自動控制第五章

自動控制理論電氣工程學(xué)院林飛15.1頻率特性5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.3頻域穩(wěn)定判據(jù)5.4穩(wěn)定裕度5.5頻域性能指標(biāo)5.6基于頻域法的校正系統(tǒng)設(shè)計(jì)第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法5.3頻域穩(wěn)定判據(jù)

系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)閉環(huán)特征根都具有負(fù)實(shí)部，即位于s左半平面。在時域分析中判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，一種方法是求出特征方程的全部根，另一種方法就是使用勞斯－赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)（代數(shù)判據(jù)）。然而，這兩種方法都有不足之處，對于高階系統(tǒng)，非常困難且費(fèi)時，也不便于研究系統(tǒng)參數(shù)、結(jié)構(gòu)對穩(wěn)定性的影響。特別是，如果知道了開環(huán)特性，要研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還需要求出閉環(huán)特征方程，無法直接利用開環(huán)特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而對于一個自動控制系統(tǒng)，其開環(huán)數(shù)學(xué)模型易于獲取，同時它包含了閉環(huán)系統(tǒng)所有環(huán)節(jié)的動態(tài)結(jié)構(gòu)和參數(shù)。

除勞斯判據(jù)外，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的另一種常用判據(jù)為奈奎斯特（Nyquist）判據(jù)。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)是奈奎斯特于1932年提出的，是頻率法的重要內(nèi)容，簡稱奈氏判據(jù)。奈氏判據(jù)的主要特點(diǎn)有1.根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，來研究閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，而不必求閉環(huán)特征根；2.能夠確定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度（相對穩(wěn)定性）。3.可分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，利于對系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)；4.基于系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖，是一種圖解法。Nyquist判據(jù)的主要理論依據(jù)是復(fù)變函數(shù)理論中的Cauch(柯西)幅角定理。5.3.1幅角原理將s域內(nèi)“用閉環(huán)極點(diǎn)分布判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性”轉(zhuǎn)換為在頻域內(nèi)“用開環(huán)頻率特性曲線判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性”。如果s平面上的閉合曲線Γs(不穿過F(s)的零、極點(diǎn))包圍F(s)的Z個零點(diǎn)和P個極點(diǎn)，Γs在[F(s)]上的映射為封閉曲線ΓF,則ΓF包圍原點(diǎn)的圈數(shù)R為R=P-ZΓs包圍的F(s)的零點(diǎn)數(shù)Γs包圍的F(s)的極點(diǎn)數(shù)例如××sF(s)若選Γs包圍s平面的整個右半平面；F(s)選為則ΓF在[F(s)]上也是一封閉曲線，且Γs包圍零、極點(diǎn)的個數(shù)決定ΓF在[F(s)]包圍原點(diǎn)的方向和次數(shù)。將系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件轉(zhuǎn)換到頻域。F(s)的極點(diǎn)為開環(huán)極點(diǎn)。F(s)的零點(diǎn)為閉環(huán)極點(diǎn)。Closed-loopsystem.令M(s)=0

的根為開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。N(s)+M(s)=0

的根為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。N(s)=0

的根為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。F(s)的極點(diǎn)為開環(huán)極點(diǎn)。F(s)的零點(diǎn)為閉環(huán)極點(diǎn)。F(s)與G(s)H(s)只差常數(shù)1。因此ΓF包圍原點(diǎn)的方向和次數(shù),可轉(zhuǎn)換為ΓGH上包圍(-1,j0)的方向和次數(shù)。ΓGHNyquist曲線1)2)閉合曲線Γs的選擇特殊情況：G(s)H(s)在虛軸上有極點(diǎn)5.3.2奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

設(shè)系統(tǒng)位于右半s平面的開環(huán)極點(diǎn)個數(shù)為P，根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)的分布情況，奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)可分別敘述如下:1）0型系統(tǒng)

