大學(xué)物理第22章量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

人們很早就認(rèn)識到構(gòu)成世界的物質(zhì)有兩種：實(shí)物Matter和場Field。前者的例子有電子質(zhì)子，后者的例子有電磁場。電磁場表現(xiàn)出了粒子性的一面（光子），并得到光電效應(yīng)和康普頓散射的證實(shí)。那么對于實(shí)物粒子，我們很容易想到是不是以前過分強(qiáng)調(diào)粒子性的一面而忽略了實(shí)物波動性的一面呢？第二十二章量子力學(xué)基礎(chǔ)知識一切實(shí)物粒子也具有波粒二象性：既是粒子也是波——物質(zhì)波或德布羅意波。物質(zhì)波的波長、頻率與能量、動量滿足下面的德布羅意關(guān)系：一、DeBroglie物質(zhì)波假設(shè)§22.1波粒二象性wave-particleduality兩式中左邊反映波動性，右邊反映粒子性。剛好與愛因斯坦的光量子假設(shè)相反。公式中的E和p并未指定是牛頓力學(xué)還是相對論力學(xué)中的能量和動量，所以需要我們自己判斷。兩個式子中，我們更加關(guān)注德布羅意波長和粒子動量關(guān)系的公式。LouisdeBroglie1892～19871924年，法國物理學(xué)家DeBroglie向巴黎大學(xué)提交的一篇博士論文中，提出了物質(zhì)波的假設(shè)。

氫原子中電子作圓周運(yùn)動，它所對應(yīng)的物質(zhì)波形成駐波時才是穩(wěn)定的。因此，圓周長應(yīng)等于波長的整數(shù)倍。DeBroglie波與Bohr的量子化條件

電子波動反映到原子中，為駐波。當(dāng)受到微擾時，波保持穩(wěn)定，如同金、銀等金屬化學(xué)性質(zhì)一般保持穩(wěn)定一樣。DeBroglie波長公式

當(dāng)質(zhì)量為m的粒子運(yùn)動速度v<<c時，可以用牛頓力學(xué)處理，物質(zhì)波波長為但如果速度為v~c，必須使用相對論公式：我們常常碰到的是帶電(電量q)粒子，從靜止開始受到加速電壓U的作用具體到考慮加速電壓U為多少可以忽略相對論效應(yīng)？如果是電子U小于百萬伏特就可以例1：電子靜止質(zhì)量m0=9.110-31Kg，以v=6.0106m/s速率運(yùn)動。質(zhì)量m=50Kg的人，以v=15m/s的速度運(yùn)動，試比較電子與人的DeBroglie波長。解：電子和人的DeBroglie波長分別為：

電子的DeBroglie波長與X射線接近，人的DeBroglie波長儀器根本觀測不到?？梢?，宏觀物體的波動性根本不必考慮，只考慮其粒子性。例2：兩束電子動能分別為100eV和200eV，求電子的DeBroglie波長。解：電子的DeBroglie波長分別為：電子的DeBroglie波長與X射線接近，其波動性不能忽略。①Davisson-Germer的電子衍射實(shí)驗

1927年美國物理學(xué)家C.J.Davisson與G.P.Germer用電子衍射實(shí)驗證實(shí)了電子具有波動性。實(shí)驗裝置示意圖如下：二、物質(zhì)波的實(shí)驗驗證

要想從實(shí)驗上觀察到物質(zhì)波，必須波長孔隙線度可比擬從而產(chǎn)生衍射現(xiàn)象。由上面的計算可知，任何宏觀物體的物質(zhì)波實(shí)際上都無法通過衍射觀察，但是能量為～102eV的電子其德布羅意波長與X射線同量級，X射線能觀察到衍射，電子打在晶體上也應(yīng)當(dāng)能觀察到電子的衍射。真空電子槍掠射角INi單晶U此實(shí)驗驗證了電子具有波動性。實(shí)驗裝置如圖示。燈絲K發(fā)出的電子束通過狹縫D后，略入射到鎳單晶體上。假如電子具有波動性，應(yīng)滿足布喇格公式

