(1.5)第五節(jié)極限運(yùn)算法則(少學(xué)時(shí)簡(jiǎn)約型)

中國(guó)藥科大學(xué)數(shù)學(xué)教研室楊訪第五節(jié)極限運(yùn)算法則本節(jié)概要由于初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成，而微積分以極限為工具研究初等函數(shù)，故在微積分中主要討論極限的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算。由極限與無(wú)窮小的關(guān)系，極限運(yùn)算的討論可歸結(jié)為無(wú)窮小運(yùn)算的討論。

極限理論可分為兩個(gè)部分，一是極限概念，二是極限計(jì)算。在理解極限概念的基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步討論極限的計(jì)算問(wèn)題。利用極限與無(wú)窮小的關(guān)系，由無(wú)窮小的代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可方便地導(dǎo)出極限的四則運(yùn)算法則。利用極限的四則運(yùn)算法則可將初等函數(shù)的極限計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的極限計(jì)算。從而只需求出基本初等函數(shù)的極限就可計(jì)算出相當(dāng)一部分初等函數(shù)的極限。1.極限的四則運(yùn)算法則如果

limf(

x

)=A，limg(

x

)=B

，則lim

[

f(

x

)±

g(

x

)]

存在，且有l(wèi)im

[

f(

x

)±

g(

x

)]=A±B=

limf(

x

)±limg(

x

).定理

1和的極限運(yùn)算法則(1)

函數(shù)和的極限因?yàn)閘imf(

x

)=A，lim

g(

x

)=B，由極限與無(wú)窮小的關(guān)系有f(

x

)=A

+

(

x

)，g(

x

)=

B

+

(

x

)，其中l(wèi)im

(

x

)=

0，lim

(

x

)=

0.

于是對(duì)不受極限號(hào)約束的函數(shù)形式有f(

x

)±

g(

x

)=[

A

+

(

x

)]±[

B+

(

x

)]=(

A

±

B)+[

(

x

)±

(

x

)].

由無(wú)窮小的代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)知(

x

)±(

x

)也是無(wú)窮小。再由極限與無(wú)窮小的關(guān)系有l(wèi)im

[

f(

x

)±

g(

x

)]

=A±

B=

limf(

x

)±lim

g(

x

).證利用極限與無(wú)窮小的關(guān)系證明(2)

關(guān)于定理

1

意義的分析和討論

對(duì)定理

1

條件的理解

定理

1

的條件為，在自變量同一變化過(guò)程中，兩個(gè)單項(xiàng)極限均存在，即limf(

x

)=A，limg(

x

)=B.只有在兩個(gè)單項(xiàng)極限都存在的條件下，兩極限的和limf(

x

)±limg(

x

)才有意義。此時(shí)才能考慮極限和是否等于和的極限的問(wèn)題。反之，若兩個(gè)單項(xiàng)極限有一個(gè)不存在，則極限和

limf(

x

)±

limg(

x

)沒(méi)有意義，自然也沒(méi)有確定結(jié)果，但此時(shí)兩函數(shù)和的極限

lim

[

f(

x

)±

g(

x

)]

卻可以有意義，也可能存在。

定理結(jié)論可分為定性和定量的兩個(gè)部分。定性結(jié)論是：和的極限

lim

[

f(

x

)±

g(

x

)]存在。此結(jié)論通常用于判別和函數(shù)極限的存在性。定量結(jié)論是：和的極限等于極限的和，即

lim[

f(

x

)±

g(

x

)]