系統(tǒng)的開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)為P，在G(s)H(s)平面上，當(dāng)從－∞變化到+∞時，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線G(j)H(j)及其鏡像，順時針包圍(－1，j0)點(diǎn)的次數(shù)為N圈(N>0)

，若逆時針包圍則

N＜0，封閉曲線繞(－1，j0)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)360°即包圍一次，則系統(tǒng)的閉環(huán)右極點(diǎn)的個數(shù)為Z，且滿足：

Z=N+P

當(dāng)Z=0時，系統(tǒng)穩(wěn)定；Z>0時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，閉環(huán)不一定穩(wěn)定；開環(huán)不穩(wěn)定，閉環(huán)不一定不穩(wěn)定。ImK＞1－1Re→0→→－(b)R(s)C(s)(a)解：開環(huán)系統(tǒng)在右半s平面有一個根，P=1。開環(huán)奈氏曲線起點(diǎn)為(－K,j0)點(diǎn)，隨的增加,A()逐漸減小至0，而()逐漸增加至－90°，繪制出系統(tǒng)開環(huán)頻率特性G(j)的軌跡，并作出鏡像曲線連接成封閉曲線，如圖b。K>1時，當(dāng)由－變到+時,G(j)矢量逆時針圍繞(－1,j0)點(diǎn)轉(zhuǎn)一圈，即N=－1。由于Z=N+P=0，故由奈氏穩(wěn)定判據(jù)知閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。另外，可知K＜1時N=0，Z=N+P=1，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；K=1時，G(j)軌跡過(－1,j0)點(diǎn)，為臨界穩(wěn)定。

例5-9已知閉環(huán)系統(tǒng)如圖所示，判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。2）對Ⅰ型系統(tǒng)或者Ⅱ型系統(tǒng)有：

I型系統(tǒng)：從正虛軸方向無限遠(yuǎn)處開始，順時針繞向負(fù)虛軸，以原點(diǎn)為圓心，半徑為無限大的右半圓弧。需在G(s)H(s)平面上補(bǔ)畫右半圓弧將奈氏曲線及其鏡像連成封閉曲線。

II型系統(tǒng)：從負(fù)實(shí)軸方向無限遠(yuǎn)處開始，順時針繞一周終止于負(fù)實(shí)軸方向，以原點(diǎn)為圓心，半徑為無限大的圓弧。需在G(s)H(s)平面上補(bǔ)畫整圓將奈氏曲線及其鏡像連成封閉曲線。當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖作如上處理后，穩(wěn)定判據(jù)與0型系統(tǒng)完全相同。

若系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，即開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時（P=0），系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：當(dāng)從－∞變化到+∞時，在G(s)H(s)平面上的系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線及其鏡像，不包圍(－1，j0)點(diǎn)，即N=0，則Z=N+P=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線及其鏡像通過(－1，j0)點(diǎn)時，表明在s平面虛軸上有閉環(huán)極點(diǎn)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。解1）首先繪制出系統(tǒng)的開環(huán)奈氏曲線，并繪制出在－∞→0－范圍內(nèi)奈氏曲線的鏡像（虛線部分）。從正虛軸方向無限遠(yuǎn)處開始，順時針繞向負(fù)虛軸，補(bǔ)畫一個以原點(diǎn)為圓心，半徑為無限大的右半圓弧。此圓弧將=0－與=0+的特性曲線連接起來，即連接頻率特性及其鏡像曲線的起點(diǎn)，組成封閉的曲線。

在－∞→+∞范圍內(nèi)變化一次，系統(tǒng)開環(huán)奈氏曲線及其鏡像組成的封閉曲線并未包圍(－1，j0)點(diǎn)，N=0，并由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可知P=0。由判據(jù)得：Z=N+P=0，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

例5-10已知開環(huán)系統(tǒng)如下，判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。解

在－∞→+∞范圍內(nèi)變化一次，系統(tǒng)開環(huán)奈氏曲線及其鏡像組成的封閉曲線順時針包圍(－1，j0)點(diǎn)兩次，N=2，并由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可知P=0。由判據(jù)得：Z=N+P=2，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

