地球物理反演基礎(chǔ)

第六章

解非線(xiàn)性反演問(wèn)題

主要內(nèi)容一、非線(xiàn)性的特性二、非線(xiàn)性問(wèn)題的線(xiàn)性化三、無(wú)約束非線(xiàn)性反演四、約束反演：嶺回歸或稱(chēng)Marquar-Levenberg法:

一、非線(xiàn)性的特性

許多地球物理問(wèn)題，數(shù)據(jù)和模型是非線(xiàn)性相關(guān)的（不能以d=Gm形式來(lái)表示）

。第一類(lèi)：可通過(guò)一些簡(jiǎn)單非線(xiàn)性交換成為線(xiàn)性的。例如：1，旅行時(shí)反演：

――慢度

2，碳元素劃分時(shí)代：m為未知數(shù)，f為觀測(cè)數(shù)據(jù)t與之間存在線(xiàn)性關(guān)系：

3，在地殼模型中地殼觀測(cè)的視電阻率由下式給出：

（反問(wèn)題：未知量t，）

且為界面的反射系數(shù)。

圖Wenner電極系測(cè)視電阻率（C表示電流，P表示電位）

令m=

則

----無(wú)限冪級(jí)數(shù)這種變換未能減少電阻率測(cè)深問(wèn)題固有的非線(xiàn)性或者：并在對(duì)數(shù)坐標(biāo)中考慮問(wèn)題，但也不能消除非線(xiàn)性性，只是以減少了非線(xiàn)性性。所以：

第二類(lèi)非線(xiàn)性問(wèn)題：

i=1,….,n

：正向函數(shù)

對(duì)這類(lèi)問(wèn)題應(yīng)首先將其形式簡(jiǎn)化，再使用數(shù)據(jù)擬合或線(xiàn)性問(wèn)題中通常利用的模型參數(shù)估計(jì)方法進(jìn)行處理。

二、非線(xiàn)性問(wèn)題的線(xiàn)性化Gauss曾建議，非線(xiàn)性問(wèn)題可利用最小平方解法求取連續(xù)近似解來(lái)進(jìn)行，也就是將f(m)在模型參數(shù)可取值的初始估計(jì)值處進(jìn)行Taylor展開(kāi)，形成近似線(xiàn)性問(wèn)題。1提供期望模型參數(shù)的近似值（假定或參考）作起始點(diǎn)，可稱(chēng)為，或稱(chēng)初始估計(jì)、起始模型、初始模型。來(lái)源：先驗(yàn)信息或明智估計(jì)。由正演理論有：或2假設(shè)在附近是線(xiàn)性的，從而關(guān)于的微小攝動(dòng)可由Taylor定理表示：即在模型空間對(duì)展開(kāi)：成立條件足夠小。

3考慮觀測(cè)誤差是附加噪聲定義矢量，表示觀測(cè)值與初始模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)之差，記為A，記為，則有：其中從而得到線(xiàn)性形式，y,A,x與線(xiàn)性問(wèn)題中的d,G,m相對(duì)應(yīng)，A為偏微分距陣，第j列含有第j個(gè)參數(shù)的偏微分，n個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，p個(gè)模型參數(shù)。則A為n行p列（n*p）,稱(chēng)為Jacobian距陣。矢量為使e最小并對(duì)進(jìn)行校正的未知量。三、無(wú)約束非線(xiàn)性反演

1（因?yàn)橐话闱闆r下采集的數(shù)據(jù)多于模型參數(shù)，因此問(wèn)題是超定的）問(wèn)題公式化：采用最小平方法。定義e為與觀測(cè)有關(guān)的剩余誤差（意味著根據(jù)模型預(yù)測(cè)的觀測(cè)數(shù)據(jù)與實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)存在誤差）：利用前面的結(jié)果有：為模型攝動(dòng)量/校正量。

2Guass-Newton解：

將應(yīng)用于初始模型

新模型可能仍不能很好地與數(shù)據(jù)相吻合，需以為新的起始模型，并重復(fù)上面的過(guò)程：該方法的逐次使用稱(chēng)為無(wú)約束迭代最小平方法（G-N法）

G-N法的主要缺點(diǎn)：1要使算法收斂，需要對(duì)實(shí)際模型有較好的近似（初始估計(jì)）；2若距陣奇異，則產(chǎn)生非期望結(jié)果；3即使非奇異解仍可能發(fā)散或收斂非常緩慢。

最速下降（梯度）法：初始模型僅在目標(biāo)函數(shù)q的負(fù)梯度方向校正。即：其中k為適當(dāng)?shù)某?shù)。所以：與G-N相比，可知2k因子相當(dāng)于的作用。但這里不需要逆矩陣，只要k值足夠小，這種方法不會(huì)發(fā)散。優(yōu)點(diǎn)是有較好的起始收斂特征；缺點(diǎn)是收斂速度會(huì)下降，效率低下。四、約束反演：嶺回歸或稱(chēng)Marquar-Levenberg法:G-N法:病態(tài)時(shí)不穩(wěn)定;最速下降法:收斂速度慢。Levenberg（1944）：阻尼最小平方法，在主對(duì)角線(xiàn)上加一個(gè)隨意選取的正的加權(quán)因子；Marquardt（1963）：利用這套思想開(kāi)發(fā)出一套非常有用的非線(xiàn)性算法，稱(chēng)為RidgeRegreession---嶺回歸法。實(shí)質(zhì)是G-N法與最速下降法的內(nèi)插。

與的插值。

1目標(biāo)函數(shù)：原理：預(yù)測(cè)誤差和解的長(zhǎng)度綜合考慮，設(shè)定為參數(shù)變化范圍，為L(zhǎng)agrange乘子,是這里的阻尼因子。本質(zhì)上講嶺回歸法是約束非線(xiàn)性反演（對(duì)的約束）。當(dāng)時(shí)，法法

－法方程所以參數(shù)攝動(dòng)的嶺回歸（阻尼最小平方解）為：用對(duì)初始模型進(jìn)行攝動(dòng)，設(shè)初始模型為，非線(xiàn)性問(wèn)題可用下列迭代公式表示：式中A是k次迭代后對(duì)求的雅可比矩陣。2求解：對(duì)求導(dǎo)，置其結(jié)果為零，求解x：用SVD法表示：將對(duì)角陣的每個(gè)對(duì)角元素附加上阻尼因子：從而說(shuō)明：M-L法是G-N法與最速下降法的結(jié)合，當(dāng)初始模型與解相差很遠(yuǎn)時(shí)，最速下降法起主要作用，當(dāng)接近最終解時(shí)，最小平方法起作用。

3因子的確定：方法一：首先對(duì)賦予大的正值，以便充分利用最速下降法。每次迭代將乘以一個(gè)小于1的因子，以便在接近最終值時(shí)充分利用最小平方法。方法二：先假設(shè)為矩陣的最大本征值，若發(fā)散則取次最大本征值而代之，直到得到滿(mǎn)意解為止；方法三：相當(dāng)于前兩者的結(jié)合，阻尼因子由經(jīng)驗(yàn)確定：?jiǎn)栴}的最大和最小本征值分別乘以10或0.1，得到和,用下式計(jì)算：k=1，…，10上式用于計(jì)算Lagrange函數(shù)近似值，為一拋物線(xiàn)。在開(kāi)始時(shí)阻尼因子應(yīng)采用，以后可逐次采用較小的值。若在搜尋最值解的中間過(guò)程中發(fā)生發(fā)散，則賦予零，從而應(yīng)用G-N法。關(guān)于的圖：嶺回歸算法的流程：（假設(shè)野外觀測(cè)數(shù)據(jù)有誤差，采用加權(quán)矩陣W）第一步：選擇初始模型；第二步：計(jì)算和；第三步：若計(jì)算的響應(yīng)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相吻合，或滿(mǎn)足其它終止標(biāo)準(zhǔn)，則停止；第四步：求取加權(quán)偏微分（為對(duì)角陣）；第五步：計(jì)算的SVD，；第六步：搜尋最可能的解：（a）計(jì)算阻尼因子：

，k=1，……，10

和分別為的最小奇異值和最大奇異值乘以

0.1和10；

（b）讓?zhuān)海╟）搜錄最佳解：

j=1，…11，k=11-j

求取I=1,…p

計(jì)算計(jì)算如果，則最佳解為,退出。循環(huán)結(jié)束（即C是一個(gè)循環(huán)）第七步：用第六步的最佳解代替，重新開(kāi)始計(jì)算，即轉(zhuǎn)到第二步。第七章非線(xiàn)性偏置估計(jì)主要內(nèi)容一、應(yīng)用先驗(yàn)信息的非線(xiàn)性反演：

二、非線(xiàn)性反演問(wèn)題解的評(píng)估：

線(xiàn)性反演中先驗(yàn)信息的使用總是比較直觀的，但在非線(xiàn)性反演中比較復(fù)雜。目前尚無(wú)可靠的技術(shù)以減少非唯一性。比較質(zhì)樸的分法是在每次迭代反演過(guò)程中將一些搜尋參數(shù)值設(shè)為常數(shù)。但正規(guī)方法應(yīng)該是在問(wèn)題公式化時(shí)直接結(jié)合先驗(yàn)信息。這里說(shuō)明一下：先驗(yàn)信息與初始模型的區(qū)別：初始模型中可以含有可靠的先驗(yàn)估計(jì)，但非必須。此外重復(fù)一下，實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)：n個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)d，其誤差滿(mǎn)足統(tǒng)計(jì)規(guī)律，為其標(biāo)準(zhǔn)信息，d是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，可定義對(duì)角線(xiàn)加權(quán)矩陣來(lái)加權(quán)數(shù)據(jù)方程。一應(yīng)用先驗(yàn)信息的非線(xiàn)性反演：