=

limf(

x

)±limg(

x

).此結(jié)論通常用于和函數(shù)極限的計(jì)算。

對(duì)定理

1

結(jié)論的理解由歸納法原理，定理

1

可推廣至有限多個(gè)函數(shù)的和的情形，即如果

limfi(

x

)=A

i

，(

i=1,2,…,n

)，則

存在，且有

需注意的是，定理

1

的結(jié)論不能推廣至無(wú)窮多個(gè)函數(shù)和的情形，即無(wú)窮多個(gè)函數(shù)的和的極限未必等于各函數(shù)極限的和。

定理

1

的推廣例：求極限

這是

n

-

1

項(xiàng)的和的求極限問(wèn)題，當(dāng)

n

→

時(shí)，就成了無(wú)窮多項(xiàng)和的極限問(wèn)題。

對(duì)此和式中的任一項(xiàng)容易求得有那么是否有分析本例極限的幾何意義圖示三角形面積可近似地表為各小矩形面積之和為應(yīng)用和的極限運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，可考慮將給定的無(wú)窮和轉(zhuǎn)化為有限和。因?yàn)榻饣癁橛邢藓瓦M(jìn)行計(jì)算(3)

函數(shù)乘積的極限定理

2乘積的極限運(yùn)算法則

如果limf(

x

)=A，limg(

x

)=B，則lim[

f(

x

)

g(

x

)]

存在，且有l(wèi)im

[

f(

x

)

g(

x

)]=A·B=

limf(

x

)limg(

x

).

按條件，由極限與無(wú)窮小的關(guān)系有

f(

x

)=A

+

(

x

)，g(

x

)=

B

+

(

x

)，其中l(wèi)im

(

x

)=

0，lim

(

x

)=

0

.對(duì)不受極限號(hào)約束的函數(shù)形式有f(

x

)

g(

x

)=

[

A

+

(

x

)][

B+

(

x

)]=AB+

[

A(

x

)+

B

(

x

)+

(

x

)

(

x

)]

.

由無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)知

(

x

)=A(

x

)+

B

(

x

)+

(

x

)

(

x

)為無(wú)窮小，故有f(

x

)

g(

x

)=AB+

(

x

)，lim

(

x

)=

0.

即lim[

f(

x

)

g(

x

)]

=AB=limf(

x

)limg(

x

).證利用極限與無(wú)窮小的關(guān)系進(jìn)行證明由歸納法原理，定理

2

可推廣至有限多個(gè)函數(shù)的乘積的情形，即如果

limfi(

x

)=A

i

，(

i=1,2,…,n

)，則

存在，且有

需注意的是，定理

2

不能推廣至無(wú)窮多個(gè)函數(shù)的乘積情形，即無(wú)窮多個(gè)函數(shù)的乘積的極限未必等于各函數(shù)極限的乘積。

定理

2

的推廣推論

1冪的極限運(yùn)算性質(zhì)如果

limf(

x

)存在，而

n

為正整數(shù)，則lim[

f

(

x

)]n

=[

lim

f(

x

)]n

.如果

limf

(

x

)存在，而

C

為常數(shù)，則

lim

C

f(

x

)=

C

limf(

x

).常數(shù)可從極限號(hào)中提出推論

2推論1f(

x

)＝g(

x

)推論2g(

x

)＝C

結(jié)果說(shuō)明對(duì)初等函數(shù)的討論，所遇到的冪函數(shù)指數(shù)常常不一定是正整數(shù)，因此推論

1

的應(yīng)用會(huì)出現(xiàn)一些問(wèn)題。由復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算性質(zhì)還可得到如下更具一般性的結(jié)果：若

limf(

x

)=A>0

，則對(duì)一切實(shí)數(shù)

有l(wèi)im[

f

(

x

)]

=[

lim

f

(

x

)]

.推論1的更一般性的結(jié)果(5)

函數(shù)商的極限定理

3商的極限運(yùn)算法則

如果

limf(

x

)=A，limg(

x

)=B，且

B

0，則

由極限與無(wú)窮小的關(guān)系，為證明此商的極限運(yùn)算法則，可設(shè)法證明在自變量的一定趨向下為無(wú)窮小。

為證

(

x

)為無(wú)窮小，首先需使(

x

)有意義，即使

g(

x

)在自變量的相應(yīng)趨向下沒(méi)有零點(diǎn)。分析證利用極限與無(wú)窮小的關(guān)系證明證明

x→

x

0時(shí)的情形。因?yàn)?/p>

由局部保號(hào)性定理可推出，存在

1>0

，使得當(dāng)0

<x-

x

0<

1時(shí)從而當(dāng)0

<

x-

x

0<

1時(shí)，總有意義。因?yàn)?/p>

f(

x

)=A+

(

x

)，g(

x

)=B+

(

x

)，其中

由無(wú)窮小的性質(zhì)知，當(dāng)x→

x

0時(shí)，B(

x

)+A(

x

)為無(wú)窮小，故要證(

x

)為無(wú)窮小，只需證在點(diǎn)x

0的某鄰域內(nèi)有界。因?yàn)楫?dāng)x→

x

0時(shí)，(

x

)為無(wú)窮小，由極限定義知

對(duì)，存在滿足條件

1

>

2

>0

的

2，使得當(dāng)0

<

x-

x

0<

2時(shí)有于是有即當(dāng)0

<

x-

x

0<

2時(shí)有界。

從而當(dāng)x→

x

0時(shí)為無(wú)窮小。

由極限與無(wú)窮小的關(guān)系知證利用極限與無(wú)窮小的關(guān)系證明證明

x→

時(shí)的情形。因?yàn)?/p>

由局部保號(hào)性定理可推出，存在

X

1>0

，使得當(dāng)

x

>

X

1時(shí)從而當(dāng)

x

>

X

1時(shí)，

總有意義。因?yàn)?/p>

f(

x

)=A+

(

x

)，g(

x

)=B+

(

x

)，其中

由無(wú)窮小的性質(zhì)知，當(dāng)x→

時(shí)，B(

x

)+A(

x

)為無(wú)窮小，故要證(

x

)為無(wú)窮小，只需證在當(dāng)x

的充分大時(shí)有界。因?yàn)楫?dāng)x→

時(shí)，(

x

)為無(wú)窮小，由極限定義知

對(duì)，存在滿足條件

X

2

>

X

1

>0

的

X

2，使得當(dāng)

x

>

X

2時(shí)有于是有即當(dāng)

x

>

X

2時(shí)有界。從而當(dāng)x→

時(shí)為無(wú)窮小。

由極限與無(wú)窮小的關(guān)系知定理

4局部比較定理如果

(

x

)

(

x

)，而

lim

(

x

)=a

,

lim(

x

)=

b

,那么

ab.

如果將定理

1

3

理解成在等式兩邊實(shí)施極限運(yùn)算的條件和規(guī)則的話，定理

4

則可理解成在不等式兩邊實(shí)施極限運(yùn)算的條件和規(guī)則，即如果(

x

)

(

x

)，而

lim

(

x

)

,

lim(

x

)存在，則可在不等式

(

x

)

(

x

)兩邊取極限，且有

lim(

x

)

lim

(

x

)

.分析證利用局部保號(hào)性定理進(jìn)行證明

作輔助函數(shù)f(

x

)=

(

x

)-

(

x

).由和的極限運(yùn)算法則有

lim

f(

x

)=

lim

[(

x

)-

(

x

)]

=

lim

(

x

)-

lim

(

x

)=

a-

b

.由條件知

f(

x

)=

(

x

)-

(

x

)0，故由局部保號(hào)性定理推論有l(wèi)im

f(

x

)0，即有a-

b

0，因此ab

.條件

(

x

)

(

x

)僅是局部性的要求，并非要求在函數(shù)

(

x

)、

(

x

)的定義域內(nèi)恒成立，方可在其兩邊取極限。對(duì)

x

→

x

0的情形，不等式

(

x

)

(

x

)僅要求在點(diǎn)x

0的某空心鄰域內(nèi)成立即可。對(duì)

x

→

的情形，不等式

(

x

)

(

x

)僅要求對(duì)某個(gè)正數(shù)

X，當(dāng)

x

>

X

時(shí)成立即可。

定理說(shuō)明

對(duì)定理

4條件的理解對(duì)定理?xiàng)l件和結(jié)論的理解定理

4

可理解為在不等式兩邊取極限的運(yùn)算條件和規(guī)則，需注意的是，若將條件改成

(

x

)>

(

x

)，定理結(jié)果仍為

ab，即如果

(

x

)>

(

x

)，而

lim

(

x

)=a

,

lim(

x

)=

b

,那么

ab.不能將此定理想當(dāng)然地推廣為如果

(

x

)>

(

x

)，而

lim

(

x

)=a

,

lim(

x

)=

b

,那么

a>b.

