNIVAC等某些大型電腦採用的擴(kuò)充式二進(jìn)位交換碼EBCDIC(讀作eb-ce-dick)碼(ExtendedBinaryCodedDecimalInterchangeCode)。中文字則大多採用BIG-5碼，但也有一些系統(tǒng)採用倚天碼，電信碼及IBM5550碼等。25計(jì)算機(jī)概論ASCII碼由七個位元來表示一個字元(Character)，因七個位元可有=128種組合。8-位元的ASCII碼，則可有=256種不同的組合，詳見表18.2列出部分8-位元的ASCII碼。EBCDIC碼是由8位元來表示一個字元。EBCDIC碼將位元分成兩組各4個位元，其中一組叫區(qū)位元（Zonebits），另一組叫數(shù)元位元（Digitbits）。區(qū)位元用以說明此字元是字母、無正負(fù)號的數(shù)字、正負(fù)符號及一些特殊符號。而數(shù)元位元用來表示阿拉伯?dāng)?shù)字0~9。中文碼用的是另一套表示法，它和ASCII碼及EBCDIC碼不同。中文碼是以2個位元組（16個位元）來表示的。26計(jì)算機(jī)概論27計(jì)算機(jī)概論28計(jì)算機(jī)概論29計(jì)算機(jī)概論為應(yīng)付日益增多的字元，例如中文及日文等其它有別於英文的語言，目前國際標(biāo)準(zhǔn)協(xié)會正致力於16位元的字元碼（Charactercode），稱作統(tǒng)一碼（Unicode）以作為世界標(biāo)準(zhǔn)。30計(jì)算機(jī)概論16.3二進(jìn)碼（BinaryCodes）常用的二進(jìn)碼以二進(jìn)碼編十進(jìn)位數(shù)元（BinaryCodedDecimal，BCD）的BCD碼、2421碼、超-3碼（Excess-3Codes）與84-2-1碼葛雷碼（GrayCodes）條碼（BarCodes或UniversalProductCodes）浮點(diǎn)表示法（Floating-PointRepresentation）31計(jì)算機(jī)概論16.3.1以二進(jìn)碼編十進(jìn)位數(shù)元電腦只能接受0與1，因此，就有學(xué)者發(fā)明了以二進(jìn)碼來表示十進(jìn)位的０到９這十個數(shù)元，並且一切的算術(shù)運(yùn)算都以十進(jìn)位為基礎(chǔ)來做。常用方法BCD碼2421碼超-3碼84-2-1碼這些碼都用4個位元來表示一個阿拉伯?dāng)?shù)字（0~9）。32計(jì)算機(jī)概論A.BCD碼BCD碼用四個位元表示一個阿拉伯?dāng)?shù)字，4個位元由左到右，其權(quán)重（Weights）都不相同，分別是8，4，2，1BCD碼又被稱為8421碼0到9這十個阿拉伯?dāng)?shù)字的BCD碼33計(jì)算機(jī)概論34計(jì)算機(jī)概論B.2421碼2421碼也是用4位元來表示一個阿拉伯?dāng)?shù)字。4個位元由左到右其權(quán)重分別為2，4，2，1。0到9這十個阿拉伯?dāng)?shù)字的2421碼十進(jìn)位系統(tǒng)的9補(bǔ)數(shù)正好等於二進(jìn)位系統(tǒng)的1補(bǔ)數(shù)，所有具有這種特性的碼被稱為自補(bǔ)碼（Self-ComplementingCode）。35計(jì)算機(jī)概論C.超-3碼（Excess-3Code）將阿拉伯?dāng)?shù)字0到9分別用4位元的二進(jìn)位系統(tǒng)表示出來，之後每個數(shù)字分別再加上3，所得到的4位元二進(jìn)位碼分別用以表示阿拉伯?dāng)?shù)字0到9。