在散射角不變時，測量在不同加速電壓下經(jīng)晶體散射后的電子束（電流）的強(qiáng)度。實(shí)驗發(fā)現(xiàn)電子束（電流）的強(qiáng)度具有明顯的選擇性。如：僅當(dāng)時，電流才有極大值。②GPThomson的電子衍射實(shí)驗1927年英國物理學(xué)家GPThomson（JJThomson之子）也獨(dú)立地完成了電子多晶體衍射實(shí)驗。燈絲K發(fā)出的電子束經(jīng)加速后通過狹縫（～keV），垂直投射到多晶薄片上，穿過薄片后在底片上形成衍射圖樣。screenpoly-crystalfilmultra-highvoltagegridcathode由此L.deBroglie獲1929年Nobel物理獎G.P.Thomson與C.J.Davisson共獲1937年Nobel物理學(xué)獎。后來實(shí)驗又驗證了：質(zhì)子、中子和原子、分子等實(shí)物粒子都具有波動性，并都滿足德布羅意關(guān)系。三、物質(zhì)波的統(tǒng)計解釋

德布羅意波理論得到實(shí)驗支持后，怎么解釋實(shí)物粒子的波動性質(zhì)，或者說如何看待波粒二象性，成為當(dāng)時物理學(xué)界的一個重大爭論問題。物質(zhì)波對應(yīng)什么物理量在波動？物質(zhì)波是電磁波還是機(jī)械波？物質(zhì)波滿足什么波動方程？經(jīng)過物理學(xué)家之間的反復(fù)論戰(zhàn)，大部分人都同意波恩的觀點(diǎn)：物質(zhì)波是一種概率波，而不是經(jīng)典的波動。波粒二象性是單個粒子所具有的固有屬性。下面我們來討論一下電子的雙縫干涉實(shí)驗。1949年，前蘇聯(lián)物理學(xué)家費(fèi)格爾曼做了一個非常精確的弱電子流衍射實(shí)驗。電子幾乎是一個一個地通過雙縫，底片上出現(xiàn)一個一個的點(diǎn)子。（顯示出電子具有粒子性）開始時底片上的點(diǎn)子“無規(guī)”分布，隨著電子增多，逐漸形成雙縫衍射圖樣單電子雙縫衍射實(shí)驗：7個電子100個電子30002000070000

說明衍射圖樣不是電子相互作用的結(jié)果,它來源于單個電子具有的波動性。每個電子到達(dá)屏上各點(diǎn)有一定概率，衍射圖樣是一個電子出現(xiàn)概率的統(tǒng)計結(jié)果。粒子觀點(diǎn)電子密處，概率大電子疏處，概率小

物質(zhì)波的統(tǒng)計意義：某處物質(zhì)波的強(qiáng)度與粒子在該處鄰近出現(xiàn)的概率成正比。怎樣理解微觀粒子的二象性：1粒子性指它與物質(zhì)相互作用的“顆粒性”或“整體性”。但不是經(jīng)典的粒子！因為微觀粒子沒有確定的軌道，應(yīng)拋棄“軌道”的概念！2波動性指它在空間傳播有“可疊加性”，有“干涉”、“衍射”、“偏振”等現(xiàn)象。但不是經(jīng)典的波！因為它沒有某種實(shí)際物理量（如質(zhì)點(diǎn)的位移、電場、磁場等）的波動。少女？老婦？兩種圖象不會同時出現(xiàn)在你的視覺中。微觀粒子在某些條件下表現(xiàn)出粒子性，在另一些條件下表現(xiàn)出波動性，而兩種性質(zhì)雖寓于同一體中，卻不能同時表現(xiàn)出來?！?2.2波函數(shù)波函數(shù)

描述具有波粒二象性的微觀物體狀態(tài)的函數(shù)稱為波函數(shù)。如果知道了某微觀物體的波函數(shù)后，原則上確定該物體的全部物理性質(zhì)。波函數(shù)一般是時間和空間坐標(biāo)的復(fù)數(shù)函數(shù)。一、波函數(shù)