例5-11已知開環(huán)系統(tǒng)如下，判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。Determinethestabilityofthesystemfortwocases(1)Kissmall(2)Kislarge

例5-12已知開環(huán)系統(tǒng)如下，判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。StableUnstableP=0N=0Z=0P=0N=2Z=2DrawNyquistplotsanddeterminethestabilityofthesystem

例5-13已知開環(huán)系統(tǒng)如下，判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。Phaseanglevariationwhenωvarietyfrom0+to∞

例5-14已知開環(huán)系統(tǒng)如下，判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。K>1K=1K<1StableP=1N=-1Z=0G(jω)H(jω)locuspassesthroughthe-1+j0pointP=1N=1Z=2Unstable5.3.3簡化奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

1.繪制由0變到+

時的開環(huán)幅相頻率特性G(j)

由0變到+

時的開環(huán)幅相頻率特性G(j)順時針包圍(－1，j0)點(diǎn)的圈數(shù)為

N，已知系統(tǒng)開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)為P

，則系統(tǒng)閉環(huán)右極點(diǎn)個數(shù)為Z

（不包括虛軸上的極點(diǎn)）：

Z=P+2N’

N’——穿越

開環(huán)頻率特性曲線逆時針穿越(－∞，－1)區(qū)間時，隨ω增加，頻率特性的相角值增大，稱為一次正穿越N’+。

反之，開環(huán)頻率特性曲線順時針穿越(－∞，－1)區(qū)間時，隨ω增加，頻率特性的相角值減小，則稱為一次負(fù)穿越N’－。

頻率特性曲線包圍(－1，j0)點(diǎn)的情況，就可以利用頻率特性曲線在負(fù)實(shí)軸(－∞，－1)區(qū)間的正、負(fù)穿越來表達(dá)。2.采用穿越的概念簡化復(fù)雜曲線包圍次數(shù)的計(jì)算

由0變到+

時開環(huán)頻率特性曲線要形成對(－1，j0)點(diǎn)的一次包圍，勢必穿越(－∞，－1)區(qū)間一次。

由0變到+

時的開環(huán)幅相頻率特性G(j)對(－1，j0)點(diǎn)的總穿越次數(shù)為

N’=（N’－－

N’+

）利用正、負(fù)穿越情況的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)敘述為：

Z=P+2（N’－－

N’+

）

注意奈氏曲線在(－1，j0)點(diǎn)以右負(fù)實(shí)軸上相位有變化不算穿越。3.半次穿越

奈氏曲線始于或至于(－1,j0)點(diǎn)以左負(fù)實(shí)軸，稱為一個半次穿越，如圖所示。由于曲線始于（－3，j0）點(diǎn)，故N’－=1/2。由于開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)為P=0，故

Z=P+2（N’－－0）=P+2N’－

=1閉環(huán)系統(tǒng)有一個右極點(diǎn)，閉環(huán)不穩(wěn)定。

例5-15已知開環(huán)系統(tǒng)如下，判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。由圖可以看出,當(dāng)由0變到+時,G(j)矢量在(－1,j0)點(diǎn)以左負(fù)實(shí)軸上正負(fù)穿越次數(shù)各一次。

Z=P+2（N’－

－N’+

）

=0。

故由奈氏穩(wěn)定判據(jù)知該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

由于為最小相位系統(tǒng)，開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)P=0，且為0型系統(tǒng)，故直接利用開環(huán)頻率特性G(j)的軌跡判斷穩(wěn)定性。

例5-16已知開環(huán)最小相位系統(tǒng)Nyquist圖如下，判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。Z=P+2（N’－－

N’+

）

開環(huán)系統(tǒng)型別過高會影響穩(wěn)定性，而串聯(lián)比例微分調(diào)節(jié)器可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性，起到校正的作用，但要選擇合適的參數(shù)。

例5-17已知開環(huán)最小相位系統(tǒng)Nyquist圖如下，判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。

b圖所示系統(tǒng)為一Ⅰ型二階系統(tǒng)，該系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)，P=1，在=0附近,曲線以為半徑，逆時針補(bǔ)畫=1·90°=90°的圓弧與負(fù)實(shí)軸相交。由0變到+

時，順時針包圍(－1，j0)點(diǎn)半次，有N’－=1/2。則Z=2N’－+P=2，閉環(huán)系統(tǒng)有兩個右極點(diǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。Z=P+2（N’－－

N’+

）

例5-18判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。解：

在[GH]上為順時針內(nèi)螺旋線

只有R=0系統(tǒng)才穩(wěn)定，即解得：

-1j當(dāng)時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

例5-19已知延遲系統(tǒng)開環(huán)傳函，判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。5.3.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)在波德圖上的應(yīng)用

由于系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的繪制較奈奎斯特曲線更為簡單、方便，自然使用波德圖來進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性判別就更適用。該判據(jù)不但可以回答系統(tǒng)穩(wěn)定與否的問題，還可以研究系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量（相對穩(wěn)定性），以及研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。1開環(huán)奈氏圖與開環(huán)波德圖的對應(yīng)關(guān)系

1）在G(j)平面上,|G(j)|=1的單位圓，對應(yīng)于對數(shù)幅頻特性的0分貝線；單位圓外部如(－,－1)區(qū)段，對應(yīng)L(ω)>0dB，單位圓內(nèi)部對應(yīng)L(ω)<0dB。2）從對數(shù)相頻特性來看,G(j)平面上的負(fù)實(shí)軸，對應(yīng)于對數(shù)相頻特性上的()=－180°。3）(－1,j0)點(diǎn)的向量表達(dá)式為1∠－180°，對應(yīng)于波德圖上穿過0分貝線，并同時穿過()=－180°的點(diǎn)。正、負(fù)穿越的定義和前面的定義實(shí)際上是一致的。

穿越在波德圖上的含義（1）穿越：在L()>0dB的頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線穿過－180°；在L()<0dB的頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線穿過－180°不是穿越。（2）正穿越N‘+：產(chǎn)生正的相位移，這時，相頻特性應(yīng)由下部向上穿越－180°線。（3）負(fù)穿越N’－：產(chǎn)生負(fù)的相位移,這時,相頻特性應(yīng)由上部向下穿越－180°線。正、負(fù)穿越的定義和前面的定義實(shí)際上是一致的。正負(fù)2對數(shù)幅頻特性曲線的奈氏判據(jù)

根據(jù)上述對應(yīng)關(guān)系，結(jié)合使用正、負(fù)穿越情況的穩(wěn)定判據(jù)，在波德圖上使用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)時，就是在L()>0dB的頻率范圍內(nèi)，根據(jù)相頻曲線穿越－180o的相位線的次數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性做出判定?？蓪?shù)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的奈氏穩(wěn)定判據(jù)表述如下:

設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)為P，則L()>0dB的頻率范圍內(nèi)，當(dāng)頻率增加時對數(shù)相頻特性曲線對－180o的相位線的正、負(fù)穿越次數(shù)為N’+與N’－，閉環(huán)右極點(diǎn)個數(shù)為

Z=2（N’－－N’+）+P

解：由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可知，開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即P=0，在L()>0dB的頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線()不穿越－180o的相位線，即正、負(fù)穿越次數(shù)差為0，由Z=2N′+P=0，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

例5-20已知開環(huán)傳函，判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。

對于型別v≥1（v為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在原點(diǎn)處的極點(diǎn)數(shù)）的系統(tǒng)，應(yīng)將Bode圖對數(shù)相頻特性在ω→0處附加一段自上而下的、變化范圍為v·90°的曲線與相頻特性曲線在ω→0處相連。相頻特性經(jīng)過處理后，再使用上述穩(wěn)定性判據(jù)。

作業(yè)：5-165-195-215-225.4穩(wěn)定裕度

當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，且接近臨界穩(wěn)定狀態(tài)時，雖然從理論上講，系統(tǒng)是穩(wěn)定的,但實(shí)際上，系統(tǒng)可能已處于不穩(wěn)定狀態(tài)。其原因可能是在建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時，采用了線性化等近似處理方法；或系統(tǒng)參數(shù)測量不準(zhǔn)確；或系統(tǒng)參數(shù)在工作中發(fā)生變化等。因此要求系統(tǒng)保有一定的相對穩(wěn)定性（穩(wěn)定裕度），這樣才可以保證不致于分析設(shè)計(jì)過程中的簡化處理，或系統(tǒng)的參數(shù)變化等因素而導(dǎo)致系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中出現(xiàn)不穩(wěn)定的現(xiàn)象。

系統(tǒng)穩(wěn)定裕度用于表征系統(tǒng)的相對穩(wěn)定程度，經(jīng)常作為控制系統(tǒng)的頻率域性能指標(biāo)。

最小相位系統(tǒng)?？芍篕值較小時，系統(tǒng)穩(wěn)定；K值較大時，系統(tǒng)不穩(wěn)定的；K取兩者間的某個值時，Nyquist曲線通過(－1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。系統(tǒng)Nyquist曲線與實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)離(－1,j0)點(diǎn)的距離，可作為表征系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的一個指標(biāo)。通常用相角裕度γ和幅值裕度hg表示系統(tǒng)穩(wěn)定裕度。

5.4.1幅值穿越頻率c與相位穿越頻率g

1.幅值穿越頻率c在波德圖上穿越0分貝線時所對應(yīng)的頻率，有L（c）=20lgA（c）=0；在開環(huán)奈氏圖上對應(yīng)于與單位圓相交的那一點(diǎn)，有：

A（c）=|G(j

c)|=12.相位穿越頻率g在波德圖上穿越－180o相位時所對應(yīng)的頻率，有（g）=－180o；在開環(huán)奈氏圖上對應(yīng)于與負(fù)實(shí)軸相交的那一點(diǎn)，仍有（g）=－180o。5.4.2相角裕度對于幅值穿越頻率，使系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定需要增加的相角，稱為相角裕量，用γ表示。

γ=(c)－(－180o)=(c)+180o

若Nyquist曲線在第三象限與單位圓有多個交點(diǎn)，應(yīng)按最靠近負(fù)實(shí)軸的那個交點(diǎn)計(jì)算。相角穩(wěn)定裕度的物理意義在于：對于閉環(huán)穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，在=c處，系統(tǒng)的相角如果再減小角度，系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；減小的角度大于后，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。為了使最小相位系統(tǒng)是穩(wěn)定的,必須為正值。穩(wěn)定系統(tǒng)γ

>0,γ越大,系統(tǒng)相對穩(wěn)定性越高。相位裕度是設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時的一個重要依據(jù)，描述系統(tǒng)的阻尼程度。5.4.3幅值裕度

Nyquist曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)處幅值的倒數(shù)稱為幅值裕量，記為hg。若Nyquist曲線在（0，-1）間多次穿越負(fù)實(shí)軸，應(yīng)按最靠近(-1，j0)的那個交點(diǎn)計(jì)算。

幅值穩(wěn)定裕度的物理意義為：對于閉環(huán)穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，若系統(tǒng)在相角穿越頻率g處幅值增大hg

倍（或?qū)?shù)幅值上升Lh分貝），則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。hg越大，相對穩(wěn)定性越高。最小相位系統(tǒng)：系統(tǒng)穩(wěn)定則hg>1,Lh(dB)>0,；系統(tǒng)不穩(wěn)定則hg<1,Lh(dB)<0。以分貝數(shù)表示時：

系統(tǒng)的Nyquist圖和Bode圖的對應(yīng)關(guān)系

Bode圖與Nyquist圖之間具有對應(yīng)關(guān)系，所以在Nyquist圖上的分析結(jié)論可以移植到Bode圖上加以應(yīng)用。

ωc為幅值穿越頻率(或幅值交接頻率)，特性曲線與單位圓（0dB線）交接處的頻率；

ωg為相位穿越頻率(相位交接頻率)，特性曲線與負(fù)實(shí)軸（－180o線）交接處的頻率。

由圖可見，對一結(jié)構(gòu)、參數(shù)給定的最小相位系統(tǒng)，當(dāng)開環(huán)傳遞系數(shù)增加時，由于L(c)曲線上升，導(dǎo)致幅值穿越頻率c右移，從而使得相位裕度與幅值裕度都下降，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。

例5-21求K=10和100時，系統(tǒng)的相位裕度及幅值裕度。5.4.4系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度

僅用相位裕度或幅值裕度都不足以充分說明系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。為了確保系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，使系統(tǒng)具有滿意的性能，γ、Lh都應(yīng)該有合適的取值。

從控制工程實(shí)踐得出，系統(tǒng)應(yīng)具有30~70的相位裕度，幅值裕度大于6dB（即hg>2）。要求相位裕度應(yīng)在30~60之間,意味著開環(huán)對數(shù)幅頻特性在穿越頻率c上的斜率需小于－40dB/十倍頻,

通常?。?0dB/dec，且具有一定的寬度。

適當(dāng)?shù)南辔辉６群头翟６?可以防止系統(tǒng)中元件的參數(shù)和特性在工作過程中的變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生不良的影響，并可以提高系統(tǒng)抗高頻干擾的能力。

根據(jù)穩(wěn)定裕度的概念，當(dāng)某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)給定時，還可根據(jù)要求的穩(wěn)定裕度如γ的取值確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞系數(shù)。

首先，根據(jù)開環(huán)傳遞系數(shù)的某個取值繪出開環(huán)波德圖，（）曲線上相位大于－180o，并與－180o距離正好為γ所對應(yīng)的那一點(diǎn)的頻率就是所需的幅值穿越頻率c。

然后將L（）在坐標(biāo)系中上下平移，使之正好在此點(diǎn)穿越0分貝線，就確定了滿足要求的系統(tǒng)開環(huán)波德圖，其相位裕度為要求的取值。最后，求出此刻L（）所對應(yīng)的開環(huán)傳遞系數(shù)。5.5頻域性能指標(biāo)

幅值穿越頻率c與相位穿越頻率g，相位裕量與幅值裕量都是控制系統(tǒng)的開環(huán)頻域指標(biāo)。頻域指標(biāo)是表征系統(tǒng)動態(tài)性能的間接指標(biāo)。由于時域指標(biāo)（穩(wěn)態(tài)誤差ess、最大超調(diào)量σ%、調(diào)節(jié)時間ts等）反映系統(tǒng)性能更為直接、正確。因此需要探討開環(huán)頻域指標(biāo)與時域指標(biāo)之間的關(guān)系，以便于由開環(huán)頻域指標(biāo)分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能。

對于最小相位系統(tǒng)來說，對數(shù)幅頻特性與對數(shù)相頻特性存在著一一對應(yīng)的關(guān)系，反映系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，能夠據(jù)此推出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。因此，根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性L()，就能了解系統(tǒng)的靜態(tài)和動態(tài)性能。本節(jié)主要介紹開環(huán)對數(shù)幅頻特性L()的形狀與系統(tǒng)性能的關(guān)系，并研究頻域指標(biāo)與時域指標(biāo)的關(guān)系，以及根據(jù)頻域指標(biāo)估算系統(tǒng)的時域響應(yīng)性能的方法。動態(tài)性能、穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)性能。三頻段法

低頻段的表達(dá)式為

L()=20lgK－20vlg

低頻漸近線的斜率是由開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v（型別－無差度階數(shù)）所決定；其高度則由開環(huán)放大系數(shù)K決定。也就決定了系統(tǒng)響應(yīng)輸入信號是否存在誤差，以及穩(wěn)態(tài)誤差的大小。由以上分析可知，L()低頻段的形狀能夠完全反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。如果希望系統(tǒng)具有較好的跟蹤輸入信號的能力，低頻段一般應(yīng)具有－20dB/dec的斜率，并有一定的高度。5.5.1開環(huán)對數(shù)幅頻特性L()低頻段與系統(tǒng)性能的關(guān)系5.5.2開環(huán)對數(shù)幅頻特性L（)中頻段與系統(tǒng)動態(tài)性能的關(guān)系由開環(huán)頻率特性來研究系統(tǒng)的動態(tài)性能,一般是用對數(shù)幅頻特性的幅值穿越頻率c和相位裕量這兩個特征量，這兩個特征量都與系統(tǒng)中頻段的形狀有關(guān)。開環(huán)對數(shù)幅頻特性L()的中頻段是指L()曲線在幅值穿越頻率c附近的區(qū)段，在波德圖一般是L()從大約+30dB過渡到約－15dB的范圍內(nèi)。1L()斜率和相頻特性的關(guān)系最小相位系統(tǒng)，幅頻特性與相頻特性有一一對應(yīng)的關(guān)系。1）對數(shù)幅頻特性漸近線的斜率與相位有對應(yīng)關(guān)系。例如對數(shù)幅頻特性斜率為－20NdB/dec，對應(yīng)于相位－(90N)。在某一頻率k時的相位，是由整個頻率范圍內(nèi)的對數(shù)幅頻特性斜率來確定的。但是，在這一頻率k時的對數(shù)幅頻特性斜率，對確定k時的相位起的作用最大。離這一頻率k越遠(yuǎn)的幅頻特性斜率影響越小。2）對于一個線性最小相位系統(tǒng)，幅頻特性和相頻特性之間的關(guān)系是惟一的。給定某一頻率范圍的相位，則這一頻率范圍的對數(shù)幅頻特性也就確定。反之，若給定某一個頻率范圍的對數(shù)幅頻特性和其余頻率范圍的相頻特性，則這一頻率范圍的相位和其余頻率范圍的對數(shù)幅頻特性也就確定。2中頻段與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關(guān)系c處的相位裕量由整個對數(shù)幅頻特性曲線各段斜率共同決定。穿過c的中頻段斜率對系統(tǒng)相位裕量影響最大。如果穿過c的幅頻特性斜率是－20dB/dec，表明對應(yīng)的相位不小于－180°，則系統(tǒng)一般是穩(wěn)定的；如果中頻段斜率是－40dB/dec，則系統(tǒng)可能穩(wěn)定，也可能不穩(wěn)定；若中頻段斜率更陡，系統(tǒng)將很難穩(wěn)定。因此，通常希望中頻段有－20dB/dec的斜率，以保證系統(tǒng)有足夠的相位裕量；同時希望γ受其他斜率段的影響較小，所以c應(yīng)該遠(yuǎn)離其他斜率段，即中頻段應(yīng)該有足夠的寬度。

下面以一例題來說明系統(tǒng)開環(huán)波德圖中頻段形狀與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關(guān)系。解：繪制系統(tǒng)開環(huán)L()如圖所示，調(diào)節(jié)開環(huán)傳遞系數(shù)K的大小，使L()以不同的斜率穿越0分貝線。由圖可見，此系統(tǒng)不僅增加放大系數(shù)時會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性,降低放大系數(shù)也將降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

例5-22單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下（T1＞T2），分析中頻段形狀與相位裕量間的關(guān)系。當(dāng)1、2確定，c處于1、2之間的幾何中心點(diǎn)時，γ值有極大值。

L()在低頻段與高頻段的斜率為－40dB/dec，這兩段所對應(yīng)的()相位值較小，所以當(dāng)以斜率－20dB/dec穿越0分貝線時，所對應(yīng)的γ較大。同時希望γ受其他斜率段的影響較小，所以c應(yīng)該遠(yuǎn)離其他斜率段，即中頻段也應(yīng)該有一定的寬度(h>10)，保證對應(yīng)的γ值(對其他系統(tǒng)同樣適用)。對于二階系統(tