2025年廣東省春季高考學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷試題（含答案解析）

廣東學(xué)業(yè)水平考試（春季高考）數(shù)學(xué)模擬試卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題6分，共72分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．集合，，則（

）A． B．C． D．2．石室中學(xué)高一年級(jí)有男生570名，若用分層隨機(jī)抽樣的方法從高一年級(jí)學(xué)生中抽取一個(gè)容量為110的樣本其中女生53人，則高一年級(jí)學(xué)生總數(shù)為（

）A．950 B．1000 C．1050 D．11003.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）A. B.C. D.4．已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．55．“sinA＝eq\f(1,2)”是“A＝30°”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件6．過圓柱的上，下底面圓圓心的平面截圓柱所得的截面是面積為16的正方形，則圓柱的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．7.若不等式的解集為，則（）A.1B. C. D.8.設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.9.函數(shù)，（且）的圖象必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.10.在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則 ()A． B．C． D．11.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長(zhǎng)方體的體積為()A．8B．6eq\r(2)C．8eq\r(2) D．8eq\r(3)12.已知是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若，則實(shí)數(shù)（）A.-4 B.-3 C.-2 D.-1二、填空題：本大題共6小題，每小題6分，共36分.13.甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員分別對(duì)同一目標(biāo)射擊1次，甲射中的概率為0.8，乙射中的概率為0.9，則2人都射中的概率為．14．若正數(shù)滿足，則的最小值是．15．對(duì)數(shù)函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則此函數(shù)的解析式．16．若為第二象限角，且，則tan＝．17．已知函數(shù)，若，則.18.如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，若AB＝AD＝2eq\r(3)，CC1＝eq\r(2)，則二面角C1—BD—C的大小為__________．三、解答題：本大題共4小題，第19~21題各10分，第22題12分，共42分.解答需寫出文字說明，證明過程和演算步驟.19.某市統(tǒng)計(jì)局就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖（每個(gè)分組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示月收入在）（1）求居民月收入在的頻率；（2）根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)及樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)；20.如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求三棱錐的體積．21.為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對(duì)居民用水實(shí)行“階梯水價(jià)”，計(jì)算方法如下表：每戶每月用水量水價(jià)不超過的部分3元超過的部分但不超過的部分6元超過的部分9元（1）甲用戶某月的用水量為，求甲用戶該月需要繳納的水費(fèi)；（2）乙用戶某月繳納的水費(fèi)為54元，求乙用戶該月的用水量．22.如圖，一架飛機(jī)從地飛往地，兩地相距.飛行員為了避開某一區(qū)域的雷雨云層，從機(jī)場(chǎng)起飛以后，就沿與原來的飛行方向成角的方向飛行，飛行到地，再沿與原來的飛行方向成角的方向繼續(xù)飛行到達(dá)終點(diǎn).（1）求、兩地之間的距離；（2）求.答案詳解一、選擇題：本大題共12小題，每小題6分，共72分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．集合，，則（

）A． B．C． D．1．【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以．故選B．2．石室中學(xué)高一年級(jí)有男生570名，若用分層隨機(jī)抽樣的方法從高一年級(jí)學(xué)生中抽取一個(gè)容量為110的樣本其中女生53人，則高一年級(jí)學(xué)生總數(shù)為（

