高二數(shù)學(xué)(蘇教2017年選修)獨(dú)立性檢驗(yàn)(素材)(授課課件)

概率與統(tǒng)計(jì)案例安徽教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 王家正——高中數(shù)學(xué)選修系列之一E-mail:wangjiazheng@國家課程標(biāo)準(zhǔn)教材教學(xué)計(jì)劃學(xué)業(yè)成就關(guān)系圖為什么提升統(tǒng)計(jì)與概率的地位數(shù)據(jù)日益成為一種重要的信息現(xiàn)實(shí)社會(huì)中大量存在的是不確定現(xiàn)象當(dāng)今社會(huì)媒體正在增加使用相應(yīng)的語言與內(nèi)容,學(xué)會(huì)處理各種信息,尤其是數(shù)據(jù)信息是每個(gè)公民基本素質(zhì)的一部分統(tǒng)計(jì)與概率所提供的“運(yùn)用數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷”的思考方法已經(jīng)成為重要的思維方式,許多不確定現(xiàn)象無法用形式邏輯推理解決（說理方式不同）對不確定現(xiàn)象的直覺常常不可靠培養(yǎng)正確的直覺需要反復(fù)觀察不確定現(xiàn)象（教學(xué)方式不同）概率(選修)的具體目標(biāo)1.理解離散型隨機(jī)變量及分布列的概念2.理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程3.了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，理解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布4.通過實(shí)例，理解取有限值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念，能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問題

5.通過實(shí)際問題，借助直觀（如實(shí)際問題的直方圖），認(rèn)識(shí)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義

統(tǒng)計(jì)案例的具體目標(biāo)

通過典型案例，學(xué)習(xí)下列一些常見的統(tǒng)計(jì)方法，并能初步應(yīng)用這些方法解決一些實(shí)際問題。①了解獨(dú)立性檢驗(yàn)（只要求2×2列聯(lián)表）的基本思想、方法及初步應(yīng)用。②了解實(shí)際推斷原理和假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想、方法及初步應(yīng)用。③了解聚類分析的基本思想、方法及其初步應(yīng)用。

④了解回歸的基本思想、方法及其初步應(yīng)用。

教學(xué)中值得注意的幾個(gè)問題1.強(qiáng)調(diào)統(tǒng)計(jì)觀念和隨機(jī)觀念的培養(yǎng)2.教學(xué)中主要通過對案例的探究，引入概念及其基本思想、方法和意義，再進(jìn)行實(shí)際問題的處理3.淡化概念的嚴(yán)格表述4.鼓勵(lì)使用計(jì)算器、計(jì)算機(jī),避免把數(shù)據(jù)處理變成“算術(shù)”計(jì)算統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)之本讓學(xué)生相信它是科學(xué)讓學(xué)生感到它有用讓學(xué)生理解它的內(nèi)容與思想方法讓學(xué)生有良好的直覺（1）工程系統(tǒng)設(shè)計(jì)（2）商品的銷售（3）社情分析：讀圖時(shí)代、民意測驗(yàn)（4）工業(yè)質(zhì)量控制（5）金融學(xué)（6)

醫(yī)學(xué)：荷爾蒙血樣的分析、新藥療效（7)

挑戰(zhàn)者號(hào)的爆炸（8)資源與環(huán)境的調(diào)查（9）有獎(jiǎng)銷售問題（10）交通問題（車輛數(shù)、堵塞情況、交通事故等）

（11)體育：新的方法確實(shí)比舊方法好嗎、足球比賽開始的拋幣游戲（12)電腦鍵盤的設(shè)計(jì)原理（13）天氣預(yù)報(bào)降水概率（14)求職策略（15)敏感性問題的調(diào)查

如統(tǒng)計(jì)與概率的應(yīng)用實(shí)例只思考以下問題，并盡可能說明理由（1）天氣預(yù)報(bào)稱“某地明天的降水概率為80%，它的涵義是什么？”實(shí)際上，這個(gè)地方卻沒有降水，您如何看待這件事？（2）擲一枚均勻的硬幣100次，正面朝上的次數(shù)是50次的概率比較大。您同意嗎？（3）中獎(jiǎng)率為1/1000的彩票，買1000張一定會(huì)中獎(jiǎng)。您如何看待這一說法？（4）擲一枚均勻的硬幣5次，朝上的面都是正面，第6次該得到正面還是反面？（5）一種藥的宣傳材料上稱該藥的有效率為90%，您如何看待這一數(shù)據(jù)？（6）一個(gè)車間主任在預(yù)備檢驗(yàn)一大批產(chǎn)品的質(zhì)量時(shí)稱“為了向顧客負(fù)責(zé)，我們不能只檢查部分”，您如何看待他的說法？（7）一項(xiàng)決策的平均收益是1575元，這意味著實(shí)施該決策后，決策者將得到1575元收益。您如何看待這一說法？（8）如果我買某廠生產(chǎn)的一個(gè)產(chǎn)品，即使知道該廠產(chǎn)品的次品率是千分之一，卻完全可能買到次品。如果某種獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)率是1/5，我買賣10張獎(jiǎng)券仍可能一張也不中獎(jiǎng)。既然如此，了解隨機(jī)事件的規(guī)律有什么用呢？1.隨機(jī)現(xiàn)象的兩個(gè)特征:①結(jié)果的隨機(jī)性;②頻率的穩(wěn)定性.2.研究隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)碰到的第一個(gè)問題是：什么叫做“了解”了某一隨機(jī)現(xiàn)象？了解”一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象是指：①知道這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；②知道每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率.3.引入變量，將試驗(yàn)的結(jié)果用變量的取值來代替，該變量叫做隨機(jī)變量。(或者說,建立一個(gè)從試驗(yàn)結(jié)果的集合到實(shí)數(shù)集合的映射,這個(gè)映射叫做隨機(jī)變量)

因此“了解”隨機(jī)現(xiàn)象就轉(zhuǎn)化為了解這個(gè)隨機(jī)變量所有可能的取值和取每個(gè)值時(shí)的概率.隨機(jī)現(xiàn)象離散型隨機(jī)變量及其分布列例：擲一枚均勻的色子引入變量X表示色子出的點(diǎn)數(shù),X分布列為:一般情況：X123456P1/61/61/61/61/61/6X值x1x2…xn概率p1p2…pn求隨機(jī)變量的分布列必須注意兩個(gè)環(huán)節(jié):1.隨機(jī)變量的取哪些值2.求隨機(jī)變量的取相應(yīng)值的概率

了解了它的分布列就了解了這個(gè)隨機(jī)變量所有可能的取值和取每個(gè)值時(shí)的概率,從而了解了這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象,即分布列完全描述了隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律

設(shè)有N個(gè)同類產(chǎn)品，其中有M個(gè)次品，現(xiàn)從中任取n個(gè)（假定n≤N－M），則在這n個(gè)中所含的次品數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，X的分布為其中，稱該分布為超幾何分布超幾何分布

[案例]：高三（1）班的聯(lián)歡會(huì)上設(shè)計(jì)了一項(xiàng)游戲，在一個(gè)口袋中裝有10個(gè)紅球，20個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，游戲者一次從中摸出5個(gè)球，摸到4個(gè)紅球的就中一等獎(jiǎng)，求中一等獎(jiǎng)的概率．解：設(shè)Ｘ表示摸到的紅球數(shù)，因此Ｘ服從超幾何分布:條件概率

[案例]為了調(diào)查飲酒與患高血壓的關(guān)系，進(jìn)行了社會(huì)調(diào)查

飲血壓飲酒不飲酒合計(jì)高8515100正常115785900合計(jì)2008001000A表示隨機(jī)抽一人為飲酒者，B表示隨機(jī)抽一人為高血壓者

現(xiàn)已知此人為飲酒者，則他患高血壓的概率為稱為發(fā)生的條件下發(fā)生的條件概率。關(guān)于事件的獨(dú)立性：如果一個(gè)事件的發(fā)生不會(huì)影響另一個(gè)事件發(fā)生的概率，我們稱這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的。

如果（即），稱A與B相互獨(dú)立

[案例]袋中有紙片若干張，獎(jiǎng)品五花八門，大獎(jiǎng)為奶糖之類，沒有空門，1分錢可以從中摸一張，不妨設(shè)袋中有10張紙片，其中有1張是奶糖?，F(xiàn)在一個(gè)孩子拿了2分錢摸奶糖，他應(yīng)該怎么摸？第一種方案：小孩先摸出1張，不放回再摸1張。記事件則他摸不到奶糖的概率為第二種方案：小孩先從口袋里摸出1張，放回后再摸1張。此時(shí)A1與A2相互獨(dú)立，故小孩子摸不到奶糖的概率為

因此，小孩子采取不放回抽取的方式，即第一種方案。

注：一個(gè)錯(cuò)誤的直覺在大多數(shù)人看來，一個(gè)獨(dú)立事件發(fā)生的概率，會(huì)受到臨近的同類獨(dú)立事件的影響。

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

1.每次試驗(yàn)都在相同條件下進(jìn)行2.各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的3.每次試驗(yàn)有且僅有兩個(gè)結(jié)果：A出現(xiàn)（成功）和A不出現(xiàn)（失?。?.每次試驗(yàn)的結(jié)果發(fā)生概率相同：具有上述特征的重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)，稱為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，試驗(yàn)若共進(jìn)行n次，稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)（模型）用X表示這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A出現(xiàn)（成功）的次數(shù)，則稱X服從二項(xiàng)分布[案例]：某保險(xiǎn)公司對一種電視機(jī)進(jìn)行保險(xiǎn)，現(xiàn)有3000個(gè)客戶各購得此種電視機(jī)一臺(tái)，在保險(xiǎn)期內(nèi)，這種電視機(jī)的損壞率為0.001，參加保險(xiǎn)客戶每戶交付保險(xiǎn)費(fèi)10元，電視機(jī)損壞時(shí)可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元，求保險(xiǎn)公司在投保期內(nèi)（1）虧損的概率，（2）獲利不少于10000元的概率。解：設(shè)X表示電視機(jī)損壞的臺(tái)數(shù)X服從二項(xiàng)分布，n=3000,p=0.001超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系設(shè)1當(dāng)充分大時(shí)例：如果在15000件產(chǎn)品中有1000件不合格品，從中任意抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，求查得不合格品數(shù)的分布列(和數(shù)學(xué)期望)數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望、方差）1.數(shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量取值的一般水平,方差是反映隨機(jī)變量取值的離散程度.2.數(shù)學(xué)期望與方差都是數(shù),沒有隨機(jī)性,它們是用來刻劃隨機(jī)現(xiàn)象的.3.從某種意義上來說,分布遠(yuǎn)比數(shù)字特征重要.4.數(shù)字特征重要性在于,它們有非常明確的含義,反映了隨機(jī)變量重要信息,在許多情況下,人們不需要知道隨機(jī)變量的分布,只需要知道它的數(shù)字特征.數(shù)學(xué)期望例：甲乙兩臺(tái)機(jī)床，每日生產(chǎn)次品數(shù)為:X0123概率0.1Y0123概率0甲乙問哪個(gè)機(jī)床好？甲：乙：各生產(chǎn)100天，甲、乙平均每天生產(chǎn)次品的件數(shù)：一般情況X值x1x2…xn概率p1p2…pn在上例中方差的定義X-101概率Y-2-1012概率0.20.1甲乙例甲、乙兩種牌號(hào)的手表日走時(shí)誤差情況如下：考察X圍繞EX上下波動(dòng)的程度超幾何分布與二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望超幾何分布二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望在問題決策中的應(yīng)用案例[案例]投資決策問題某人有10萬元，有兩種投資方案：一是購買股票，二是存入銀行獲取利息，買股票的收益取決于經(jīng)濟(jì)形勢，假設(shè)可分三種狀態(tài)：形勢好、形勢中等、形勢不好（即經(jīng)濟(jì)衰退）。若形勢好可獲利4萬元，若形勢中等可獲利1萬元，若形勢不好要損失2萬元，如果是存入銀行，假設(shè)年利率為8%，即可得利息8000元，又設(shè)經(jīng)濟(jì)形勢好、中、差的概率分別為30%、50%和20%，試問選擇哪一種方案可使投資的效益較大？

設(shè)X為購買股票獲取的收益X4000010000-20000概率所以應(yīng)采用購買股票的方案

[案例]求職決策問題有三家公司都為碩士畢業(yè)生李宏提供了就職面試的機(jī)會(huì)，按面試的時(shí)間順序，這三家公司記為A、B、C，每家公司都可提供極好、好和一般三種職位，每家公司將根據(jù)面試情況決定給予求職何種職位或拒絕提供職位。若規(guī)定求職雙方在面試以后要立即決定提供、接受或拒絕某種職位，且不容許毀約。咨詢專家為李宏的學(xué)業(yè)成績和綜合素質(zhì)進(jìn)行評估后認(rèn)為，他獲得極好、好、一般職位的可能性分別為0.2、0.3、0.5，三家公司的工資數(shù)據(jù)如下表。李宏如果把工資數(shù)盡量大作為首要條件的話，那么他在各公司面試時(shí)，對該公司提供的各種職位應(yīng)如何決策？

公司

職位

極好(0.2)

好(0.3)

一般(0.5)

A

3500

3000

2200

B

3900

2950

2500C

4000

3000

2500

由于面試有時(shí)間先后，使得李宏在A、B公司面試，作選擇時(shí)，還要考慮到后面C公司的情況，所以應(yīng)先從C開始講討論，C公司的工資期望值為：

現(xiàn)在考慮B公司，因?yàn)锽公司的一般職位工資只有2500元，低于C公司的期望值以只接受B公司極好或好職位，否則就到C公司應(yīng)聘，B公司的工資期望值為：元元

最后考慮A公司，由于A公司的極好職位的工資超過3015元，所以他只接受A公司的極好職位，否則就到B公司應(yīng)聘。他的總決策是：先去A公司應(yīng)聘，若A公司提供極好的職位就接受，否則去B公司應(yīng)聘；若B公司提供極好或好的職位就接受，否則去C公司應(yīng)聘，接受C提供的任何職位。在這一策略下，他的工資期望值為

元[案例]方案決策問題某冷飲店需要制定某種冷飲在七、八月份的日進(jìn)貨計(jì)劃，該品種冷飲的進(jìn)貨成本為每箱30元，銷售價(jià)格為每50元，當(dāng)天銷售后每箱可獲利20元，但如果當(dāng)天剩余一箱，就要因冷藏費(fèi)及其他原因而虧損10元。現(xiàn)有前兩年同期共120天的日銷量資料，其中日銷售為130箱有12天，日銷售為120箱有36天，日銷售為110箱有48天，其余24天的日銷售量也達(dá)100箱，請對于進(jìn)貨量分別為100箱、110箱、120箱、130箱四個(gè)方案給予決策。日銷售量（箱）天數(shù)概率1002424÷120=0.21104848÷120=0.41203636÷120=0.31301212÷120=0.1根據(jù)前兩年同期日銷售量資料，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，可確定不同日銷售量的概率

日進(jìn)貨100箱日進(jìn)貨110箱日進(jìn)貨120箱日進(jìn)貨130箱日銷售100箱2000190018001700日銷售110箱2000220021002000日銷售120箱2000220024002300日銷售130箱2000220024002600計(jì)算各進(jìn)貨方案在各種銷售狀況下的盈利情況:如日進(jìn)貨120箱:如果日銷售100箱,此時(shí)盈利20×100-20×10=1800元如果日銷售110箱,此時(shí)盈利20×110-10×10=2100元計(jì)算各進(jìn)貨方案盈利的數(shù)學(xué)期望:方案1:E1=0.2×2000+0.4×2000+0.3×2000+0.1×2000=2000E2=0.2×1900+0.4×2200+0.3×2200+0.1×2200=2140E3=0.2×1800+0.4×2100+0.3×2400+0.1×2400=2160E4=0.2×1700+0.4×2000+0.3×2300+0.1×2600=2090盈利期望值以方案3為最大，所以該冷飲店的進(jìn)貨決策就應(yīng)選擇日進(jìn)貨量為120箱的方案。無處不在的正態(tài)分布樣本大小為５００的三次抽樣正態(tài)分布的密度函數(shù)：1.密度函數(shù)圖象的特點(diǎn)2.正態(tài)分布也稱高斯分布3.正態(tài)分布無處不在4.正態(tài)分布與帕斯卡三角形(牛頓二項(xiàng)式展開的系數(shù))13111111211111320441061055156615每行數(shù)值都是呈正態(tài)分布,與高爾頓試驗(yàn)驚人地一致173521217351

在一批樣本數(shù)據(jù)中，定義度量，計(jì)算出樣本數(shù)據(jù)或類別之間的相近程度的度量值；再按相近程度的大小，把樣本逐一歸類；最后把不同的類別一一劃分出來，形成一個(gè)關(guān)系密疏圖，并用以直觀地顯示分類對象的差異和聯(lián)系。進(jìn)行聚類分析需要解決兩個(gè)問題：一是如何確定度量兩個(gè)數(shù)據(jù)的接近程度的方法；二是究竟分成多少類合適。這兩個(gè)問題都需要根據(jù)實(shí)際問題的背景和數(shù)據(jù)本身的意義來確定。聚類分析韓國

拉脫維亞

俄羅斯

多米尼加

湯加

土耳其

中國

泰國

斐濟(jì)

日本

68.267.067.0

66.365.0

63.0

61.0

60.059.359.0

6.3

12.0

30.0

13.6

14.0

24.0

7.0

15.0

30.6

14.8

美國

巴基斯坦

芬蘭

土庫曼

尼日利亞

巴拉圭

巴林

新西蘭

瑞典

巴哈馬

28.1

27.4

27.026.624.4

24.124.024.020.0

19.3

23.5

4.4

19.0

1.5

6.7

5.5

6.0

22.0

24.0

3.8

[案例]關(guān)于吸煙情況的20個(gè)國家的統(tǒng)計(jì)數(shù)字，其中第一行是國名，第二行是男性吸煙成員的百分?jǐn)?shù)，第三行是女性吸煙成員的百分?jǐn)?shù).

根據(jù)數(shù)據(jù)，試研究這些國家吸煙狀況的類似程度

討論男性的吸煙情況首先確定一個(gè)劃分類似的標(biāo)準(zhǔn)，不妨取1%，即當(dāng)兩個(gè)國家男性吸煙人數(shù)百分比之差小于1%時(shí)，將這兩個(gè)國家稱為類似的，則可分成下面八組：（1）韓國（2）拉脫維亞，俄羅斯和多米尼加（3）湯加（4）土耳其（5）中國，泰國，斐濟(jì)和日本（6）美國，巴基斯坦，芬蘭和土庫曼（7）尼日利亞，巴拉圭，巴林和新西蘭（8）瑞典和巴哈馬整體地討論吸煙情況

以女性吸煙者的百分?jǐn)?shù)為橫軸，男性吸煙者的百分?jǐn)?shù)為縱軸

706050403020

010203040巴基斯坦

尼日利亞

巴林

巴哈馬土庫曼巴拉圭

美國

瑞典

新西蘭

芬蘭

韓國

拉脫維亞

中國

日本

泰國

湯加

多米尼加

俄羅斯

斐濟(jì)

土耳其

從圖中可以看出，基本分成下面四組：（1）巴哈馬，巴基斯坦，巴拉圭，尼日利亞和土庫曼斯坦（2）芬蘭，新西蘭，瑞典和美國（3）中國，日本，泰國，韓國，拉脫維亞，多米尼加和湯加（4）土耳其，斐濟(jì)和俄羅斯

這個(gè)過程叫做聚類分析

1．選擇一種確定接近程度的方法，最直接的就是點(diǎn)之間的距離２．設(shè)要分類的對象有n個(gè)；我們以這n個(gè)對象分成n類開始，按所選擇的方法確定這n個(gè)對象兩兩的接近程度度量值，將最接近的兩個(gè)對象合并為一類，如此我們得到了至多n－1類；３．確定類與類之間接近程度的方法；４．對n－1類重復(fù)步驟（2），如此下去到完全歸為一類為止。至于究竟分成多少類合適，需要分析根據(jù)討論的問題來決定。在實(shí)際問題中，往往需要對幾種分類方案進(jìn)行比較后，再加以選擇。聚類分析的程序0102.51.50653.50875.520[案例]設(shè)有五個(gè)樣品，每個(gè)樣品有一個(gè)指標(biāo)，它們是1，2，3.5，7，9．試用最短距離法對五個(gè)樣品進(jìn)行分類．

01.5053.5075.520上表中，非對角線中的最小值為1，即因此將和合并成一個(gè)新類，記為。再計(jì)算與、、的距離，得到新的距離矩陣，如下表

03.505.520上表中，非對角線中的最小值為1.5,因此將相應(yīng)的類和合并為，記為。再計(jì)算與、的距離，得到新的距離矩陣，如下表

03.50上表中，非對角線中的最小值為2,因此將相應(yīng)的類和合并為，記為。再計(jì)算與的距離，得到新的距離矩陣，如下表0123最后將與合并成，上述聚類過程可用下圖表示：

為了研究某種新藥的副作用（如惡心等），給50位患者服用此新藥，另外50位患者服用安慰劑，得到如下表的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

副作用

藥物

有

無

合計(jì)

新藥

15

35

50

安慰劑

4

46

50

合計(jì)

19

81

100

2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)從上面的例子可以得到：假定服用新藥與產(chǎn)生副作用沒有關(guān)聯(lián)

P(全體實(shí)驗(yàn)者產(chǎn)生副作用)=;P(服用新藥產(chǎn)生副作用)=,二者相差較大．由此可以推斷，開始的假設(shè)是不成立的．也就是說，服用新藥與產(chǎn)生副作用是有關(guān)聯(lián)的．

副作用B藥物A

有副作用Ｂ1無副作用Ｂ2合計(jì)

新藥A1aba+b安慰劑A2

cdc+d合計(jì)

a+cb+dn在前面的例子中

a=15b=35c=4d=46獨(dú)立性要求：P(全體實(shí)驗(yàn)者產(chǎn)生副作用)=P(服用新藥產(chǎn)生副作用)即這等價(jià)于因此，可以用的大小來衡量獨(dú)立性的好壞問題：(1)用

是不是更好些？(2)用比用合理，

你認(rèn)為有道理嗎？

(3)為了得到統(tǒng)計(jì)時(shí)量的近似的分布，統(tǒng)計(jì)學(xué)家最終選用了：

用它的大小來衡量獨(dú)立性的大小，經(jīng)過整理得：

從上面的表達(dá)式可以直觀地看出：的值越小，事件A與B之間的獨(dú)立性將會(huì)越大（當(dāng)?shù)闹禐?時(shí)，事件A與B完全獨(dú)立）．當(dāng)時(shí)，在概率為95%的意義下是相關(guān)的；當(dāng)時(shí)，事件A與B在概率為99%的意義下是相關(guān)的．回到前面的例子算出的值：于是得出結(jié)論：在概率為99%的意義下，服用新藥與產(chǎn)生副作用是相關(guān)聯(lián)的。從數(shù)據(jù)可以進(jìn)一步看出，服用新藥容易產(chǎn)生副作用。上述過程在統(tǒng)計(jì)推斷中叫做獨(dú)立性檢驗(yàn)，它的基本思想是：如何選用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，用它衡量事件之間的獨(dú)立性是否成立。注：我們關(guān)心如何選用一個(gè)量，用它的大小來說明獨(dú)立性是否成立，關(guān)注其方法直觀合理性。至于最后選取的量及其大小的界定超出了高中的范圍，可以只告訴學(xué)生結(jié)果，使其能夠操作，而不會(huì)影響對問題實(shí)質(zhì)的理解.aba+bcdc+da+cb+dn理論頻數(shù)可以看作這一格的相對誤差[案例]某校高中應(yīng)屆畢業(yè)生180人（男90人，女90人），參加高考的結(jié)果如下表，試問高考錄取名額，是否與性別有關(guān)？性別錄取人數(shù)未錄取人數(shù)合計(jì)男10(9)80(81)90女8(9)82(81)90合計(jì)18162180該校高考錄取新生與性別無關(guān)實(shí)際推斷原理

在概率論中，我們所討論的都是隨機(jī)現(xiàn)象，其結(jié)果在個(gè)別試驗(yàn)中應(yīng)呈現(xiàn)出不確定性，而在大量重復(fù)試驗(yàn)中又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。如果一個(gè)在理論上發(fā)生概率非常小的事件在單個(gè)試驗(yàn)中就出現(xiàn)了，我們完全有理由懷疑這樣的結(jié)果是否具有隨機(jī)性。在實(shí)際問題中我們認(rèn)為概率很小的事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的，這就是所謂實(shí)際推斷原理。[案例1]某一天，你開車進(jìn)了一個(gè)過去從未去過的機(jī)關(guān)停車場，發(fā)現(xiàn)里面共有18個(gè)車位，其中有8個(gè)位置停了車，而有一連10個(gè)位置是空著的。這時(shí)，你可以隨便找個(gè)地方把車停下嗎？我們先假定車輛的停放是隨意的，則一連10個(gè)位置空著共有9種可能的情況（從1～10號(hào)車位空著到9～18號(hào)車位空著），故這種放法出現(xiàn)的概率為如此小概率的事件竟然發(fā)生了，可以肯定關(guān)于停車位置是有具體規(guī)定的。

[案例2]某接待站在某一周曾接待過12次來訪，已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的，問是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的？

假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒有規(guī)定，而各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待來訪者都在周二、周四的概率為可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的

［案例3］某地區(qū)羊患某種病的概率為0.4，且每只羊患病與否是彼此獨(dú)立的，今研制一種新的預(yù)防藥，任送5只羊做實(shí)驗(yàn)，結(jié)果這5只羊服用此藥后均未患病，問此藥是否有效？

初看起來，會(huì)認(rèn)為這藥一定有效，因?yàn)榉幍难蚓椿疾?，但?xì)想一下，會(huì)有問題，因?yàn)槊恐谎蚧歼@種病的可能只占40％，因此這5只羊都患病，未必是藥的作用．處理方法：假設(shè)藥無效，5只羊都不生病的概率為：

這個(gè)概率很小，該事件幾乎不會(huì)發(fā)生，但它發(fā)生了，說明假設(shè)不對，藥是有效的．［案例3］警方懷疑甲向乙出售毒品，理由是疑犯乙某日曾從銀行賬戶中取出12618元，而第二天疑犯甲的賬戶上就多出了12618元。由于這是間接證據(jù)，控方律師便適時(shí)地使用了實(shí)際推斷法。根據(jù)警方的調(diào)查，疑犯乙取款之前賬戶上共有

24515元，因此他可以從賬戶中取走1~24515元，且每種情況都是等可能的。而他實(shí)際取款的數(shù)目卻是疑犯甲進(jìn)賬的數(shù)目，如果這是一種巧合的話，它發(fā)生的概率只有

雖然控方律師立論的基礎(chǔ)還有待討論，例如他的等可能假設(shè)，但它已足以使陪審團(tuán)相信，這不是一種巧合這種推理方法有兩個(gè)特點(diǎn)：（1）

用了反證法的思想為了檢驗(yàn)藥是否有效，假設(shè)“藥無效”，如果導(dǎo)致一個(gè)不合理的現(xiàn)象發(fā)生，那就表明原先假設(shè)是不正確的，也就是說“假設(shè)”是不能成立的，因此我們拒絕這個(gè)“假設(shè)”（2）

這種推理與純數(shù)學(xué)上的反證法有所不同，這里“不合理”并不是形式邏輯上的絕對矛盾，而是基于實(shí)際推斷原理：小概率事件在一次觀察中可以認(rèn)為基本上不會(huì)發(fā)生.假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想的兩個(gè)特點(diǎn)可以概括成一句話：“概率性質(zhì)的反證法”．線性回歸子代身高與父代的關(guān)系英國遺傳學(xué)家、優(yōu)生學(xué)的創(chuàng)始人高爾頓得出結(jié)論是：子代的身高有向中心（各代人的平均身）回歸的趨勢．高爾頓收集了205對夫婦與他們的928位成年子女的身高資料，其總平均身高為173.35厘米，超過這個(gè)數(shù)字的就是高個(gè)子，不到這個(gè)數(shù)字的就是矮個(gè)子。若以記父母二人的平均身高，記其子女的平均身高，則高爾頓建立了一個(gè)父母平均身高與子女平均身高之間的關(guān)系式：若設(shè)父親的身高為176.0厘米，母親的身高為165.5厘米，則父母的平均身高為170.25厘米，比總平均低了3.1厘米；再由上述公式，其子女的平均身高為雖然仍屬矮個(gè)子之列，但與總平均的差距只有2.48厘(只有其父代差距的80%)，顯示出向中心（173.35厘米）回歸的趨勢,較好地解釋了一代一代的身高的分布基本保持穩(wěn)定的原因。1．問題的提出(1)兩類關(guān)系:函數(shù)關(guān)系,相關(guān)關(guān)系．(2)現(xiàn)實(shí)生活中存在大量的相關(guān)關(guān)系．

2．相關(guān)關(guān)系的概念、用散點(diǎn)圖形象地表示數(shù)據(jù)的分布情況

當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系稱為相關(guān)系．例：探討施化肥量(x)與水稻產(chǎn)量(y)的關(guān)系

施化肥量(x)

15

20

25

30

35

40

45

水稻產(chǎn)量(y)

330

345

365

405

445

450

455

相應(yīng)的點(diǎn)(x，y)，這樣相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形稱為散點(diǎn)圖．

回歸直線方程的求解(1)根據(jù)n個(gè)點(diǎn)的大致分布情況，尋找最接近它的一條直線．(2)用n個(gè)點(diǎn)與該直線的偏差的平方和，來研究接近程度．XYO******xiyi總偏差為：

可獲得使Q取最小值時(shí)的a、b的值：

所得到的方程稱為回歸直線方程，相應(yīng)的直線叫做回歸直線，這種回歸分析方法稱為線性回歸分析．設(shè)所求直線方程為在與直線的偏差為：

可以用配方法求a,bx1.081.361.481.591.681.801.871.982.07y2.652.372.402.552.642.752.923.033.143.263.363.50(1)畫出散點(diǎn)圖．(2)求月總成本y與月產(chǎn)量x之間的回歸直線方程．[案例]

一個(gè)工廠在某年里每月產(chǎn)品的總成本y(萬元)，與該月總產(chǎn)量x(萬件)之間關(guān)系的一組數(shù)據(jù)：

講解此題應(yīng)注意的問題：(1)畫散點(diǎn)圖關(guān)鍵是以成對的一組數(shù)據(jù)，分別為此點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系把其找出來．其橫、縱坐標(biāo)的長度單位選取可以不同，應(yīng)考慮到數(shù)據(jù)分布的特征．(2)散點(diǎn)圖只是形象地描述點(diǎn)的分布情況，它的“線性”是否明顯只能通過觀察，要想把握其特征，必須進(jìn)行定量的研究．(3)統(tǒng)計(jì)中數(shù)據(jù)的求和運(yùn)算往往是使用計(jì)算器，因而計(jì)算器如何使用，教師要準(zhǔn)備些使用常識(shí)，并給出一定的練習(xí)，使學(xué)生演算準(zhǔn)確無誤．(4)列表科學(xué)，可以使運(yùn)算較為簡潔，本題的表格與科學(xué)計(jì)算器結(jié)合進(jìn)來，避免了繁瑣的演算過程，簡潔明了．(5)本例題應(yīng)重點(diǎn)講授，它集各知識(shí)點(diǎn)于一身．求線性回歸方程的步驟：(1)計(jì)算平均數(shù)(2)計(jì)算與的積,求(3)計(jì)算(4)將上述有關(guān)結(jié)果代入公式，求b、a，寫出回歸直線方程．

相關(guān)系數(shù)

1.計(jì)算公式2．相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1)|r|≤1．(2)|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越?。畣栴}：達(dá)到怎樣程度，x、y線性相關(guān)呢？它們的相關(guān)程度怎樣呢？3．相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)．它是假設(shè)檢驗(yàn)的一種，它是用相關(guān)系數(shù)的臨界值來刻畫的，其臨界值是由顯著性水平和自由度經(jīng)查表得出的，其中顯著性水平在統(tǒng)計(jì)中常取0.05或0.01；而自由度為n-2(n為數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù))。如：當(dāng)n＝7時(shí)，r0.05＝0.754，r0.01

＝0.874．

(1)討論兩個(gè)變量是否線性相關(guān)，必須先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，在確認(rèn)其線性相關(guān)后，再求回歸直線．(2)通過對兩個(gè)變量是否線性相關(guān)的估計(jì)，實(shí)際上就是把非確定性問題轉(zhuǎn)化成確定性問題來研究．(3)我們研究的對象是兩個(gè)變量的線性相關(guān)關(guān)系，還可以研究多個(gè)變量的相關(guān)問題，有待于進(jìn)一步探索．

——高中數(shù)學(xué)選修系列之二風(fēng)險(xiǎn)與決策風(fēng)險(xiǎn)的含義

在不同的場合，“風(fēng)險(xiǎn)”一詞有著不同的含義。通常風(fēng)險(xiǎn)包含兩個(gè)方面的內(nèi)容．一是后果損失的嚴(yán)重程度，二是出現(xiàn)損失的可能性的大小。作為制訂決策重要內(nèi)容之一的風(fēng)險(xiǎn)分析．通常就是考慮這兩個(gè)方面，但是不同的領(lǐng)域有各自的側(cè)重點(diǎn)。

風(fēng)險(xiǎn)決策分析就是指決策所面臨的自然狀態(tài)是一種隨機(jī)事件，但這種隨機(jī)事件可以計(jì)算或估計(jì)出其發(fā)生的概率，因而可以計(jì)算出方案成功把握最大的決策。（或者風(fēng)險(xiǎn)最小的決策）例：關(guān)于明天出門是否帶傘？自然狀態(tài)：明天下雨、明天不下雨。概率：明天下雨（70%）；明天不下雨（30%）方案：帶傘、不帶傘P（帶傘成功）=0.7；P（不帶傘成功）=0.3風(fēng)險(xiǎn)：P（帶傘失敗）=0.3；P（不帶傘失?。?0.7

決策分析中所討論的風(fēng)險(xiǎn)可在數(shù)學(xué)上被表達(dá)為一個(gè)概率分布。簡單的概率分布可以理解為某種抽簽，如概率分布解釋為一個(gè)以50%的機(jī)會(huì)抽得100塊錢和同樣的機(jī)會(huì)什么也抽不到，這個(gè)抽簽的均值是50元，衡量決策者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的基本想法就是看他是愿意進(jìn)行抽簽，還是愿意穩(wěn)拿50元該班同學(xué)共計(jì)400次實(shí)驗(yàn)中成功擲出“兩個(gè)正面”的頻率風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度

01000.50.5若愿意抽簽，則說他是風(fēng)險(xiǎn)偏好的；若寧愿拿平均值50元，則說他是保守型或風(fēng)險(xiǎn)厭惡的；若對二者無所謂，則是風(fēng)險(xiǎn)中立的。如果在任何財(cái)富水平上均厭惡風(fēng)險(xiǎn)，則稱他是絕對厭惡風(fēng)險(xiǎn)的。[案例]某商場要根據(jù)天氣預(yù)報(bào)來決定節(jié)日是在商場內(nèi)還是在商場外開展促銷活動(dòng)。統(tǒng)計(jì)資料表明，每年國慶節(jié)商場內(nèi)促銷可獲經(jīng)濟(jì)效益2萬元，商場外促銷活動(dòng)中遇到有雨天氣則帶來經(jīng)濟(jì)損失4萬元，無雨可獲得經(jīng)濟(jì)效益10萬元，9月30日氣象臺(tái)預(yù)報(bào)國慶節(jié)當(dāng)?shù)赜杏甑母怕适?0%，商場應(yīng)該選擇哪種促銷方式？方案一：在商場內(nèi)開展促銷活動(dòng)，獲利2萬元；方案二：在商場外開展促銷活動(dòng)，E(X)=10×0.6＋(-4)×0.4=4.4萬元＞2萬元故應(yīng)選擇商場外促銷方式。

X獲利10－4概率0.60.4說明:１．因?yàn)樘鞖庥杏昊驘o雨是一個(gè)不確定的因素，因此作出決策時(shí)存在一定的風(fēng)險(xiǎn)，我們不能保證所作的決策一定會(huì)取得最好效益，但必須使效益的期望值是最高的。２．如果選擇商場外促銷方式恰逢天氣有雨，則帶來經(jīng)濟(jì)損失4萬元，比商場內(nèi)促銷可獲得經(jīng)濟(jì)效益2萬元更不合算，這就是風(fēng)險(xiǎn)，這樣的決策稱為風(fēng)險(xiǎn)決策。

上述風(fēng)險(xiǎn)決策是以期望報(bào)酬為優(yōu)化準(zhǔn)則的模型，但由于期望準(zhǔn)則對風(fēng)險(xiǎn)不敏感，以及許多決策者厭惡風(fēng)險(xiǎn)，因而它的應(yīng)用受到限制.

而得到廣泛應(yīng)用的是損失最小和不利事件發(fā)生的概率最小的原則[案例]甲、乙兩個(gè)廠家生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其價(jià)格和款式相當(dāng)，已經(jīng)知道甲廠的廢品率是1%，乙廠的廢品率是3%，你買哪個(gè)廠家的產(chǎn)品呢？在通常情況下，人們會(huì)買甲廠的產(chǎn)品，因?yàn)閺U品率低。即對自己不利的事件發(fā)生的概率最?。?/p>

[案例]A、B、C三個(gè)人決定用手槍決斗來解決沖突，已經(jīng)知道：A的槍法最差，命中率為1/3；B好一些，命中率為2/3；C的槍法最好，百發(fā)百中．為此，他們給出一個(gè)公平的決定，A開第一槍，依次是B和C，A應(yīng)當(dāng)如何開第一槍呢？決策一：選擇B，那么有兩種可能:擊中B，然后是C開槍，A必死無疑，這個(gè)可能性是1/3；沒有擊中B，然后B可能選擇C等等，在第一輪中，A被擊中的可能性至少是1/3．決策二：選擇C，也有兩種可能：第一種可能是擊中C，然后是B向A開槍，遵循這條路線，A被擊中是基于A和B均命中的前提下，可能性是2/9；第二種可能是沒有擊中C，然后C一定會(huì)選擇B，因此，在第一輪中，A被擊中的可能性是2/9

。決策三：就是對天空開槍，則在第一輪中，A被擊中的可能性是0，

[案例]如果甲廠產(chǎn)品的價(jià)格為10元，乙廠的價(jià)格為1元，你還買甲廠的產(chǎn)品嗎？D1表示購買甲廠產(chǎn)品的決策D2表示購買乙廠產(chǎn)品的決策D1的損失風(fēng)險(xiǎn)為10×1%=0.1元D2的損失風(fēng)險(xiǎn)為10×3%=0.03元損失風(fēng)險(xiǎn)越小越好,所以D2比D1好[案例]某商場要根據(jù)天氣預(yù)報(bào)來決定節(jié)日是在商場內(nèi)還是在商場外開展促銷活動(dòng)。統(tǒng)計(jì)資料表明，每年國慶節(jié)商場內(nèi)促銷可獲經(jīng)濟(jì)效益2萬元，商場外促銷活動(dòng)中遇到有雨天氣則帶來經(jīng)濟(jì)損失4萬元，無雨可獲得經(jīng)濟(jì)效益10萬元，9月30日氣象臺(tái)預(yù)報(bào)國慶節(jié)當(dāng)?shù)赜杏甑母怕适?0%，商場應(yīng)該選擇哪種促銷方式？D1表示在商場內(nèi)開展促銷活動(dòng)D2表示在商場外開展促銷活動(dòng)H1表示國慶節(jié)下雨；H2表示國慶節(jié)不下雨。P(H1)=0.4,P(H2)=0.6如果H1發(fā)生，采用D2要比D1損失6萬元；如果H2發(fā)生，采用D1要比D2損失8萬元。由此可知：損失是D(決策)和H(狀態(tài))的函數(shù),稱之為損失(益)函數(shù),記為L(D,H)稱之為損益(失)矩陣風(fēng)險(xiǎn)是決策的函數(shù)，稱為風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)，記為R(D)采用決策D2要比D1好,決策D2的風(fēng)險(xiǎn)小上述運(yùn)算過程可以利用矩陣來計(jì)算

[案例]石油鉆探問題。某公司擁有一塊可能有油的士地，該公司可以自己鉆井．也可以出租給其他公司開采，若出租土地，租約有兩種形式：①無條件出租，租金45萬元；②有條件出租，租金依產(chǎn)量而定：產(chǎn)量在20萬桶或以上時(shí)．每桶提成5元，產(chǎn)量不足20萬桶時(shí)不收租金．設(shè)鉆井費(fèi)用為75萬元，有油時(shí)需另加采油設(shè)備費(fèi)25萬元，油價(jià)為15元/桶。為了簡化，可以將油井產(chǎn)量離散化．分為4種狀態(tài)：無油、產(chǎn)油5萬桶、產(chǎn)油20萬桶、產(chǎn)油50萬桶。設(shè)各種狀態(tài)的概率分布為：且決策人風(fēng)險(xiǎn)中立，決策人該選擇什么行動(dòng)？

產(chǎn)油量50萬桶20萬桶5萬桶無油HiH1H2H3H4P(Hi)50.5解：決策人自己鉆井D1記為；無條件出租記為D2有條件出租為D3。H1H2H3H4D1650200-25-75D245454545D32501