1、先驗(yàn)信息的表示：

（*）

或（**）――Twomey-Tikhonov平滑措施一應(yīng)用先驗(yàn)信息的非線(xiàn)性反演：2、問(wèn)題求解：?jiǎn)栴}的描述：給定一組有限的不準(zhǔn)確的觀測(cè)參數(shù)數(shù)據(jù)，在所有等效解中求其真解，使之與觀測(cè)數(shù)據(jù)相吻合（考慮誤差），并滿(mǎn)足模型參數(shù)的可靠估計(jì)（約束條件）。數(shù)學(xué)上的表述：預(yù)測(cè)誤差和最終解與特定約束的偏差大到極小，即式中為L(zhǎng)agrange乘子的對(duì)角矩陣，陣中與先驗(yàn)數(shù)據(jù)相應(yīng)的對(duì)角線(xiàn)元素為一大于零的常數(shù)，與自由參數(shù)相應(yīng)的元素設(shè)為“0”。

若是連續(xù)并且可微，則可用Taylor定理在初始模型處展開(kāi)，給出上面方程的近似：式中，，對(duì)上式求x的微分，并令為零：（展開(kāi),先不考慮W，并令）(先略去W)

的參數(shù)校正量X的偏置解為（恢復(fù)W項(xiàng)）[若D=I，第一種解]：因而非線(xiàn)性可用下面公式的形式：上式被Meju(1994)稱(chēng)為最大偏置算法。

若先驗(yàn)信息有質(zhì)疑，則需要約束置為零，即，同時(shí)的元素為相等的常數(shù)[這與線(xiàn)性反演中假設(shè)是類(lèi)似的（DM=0）]?？捎靡晃炊ǔ俗觼?lái)代替：（參數(shù)矯正量）

（使用了）

稱(chēng)為滑度約束反演或最小偏置算法。

若先驗(yàn)信息為（**）式，不妨令，則有下面的極值表達(dá)式：所建模型是與給定試驗(yàn)數(shù)據(jù)相一致的最平滑的模型?？汕蟮眯Ｕ?xiàng)：式中評(píng)述：事實(shí)上，非線(xiàn)性問(wèn)題在利用Taylor展開(kāi)式線(xiàn)性后后，其模型的修改量完全可用以前線(xiàn)性反演中的多種方法來(lái)計(jì)算。

二非線(xiàn)性反演問(wèn)題解的評(píng)估：

1擬合優(yōu)度：l

對(duì)非線(xiàn)性問(wèn)題，假設(shè)數(shù)據(jù)圍繞期望值是正態(tài)分布，且為對(duì)應(yīng)的方差，則擬合優(yōu)度定義為：對(duì)n個(gè)獨(dú)立觀測(cè)值和p個(gè)獨(dú)立參數(shù)，q是具有（n-p）自由度的分布。的期望值是n，的模型是可以收斂的。

l

若不可知，則可由下式給出：

=均方根平均誤差由下面式子給出：

或?qū)訖?quán)解簡(jiǎn)單的表示為：其極值為“1”。2可以像分析線(xiàn)性反演問(wèn)題那樣討論非線(xiàn)性問(wèn)題的參數(shù)解析矩陣以及最大平方反演特性。

3剩余值趨勢(shì)分析：觀測(cè)數(shù)據(jù)和最佳數(shù)據(jù)之間不吻合度的分布可能揭示存在一個(gè)趨勢(shì)（如剩余值從正到負(fù)）或不存在趨勢(shì)。（1）剩余值----試驗(yàn)變量圖（2）剩余值----觀測(cè)數(shù)據(jù)圖用途識(shí)別標(biāo)準(zhǔn)：（Ⅰ）正確模型：剩余值分布有隨機(jī)性；不正確模型:分布缺乏隨機(jī)性,表明模型的某些部分比其他部分?jǐn)M合得好。例（Ⅱ）用以修改模型：例如對(duì)于剩余值與d成比例增長(zhǎng)的趨勢(shì)，用下面的歸一化數(shù)據(jù)：

來(lái)調(diào)整矩陣A。對(duì)震蕩趨勢(shì)可在正演模型中引入一個(gè)有震蕩特性的附加項(xiàng)可能回改善數(shù)據(jù)的擬合。剩余值由正到負(fù)意味著試驗(yàn)變量值小處