隨著舊量子論的出現(xiàn)，經(jīng)典物理的概念越來越難以描述微觀現(xiàn)象，矛盾隨處可見，物理學(xué)家們都很困惑。1925~1928年，在物質(zhì)波理論成功的激勵下，Heisenberg、Born、Schr?dinger、Dirac等人終于建立了一套完全革命性的理論量子力學(xué)。在量子力學(xué)中用復(fù)數(shù)表達(dá)式：

沿X方向勻速直線運(yùn)動的自由粒子，動量、能量恒定不變。按照DeBroglie關(guān)系，此物質(zhì)波的波長和頻率也保持恒定不變，即為平面單色波，其波函數(shù)寫作：

在波動學(xué)中，描述波動過程的數(shù)學(xué)函數(shù)都是空間、時間的二元函數(shù)。一列沿X軸正向傳播的平面單色簡諧波的波動方程：取實(shí)部Eulerformula應(yīng)用DeBroglie關(guān)系，上式可改寫成為：進(jìn)而，沿方向勻速直線運(yùn)動的自由粒子的波函數(shù)為：

自由粒子的能量和動量為常量，其德布羅意波是平面單色波。

對于處在外場作用下運(yùn)動的非自由粒子，其能量和動量不是常量，其波函數(shù)所描述的德布羅意波就不是平面波。

外場不同，粒子的運(yùn)動狀態(tài)及描述運(yùn)動狀態(tài)的波函數(shù)也不相同。

微觀物體的運(yùn)動狀態(tài)可用波函數(shù)來描述，這是量子力學(xué)的一個基本假設(shè)。

空間某處波的強(qiáng)度與在該處發(fā)現(xiàn)粒子的概率成正比；

在該處單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率（即概率密度）與波函數(shù)的模的平方成正比，并取比例系數(shù)為1，即：德布羅意波又可以被稱概率波probabilitywave二、波函數(shù)的統(tǒng)計解釋

設(shè)描述粒子運(yùn)動狀態(tài)的波函數(shù)為，則：的共軛復(fù)數(shù)是MaxBorn(1882~1969)玻恩1926年提出了對波函數(shù)的統(tǒng)計解釋1954年獲諾貝爾物理獎。rXYzOxyzdVxddyzd因概率密度

在波函數(shù)存在的全部空間V中必能找到粒子，即在全部空間V中粒子出現(xiàn)的概率為1。此條件稱為波函數(shù)的歸一化條件。滿足歸一化條件的波函數(shù)稱為歸一化波函數(shù)。故在矢端的體積元內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為：波函數(shù)具有統(tǒng)計意義，其函數(shù)性質(zhì)應(yīng)具備三個標(biāo)準(zhǔn)條件：以一維波函數(shù)為例，在下述四種函數(shù)曲線中，只有一種符合標(biāo)準(zhǔn)條件YYYYXOXOOXOX連續(xù)因概率不會在某處發(fā)生突變，故波函數(shù)必須處處連續(xù)；單值因任一體積元內(nèi)出現(xiàn)的概率只有一種，故波函數(shù)一定單值；有限因概率不可能為無限大，故波函數(shù)必須是有限的；德布羅意波（物質(zhì)波）經(jīng)典波是振動狀態(tài)的傳播不代表任何物理量的傳播波強(qiáng)（振幅的平方）代表通過某點(diǎn)的能流密度波強(qiáng)（振幅的平方）代表粒子在某處出現(xiàn)的概率密度概率密度分布取決于空間各點(diǎn)波強(qiáng)的比例，并非取決于波強(qiáng)的絕對值。能流密度分布取決于空間各點(diǎn)的波強(qiáng)的絕對值。

因此，將波函數(shù)在空間各點(diǎn)的振幅同時增大C倍，不影響粒子的概率密度

因此，將波函數(shù)在空間各點(diǎn)的振幅同時增大C倍，則各處的能流密度增大C2倍，變?yōu)榱硪环N能流密度分布狀態(tài)。波函數(shù)存在歸一化問題。波動方程無歸一化問題。2.物質(zhì)波與經(jīng)典波的異同例1：已知粒子的波函數(shù)為，c是待定實(shí)數(shù)。求發(fā)現(xiàn)粒子概率最大的位置和粒子出現(xiàn)在[0,1]上的概率。發(fā)現(xiàn)粒子的概率為：令導(dǎo)數(shù)為零能求嗎？解：先定歸一化系數(shù)c發(fā)現(xiàn)粒子概率最大處為發(fā)現(xiàn)粒子出現(xiàn)在[0,1]概率為

在經(jīng)典力學(xué)中，宏觀物體（粒子、質(zhì)點(diǎn)）某一時刻的運(yùn)動狀態(tài)，我們可以確定的坐標(biāo)和確定的動量來描述。那么，對具有波粒二象性的微觀粒子，是否也能用確定的坐標(biāo)和確定的動量來描述呢？

Heisenberg首先提出，由于微觀粒子具有顯著的波動性，不能同時確定坐標(biāo)和動量。后來玻恩按照波函數(shù)的統(tǒng)計解釋給出了嚴(yán)格的證明，使其表述更為準(zhǔn)確，最后這一關(guān)系成為了量子力學(xué)的基本假設(shè)之一。

§22.3不確定關(guān)系

海森堡（W.K.Heisenberg，1901—1976）德國理論物理學(xué)家。他在1925年為量子力學(xué)的創(chuàng)立作出了最早的貢獻(xiàn)，于1927年提出的不確定關(guān)系，奠定了量子力學(xué)的基礎(chǔ)。因創(chuàng)立用矩陣數(shù)學(xué)描述微觀粒子運(yùn)動規(guī)律的矩陣力學(xué)，獲1932年諾貝爾物理獎。

由于使用波函數(shù)來描述微觀粒子的狀態(tài)，粒子的位置出現(xiàn)在空間各點(diǎn)的概率就可以用來計算，這樣的結(jié)果告訴我們，粒子位置具有一個不確定度，同樣粒子的動量分布也可以計算出一個不確定度這兩個量：同一時刻的坐標(biāo)和動量的不確定度是否有某種聯(lián)系呢？我們首先定性分析一個例子：1.定性分析位置不確定度波包可用若干不同波長平面波疊加得到，波長不是單一的，有一個波長分布范圍。根據(jù)德布羅意關(guān)系動量也有一定的不確定度

量子力學(xué)可嚴(yán)格證明，一維微觀粒子坐標(biāo)和動量的不確定度之積為：即：對于微觀粒子不能同時用確定的位置和確定的動量來描述，這就是Heisenberg不確定關(guān)系，以前叫測不準(zhǔn)關(guān)系），如果是三維情況：2.不確定關(guān)系uncertainlyrelation在做數(shù)量級估算的時候，不等式右方還可以出現(xiàn)、、在量子力學(xué)中，能量和時間也存在著一組關(guān)系：3.不確定關(guān)系的理解坐標(biāo)和動量不能同時具有確定的數(shù)值；坐標(biāo)或動量越準(zhǔn)確，則與之對應(yīng)的量就越不確定。坐標(biāo)或動量具有完全確定的值時,與之對應(yīng)的量將具有完全不確定的值。測不準(zhǔn)關(guān)系是由于微觀粒子的波粒二象性決定的，并非由于實(shí)驗儀器、實(shí)驗技術(shù)和方法的不精確所致，即使是無誤差的理想實(shí)驗，也不能排除量子體系固有的這一特性。測不準(zhǔn)關(guān)系與Bohr軌道概念不相容。這里的坐標(biāo)或動量都具有統(tǒng)計含義，分別代表有關(guān)位置和動量的方均根偏差。時間與能量的不確定關(guān)系表示出了粒子能量與其壽命確定程度互相制約的關(guān)系。②關(guān)于時間與能量關(guān)系根據(jù)能量和時間的不確定關(guān)系，可以解釋原子譜線的寬度?；鶓B(tài)：非常穩(wěn)定第一激發(fā)態(tài)：能量和基態(tài)比要高，所以不穩(wěn)定，存在一個壽命τ。完全確定；所以，電子從第一激發(fā)態(tài)E1向基態(tài)Eo的躍遷，所發(fā)出的光譜線一定有寬度，或者說波長有一個范圍。其它高激發(fā)態(tài)也一樣。存在一個范圍。③普朗克常量h的物理意義

如同光速c的量級規(guī)定了Newton力學(xué)的適用范圍，把它與相對論劃分開來，Planck常數(shù)的量級從另一個方向規(guī)定了Newton力學(xué)的適用范圍，并把經(jīng)典理論同量子理論劃分開來。在任何具體的問題中，如果相對說來，可以忽略不計，那么坐標(biāo)和動量就可以同時確定，經(jīng)典理論適合這樣的問題；如果的大小不能忽略，那就必須使用量子理論。例：若電子與質(zhì)量m

=0.01Kg

的子彈，都以200m/s的速度沿x

方向運(yùn)動，速率測量相對誤差在0.01%內(nèi)。求在測量二者速率的同時測量位置所能達(dá)到的最小不確定度△x

。解：（1）電子位置的不確定度。由于電子動量不確定度為（2）子彈位置的不確定度。由于子彈動量不確定度為例：討論電子的單縫衍射實(shí)驗中的不確定關(guān)系。如果我們?nèi)杂米鴺?biāo)和動量描述電子的運(yùn)動，那么當(dāng)電子通過狹縫的坐標(biāo)x為多少？對此我們無法準(zhǔn)確知道，不確定范圍為：

衍射電子的動量大小無變化，但方向改變了。由于衍射后，大部分電子落在兩個一級暗紋之間，因此，由暗紋條件電子動量在x方向的不確定度為：一級暗紋滿足關(guān)系：由DeBroglie關(guān)系:

由于電子經(jīng)狹逢衍衍射后，并不完全出現(xiàn)在一級明紋處，考慮次級明紋后，應(yīng)有：§22.4Schr?dinger方程薛定諤（ErwinSchr?dinger,1887--1961）奧地利物理學(xué)家，量子力學(xué)的重要奠基人之一，同時在固體的比熱、統(tǒng)計熱力學(xué)、原子光譜及鐳的放射性等方面都有很大成就。

薛定諤的波動力學(xué)，是在德布羅意提出的物質(zhì)波的基礎(chǔ)上建立起來的。他把物質(zhì)波表示成數(shù)學(xué)形式，建立了稱為薛定諤方程的量子力學(xué)波動方程，在量子力學(xué)中居核心的地位，是量子力學(xué)中描述微觀粒子(如電子等)運(yùn)動狀態(tài)的基本定律，在微觀、低速條件下適用。在經(jīng)典極限下，薛定諤方程可以過渡到哈密頓方程。薛定諤對分子生物學(xué)的發(fā)展也做過工作。由于他的影響，不少物理學(xué)家參與了生物學(xué)的研究，使物理學(xué)和生物學(xué)相結(jié)合，形成了現(xiàn)代分子生物學(xué)的最顯著的特點(diǎn)之一。由于對原子理論的發(fā)展貢獻(xiàn)卓著，于1933年同英國物理學(xué)家狄拉克共獲諾貝爾物理學(xué)獎。

量子力學(xué)是研究微觀粒子運(yùn)動規(guī)律物理學(xué)分支學(xué)科，主要研究原子、分子、凝聚態(tài)物質(zhì)，以及原子核和基本粒子的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)的基礎(chǔ)理論。經(jīng)典力學(xué)中，已知力F及xo、vo，可由牛頓定律及守恒率等方程求質(zhì)點(diǎn)任意時刻的狀態(tài)。量子力學(xué)中，已知初始狀態(tài)、根據(jù)薛定諤方程，可求(How)粒子任意時刻波函數(shù)、在某一體積中概率、系統(tǒng)能量。經(jīng)典力學(xué)r0p0r()tp()tXYzO量子力學(xué)zXYOYr(t,(

上面的方程含有時間變量t，常常稱為含時薛定諤方程。求解過程一般很復(fù)雜。下面我們用一維平面波的波函數(shù)來驗證其正確性。動能哪里來的？猜測出來的。費(fèi)曼說：“它來自薛定諤的心靈?！币弧chr?dinger方程的引入i是純虛數(shù)，粒子質(zhì)量為m，勢能為V(r,t)定義粒子的哈密頓量H

(總能量：動能+勢能)勢能

一個粒子不受到外力，勢能為零，稱為自由粒子。它的波函數(shù)是前面介紹過的平面波形式。1.一維自由粒子Schr?dinger方程自由粒子的薛定諤方程方程左端方程右端含時薛定諤方程正確。自由粒子不受力，低速情況下，牛頓公式：2.定態(tài)Schr?dinger方程

含時薛定諤方程很難解，但如果粒子的勢能V只是坐標(biāo)的函數(shù)，與時間t無關(guān)，此時可以化簡含時薛定諤方程。分離變量法可以證明E就是粒子的總能量數(shù)值，包含動能和勢能之和。此時薛定諤方程可以化簡為記為此時薛定諤方程不含時間t，所以也稱為定態(tài)薛定諤方程。為什么叫定態(tài)？stationarystate此時波函數(shù)的概率密度與時間無關(guān)，所以可以稱為定態(tài)。波函數(shù)可稱為定態(tài)波函數(shù)。在一維定態(tài)問題中，即粒子在V(x)勢能場中運(yùn)動，定態(tài)薛定諤方程為別忘記，要使上式解得的波函數(shù)合理，必須滿足標(biāo)準(zhǔn)化條件：連續(xù)波函數(shù)必須處處連續(xù)，光滑；單值歸一化二、一維勢阱問題做一維運(yùn)動的粒子所受到的勢能為：粒子只能在寬為

a

的兩個無限高井壁間運(yùn)動。我們分區(qū)討論粒子的運(yùn)動。1.一維方勢阱中粒子的波函數(shù)薛定諤方程在勢阱內(nèi)成為：波函數(shù)在勢阱外應(yīng)等于零，為什么？通解為：由邊界條件：只有：勢阱內(nèi)粒子E只能取離散值，能量量子化：2.能量量子化由：“基態(tài)”“激發(fā)態(tài)”波函數(shù)在（0，a）區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率滿足歸一化條件，即：3.歸一化條件粒子在勢阱中的概率密度：4.討論n很大時，相鄰波腹靠得很近，接近經(jīng)典力學(xué)各處概率相同。①函數(shù)曲線勢阱內(nèi)任兩相鄰能級差

量子規(guī)律在極限條件下可轉(zhuǎn)化為經(jīng)典物理規(guī)律。②對應(yīng)原理a很小時，電子在原子中運(yùn)動，△E大，量子化顯著；a較大時，△E小，量子化不顯著，連續(xù)變化。三、一維方勢壘、隧道效應(yīng)1.一維方勢壘經(jīng)典物理看來，在x<0區(qū)域里，能量小于勢壘高度的粒子，不能越過勢壘達(dá)到x>a的區(qū)域。但在量子力學(xué)看來，由于粒子的波粒二象性粒子，在勢壘內(nèi)和勢壘外區(qū)域的波函數(shù)都不為0，進(jìn)而各處都有一定的概率密度分布。量子力學(xué)認(rèn)為，雖然粒子的能量低于勢壘，但在勢壘中似乎有一個“隧道”，能使少量粒子穿過勢壘，而到達(dá)另一端，這種量子現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng)。隧道效應(yīng)tunnelingeffect入射波IIIIII+反射波透射波

隧道效應(yīng)來源于微觀粒子的波動性。該效應(yīng)已被許多實(shí)驗證實(shí)，并在半導(dǎo)體器件、超導(dǎo)器件、物質(zhì)表面探測等現(xiàn)代科技領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用。2.掃描隧道顯微鏡ScanningTunn