範(fàn)例2的超-3碼=（0010)2+（0011)2=（0101)25的超-3碼=（0101)2+（0011)2=（1000)236計(jì)算機(jī)概論0到9這十個阿拉伯?dāng)?shù)字的超-3碼超-3碼也是一種自補(bǔ)碼37計(jì)算機(jī)概論D.84-2-1碼使用4位元來表示阿拉伯?dāng)?shù)字0到9，但由左到右其位元的分別為8，4，-2，與-1。範(fàn)例3的84-2-1碼為0101，（0+4+0+（-1）=3）5的84-2-1碼為1011，（8+0+（-2）+（-1）=5）38計(jì)算機(jī)概論0到9這十個阿拉伯?dāng)?shù)字的84-2-1碼84-2-1碼也是一個自補(bǔ)碼39計(jì)算機(jī)概論40計(jì)算機(jī)概論16.3.2葛雷碼（GrayCodes）葛雷碼的特性任何連續(xù)兩個數(shù)字，其對應(yīng)的二進(jìn)碼只有一個位元的資料不同，其餘位元資料均相同。我們可以將任何十進(jìn)位數(shù)字表示成二進(jìn)位系統(tǒng)，若該二進(jìn)碼具有上述特性，則稱這種二進(jìn)碼為葛雷碼（GrayCodes）。用二個位元來表示整數(shù)0，1，2，3，下列兩種編碼方式（即G1和G2）都可以視為2位元的葛雷碼，即G1=﹛0=00，1=01，2=11，3=10﹜或G2=﹛00=10，1=11，2=01，3=00﹜。因?yàn)楦鹄状a並不唯一，故其應(yīng)用價(jià)值將大大降低。學(xué)者研究出一種二進(jìn)碼，稱為反射葛雷碼（ReflectedGraycode），其編碼方式唯一而且有系統(tǒng)，故廣泛應(yīng)用在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域。41計(jì)算機(jī)概論A、從十進(jìn)位→反射葛雷碼42計(jì)算機(jī)概論B、從反射葛雷碼→十進(jìn)位數(shù)字43計(jì)算機(jī)概論16.3.3條碼(BarCode)條碼(BarCodes或UniversalProductCodes)在商業(yè)用途上非常廣泛條碼可利用光學(xué)儀器很快地掃瞄並認(rèn)得商品所附之條碼所代表的數(shù)字﹐因而從資料庫獲得這產(chǎn)品的相關(guān)資料﹐包括價(jià)格﹑品名﹑貨號等等。條碼利用條狀粗細(xì)的不同﹐結(jié)合成各種組合以表示阿拉伯?dāng)?shù)字0-9，特性﹕(1)不易塗改。(2)不受列印品質(zhì)與大小的影響。(3)不受方向性不同的影響。44計(jì)算機(jī)概論16.3.4浮點(diǎn)表示法浮點(diǎn)表示法(floating-pointrepresentation)主要用來表示實(shí)數(shù)資料。前節(jié)所述的正負(fù)整數(shù)表示法屬於定點(diǎn)表示法﹐小數(shù)點(diǎn)固定點(diǎn)在最右邊那個位元的右下角﹐不論電腦是何型態(tài)﹐定點(diǎn)表示法除了位元數(shù)之外﹐其餘規(guī)定皆同。浮點(diǎn)表示法則依電腦之型別﹐其位元數(shù)與格式的規(guī)定均可能有所不同。以80486CPU之浮點(diǎn)表示法為例分為單精確度(SinglePrecision﹐佔(zhàn)32位元)﹐雙精確度(DoublePrecision﹐佔(zhàn)64位元)﹐以及延伸精確度(ExtendedPrecision﹐佔(zhàn)80位元)。45計(jì)算機(jī)概論一個以浮點(diǎn)表示的二進(jìn)位數(shù)字包含三部分正/負(fù)符號﹕b31=0表示此實(shí)數(shù)為正數(shù)﹔b31=1表示此實(shí)數(shù)為負(fù)數(shù)。偏差指