對(duì)定理

4結(jié)論的理解例：設(shè)(

x

)=x

4+

x

2+1，(

x

)=

x

2+1，

由極限運(yùn)算法則容易求得

結(jié)果分析：

由給定函數(shù)表達(dá)式易見(jiàn)，當(dāng)

x

0

時(shí)有x

4+

x

2+1

=

(

x

)>

(

x

)=

x

2+1，因此由(

x

)>

(

x

)只能導(dǎo)出lim(

x

)lim

(

x

).解應(yīng)用極限運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算用極限四則運(yùn)算法則討論和計(jì)算函數(shù)極限，首先需注意的是，這些法則都是在一定條件下成立的，應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意考察相應(yīng)條件是否滿足。只有當(dāng)運(yùn)算法則條件滿足時(shí)，才能應(yīng)用這些法則進(jìn)行計(jì)算。然而，對(duì)于某些極限，盡管其不滿足運(yùn)算法則的條件，極限卻仍可能存在。因此，從計(jì)算角度可將極限可分為兩類，一類稱之為“定式”，一類稱之為“不定式”。2.極限四則運(yùn)算法則的應(yīng)用所謂“定式”就是滿足極限運(yùn)算法則條件的極限式,而“不定式”則是指雖不滿足極限運(yùn)算法則條件，但其極限仍可能存在的那類極限式。對(duì)于“定式”，只需按極限運(yùn)算法則計(jì)算就可以了，而對(duì)于“不定式”，通常不能直接根據(jù)法則計(jì)算，而需先對(duì)給定“不定式”進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃位蜣D(zhuǎn)化，使其滿足運(yùn)算法則條件，再考慮按極限運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算。由于“定式”計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單，所以極限計(jì)算主要研究“不定式”的計(jì)算。(1)

定式極限的計(jì)算例：求極限

對(duì)此三次多項(xiàng)式的極限計(jì)算，

由極限的加法及乘法運(yùn)算法則有需注意的是：此處計(jì)算的是三次多項(xiàng)式的極限值，而不是函數(shù)值，即并不是將

x

=

1

代入該三次多項(xiàng)式求得的值。解用極限運(yùn)算法則計(jì)算

由于多項(xiàng)式總是經(jīng)由加法和乘法運(yùn)算構(gòu)成的，因此本例的計(jì)算過(guò)程也適用于一般多項(xiàng)式在一點(diǎn)

x

0

處的極限的計(jì)算。對(duì)于一般的多項(xiàng)式

P

n(

x

)=

a

0x

n+

a1

x

n

-1+

…

+

a

n

-1x

+

a

n，求其在一點(diǎn)

x

=

x

0處的極限可作如下計(jì)算

因?yàn)閷?duì)1

k

n有于是由極限運(yùn)算法則有例：求極限

對(duì)此分式的極限，考慮由極限的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，為此先驗(yàn)證商的極限運(yùn)算法則條件是否滿足。因?yàn)?/p>

因此由商的極限運(yùn)算法則有解用極限運(yùn)算法則計(jì)算

由于有理分式函數(shù)總是經(jīng)由加、減、乘、除四種運(yùn)算構(gòu)成的，因此本例的計(jì)算過(guò)程也適用于一般有理分式函數(shù)在一點(diǎn)

x

0處的極限計(jì)算。對(duì)于一般的有理分式函數(shù)