）A．950 B．1000 C．1050 D．1100【答案】D【分析】根據(jù)分層抽樣的抽樣比的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)高一年級(jí)學(xué)生總數(shù)為N,根據(jù)分層抽樣，則.故選：D.3.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得，利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算求得正確答案.【詳解】依題意.故選：D4．已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】先求得，然后求得.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D5．“sinA＝eq\f(1,2)”是“A＝30°”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件B[因?yàn)閟in30°＝eq\f(1,2)，所以“sinA＝eq\f(1,2)”是“A＝30°”的必要條件．又150°，390°等角的正弦值也是eq\f(1,2)，故“sinA＝eq\f(1,2)”不是“A＝30°”的充分條件．故“sinA＝eq\f(1,2)”是“A＝30°”的必要不充分條件．6．過圓柱的上，下底面圓圓心的平面截圓柱所得的截面是面積為16的正方形，則圓柱的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．6．【答案】B【解析】如圖所示，截面正方形ABCD的面積為16，故邊長(zhǎng)，即底面半徑，側(cè)棱長(zhǎng)為，則圓柱的側(cè)面積是．故選B．7.若不等式的解集為，則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得，是方程的兩個(gè)根，且，利用韋達(dá)定理運(yùn)算求解.【詳解】由題意知，是方程的兩個(gè)根，且，則，解得，所以.故選：D.8.設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】解：，，所以，，所以.故答案為：A.9.函數(shù)，（且）的圖象必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令指數(shù)為，求出，再代入計(jì)算可得；【詳解】解：令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)過定點(diǎn).故選：B10.在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則 ()A． B．C． D．【答案】B解析：因點(diǎn)D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．11.在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長(zhǎng)方體的體積為()A．8B．6eq\r(2)C．8eq\r(2) D．8eq\r(3)C解析：如圖，連接AC1，BC1，AC．因?yàn)锳B⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B為直線AC1與平面BB1C1C所成的角，所以∠AC1B＝30°．又AB＝BC＝2，所以在Rt△ABC1中，AC1＝eq\f(2,sin30°)＝4．在Rt△ACC1中，CC1＝eq\r(AC\o\al(2,1)－AC2)＝eq\r(42－(22＋22))＝2eq\r(2)，所以V長(zhǎng)方體＝AB×BC×CC1＝2×2×2eq\r(2)＝8eq\r(2)．12.已知是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若，則實(shí)數(shù)（）A.-4 B.-3 C.-2 D.-1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義及對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可求解.【詳解】解：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)且，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以，解得，故選：A.二、填空題：本大題共6小題，每小題6分，共36分.13.甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員分別對(duì)同一目標(biāo)射擊1次，甲射中的概率為0.8，乙射中的概率為0.9，則2人都射中的概率為．【答案】【分析】利用獨(dú)立事件乘法公式計(jì)算即可.【詳解】甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員分別對(duì)同一目標(biāo)射擊1次，互不影響，互相獨(dú)立，故2人都射中的概率為故答案為：14．若正數(shù)滿足，則的最小值是．【答案】【分析】利用基本不等式直接求解即可.【詳解】，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），的最小值為.故答案為：.15．對(duì)數(shù)函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則此函數(shù)的解析式．【答案】【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求出的值，由此可得出所求函數(shù)的解析式.【詳解】由已知條件可得，可得，因?yàn)榍遥裕?因此，所求函數(shù)解析式為.故答案為：.16．若為第二象限角，且，則tan＝．【答案】－【分析】由平方關(guān)系求出，再由商數(shù)關(guān)系求得．【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿?，且，所以，所以．故答案為：?7．已知函數(shù)，若，則.【答案】【分析】代入，求出，得到.【詳解】，故，所以，則.故答案為：18.如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，若AB＝AD＝2eq\r(3)，CC1＝eq\r(2)，則二面角C1—BD—C的大小為__________．30°解析：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接C1O．因?yàn)镃1D＝C1B，O為BD的中點(diǎn)，所以C1O⊥BD．因?yàn)锳C⊥BD，所以∠C1OC是二面角C1BDC的平面角．在Rt△C1CO中，C1C＝eq\r(2)，CO＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(6)，則C1O＝2eq\r(2)，所以sin∠C1OC＝eq\f(C1C,C1O)＝eq\f(1,2)．由圖可知，二面角C1-BD-C為銳二面角，所以∠C1OC＝30°，即二面角C1-BD-C的大小為30°．三、解答題：本大題共4小題，第19~21題各10分，第22題12分，共42分.解答需寫出文字說明，證明過程和演算步驟.19.某市統(tǒng)計(jì)局就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖（每個(gè)分組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示月收入在）（1）求居民月收入在的頻率；（2）根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)及樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)；【詳解】（1）月收入在的頻率為．………………2分（2）從左數(shù)第一組的頻率為；第二組的頻率為；第三組的頻率為；………………4分∴中位數(shù)位于第三組，設(shè)中位數(shù)為，則∴………………7分樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2400（元）由，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2400（元）．………………10分20.如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求三棱錐的體積．20．【解析】（1）∵三棱柱是直三棱柱，∴平面，∵平面，∴，………………1分∵在中，，，，∴，∴，∴．………………2分，………………3分∴平面，………………4分∵平面，∴．………………5分（2）∵是中點(diǎn)，∴………………7分∵平面，，………………8分∴．………………10分21.為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對(duì)居民用水實(shí)行“階梯水價(jià)”，計(jì)算方法如下表：每戶每月用水量水價(jià)不超過的部分3元超過的部分但不超過的部分6元超過的部分9元（1）甲用戶某月的用水量為，求甲用戶該月需要繳納的水費(fèi)；（2）乙用戶某月繳納的水費(fèi)為54元，求乙用戶該月的用水量．解：（1）甲用戶該月需要繳納的水費(fèi)：元.………………3分（2）設(shè)用水量為，需要繳納的水費(fèi)為，由題可知，………………5分整理得，………………6分當(dāng)時(shí)，，………………7分當(dāng)時(shí)，，…………