P

m(

x

)=a

0x

m+a1x

m-

1+…+a

m

-

1x+a

m，Q

n(

x

)=b

0x

n+

b

1

x

n

-

1+…+

b

n

-

1x+

b

n，Q

n(

x0

)0

,求其在一點(diǎn)

x

=x

0處的極限可作如下計(jì)算

由于故由商的極限法則有由上計(jì)算看出，對(duì)有理函數(shù)

f(

x

)而言，只要

f(

x

)在點(diǎn)

x

0處有定義，則當(dāng)

x

→

x

0時(shí)，f(

x

)的極限必存在,且其極限值等于

f(

x

)在點(diǎn)

x

0處的函數(shù)值。此處不加證明地指出：一切基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都具有這樣的性質(zhì)，即若

f(

x

)是基本初等函數(shù),其定義域?yàn)?/p>

D

f，則當(dāng)

x0

D

f時(shí)有

由此可得計(jì)算基本初等函數(shù)在一點(diǎn)處的極限的一種簡(jiǎn)便的方法：為求基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的點(diǎn)

x

0處的極限，只需計(jì)算函數(shù)在該點(diǎn)處的函數(shù)值即可。方法歸納基本初等函數(shù)極限的計(jì)算(2)

不定式極限的計(jì)算例：求極限

這是個(gè)商的極限問(wèn)題，由于不能直接應(yīng)用商的極限運(yùn)算法則計(jì)算。注意到

，故對(duì)此分母為無(wú)窮小的商的極限，可利用無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算。

因?yàn)?/p>

故有利用無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系計(jì)算解分析例：求極限

這是個(gè)商的極限問(wèn)題，由于不能用商的極限運(yùn)算法則計(jì)算。同時(shí)由于

故也不能利用無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算。對(duì)此“0/0”型的不定式，由于其分子、分母是同類函數(shù)，因而它們必有公共的零因子，故可考慮消去二二者公共的零因子，將其轉(zhuǎn)化為定式進(jìn)行計(jì)算。約去公共零因子，化為定式計(jì)算解分析本例的方法具有一般性，即對(duì)于“0/0”型不定式,若其分子、分母是同類函數(shù)，可設(shè)法先將分子、分母的零因子分離出來(lái)，并通過(guò)消去公共的零因子，將其轉(zhuǎn)化為定式計(jì)算，這一方法稱為“無(wú)窮小分離法”。方法歸納無(wú)窮小分離法例：求極限

對(duì)此“0/0”型不定式，由于其分子、分母是同類函數(shù)，故必有公共零因子，因此可考慮分離并消去公共零因子，將其轉(zhuǎn)化為定式進(jìn)行計(jì)算。

分離出公共零因子，化為定式計(jì)算解分析例：設(shè)P

m(

x

)=

a

0

x

m+

a1x

m-

1+…+

a

m-

1

x

+

a

m，Q

n(

x

)=

b

0

x

n+

b

1x

n

-

1+…+

b

n-

1x

+

b

n，其中

a

0

0，b

0

0，求：這是個(gè)有理分式求

x

→

時(shí)的極限問(wèn)題。容易看出它是個(gè)“/”型不定式。由于該有理式的分子、分母是同類函數(shù)，因此想到，在分離出二者的公共無(wú)窮大因子并消去，將其轉(zhuǎn)化為定式計(jì)算?！?”型不定式極限的存在性取決于分子、分母趨于無(wú)窮的速度之比，即取決于二者的無(wú)窮大級(jí)別。本例分子、分母的無(wú)窮大因子的級(jí)別顯然與

m、n

有關(guān)，因此應(yīng)就

m、n

的不同取值進(jìn)行討論。

分析按分子、分母無(wú)窮大級(jí)別討論計(jì)算解

m=n，即n

-

m=0

m<n，即n

-

m>0

綜上討論有

m>n，即m

-

n>0

本例所用的方法稱為無(wú)窮大分離法。對(duì)于“/”型不定式，若其分子、分母是同類函數(shù)，可設(shè)法先將二者的無(wú)窮大因子分離出來(lái)，并通過(guò)消去公共的無(wú)窮大因子將其轉(zhuǎn)化為定式進(jìn)行計(jì)算。消去無(wú)窮大因子的方法是，通過(guò)觀察確定分子、分母中級(jí)別最高的無(wú)窮大因子，然后在分離出該無(wú)窮大因子并消去。因此，應(yīng)用無(wú)窮大分離法的關(guān)鍵是確定分子、分母中級(jí)別最高的無(wú)窮大因子。方法歸納無(wú)窮大分離法例：求極限

對(duì)此“/”型的不定式，由于其分子、分母均是無(wú)理式，考慮分離并消去公共無(wú)窮大因子。觀察分子、分母形式可見(jiàn)，其間最大的公共無(wú)窮大因子為

n

.

分離出分子、分母的公共無(wú)窮大因子解分析此式已是定式例：求極限容易看出這是個(gè)“/”型不定式求極限問(wèn)題。對(duì)此“/”型的不定式，由于其分子、分母均是多項(xiàng)式，屬同類函數(shù)，故考慮用無(wú)窮大分離法求之。觀察可見(jiàn)，分子、分母均是50次多項(xiàng)式，其間最大的公共無(wú)窮大因子為

x

50

.

分析用無(wú)窮大分離法求之解已是定式“0/0”和“/”型不定式是兩類基本的分式型不定式。分式型不定式的特點(diǎn)是便于約簡(jiǎn)，當(dāng)分子分母為同類函數(shù)時(shí)，這兩類不定式?？赏ㄟ^(guò)無(wú)窮小(無(wú)窮大)分離法約去公共因子，使其轉(zhuǎn)化為定式的極限計(jì)算，因而它們成為各類不定式計(jì)算常用的“中轉(zhuǎn)站”。對(duì)于各類其它形式的不定式，可先設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為“0/0”型或“/”型不定式，再考慮對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)和計(jì)算。方法歸納關(guān)于“”型和“”型不定式例：求極限

這是個(gè)“

-

”型的不定式極限，不能直接按差的極限運(yùn)算法則計(jì)算。因此考慮先將其化為分式型極限，再設(shè)法約去公共因子將其轉(zhuǎn)化為定式進(jìn)行計(jì)算。

通分，化差為商再化簡(jiǎn)解分析已是定式例：求極限

這是無(wú)窮多項(xiàng)和的極限，不能直接按和的極限運(yùn)算法則計(jì)算，考慮先將無(wú)窮和化為有限和再求極限。

由自然數(shù)平方和公式有化無(wú)窮和為有限和計(jì)算解分析已是定式本例的一種錯(cuò)誤解法錯(cuò)例警示錯(cuò)誤原因：和的極限運(yùn)算法則不能推廣至無(wú)窮多項(xiàng)和的情形。例：求極限

這是無(wú)窮多項(xiàng)和的極限問(wèn)題，為計(jì)算極限，宜先將無(wú)窮和化為有限和。

由此數(shù)列各項(xiàng)形式聯(lián)想到其各項(xiàng)是由簡(jiǎn)單分式通分而來(lái)的，于是考慮先將其還原為簡(jiǎn)單分式再作計(jì)算。用拆項(xiàng)法化簡(jiǎn)求和解分析3.復(fù)合函數(shù)取極限法則函數(shù)復(fù)合是構(gòu)成初等函數(shù)的一種基本方式，理解和掌握復(fù)合函數(shù)取極限法則是掌握極限運(yùn)算的基本要求。復(fù)合函數(shù)取極限問(wèn)題較極限的四則運(yùn)算法則要復(fù)雜得多。因?yàn)樵趶?fù)合函數(shù)中，因變量對(duì)自變量的依賴關(guān)系是間接的，且其間還涉及內(nèi)層函數(shù)值域與外層函數(shù)定義域的包容性問(wèn)題。這里不對(duì)復(fù)合函數(shù)取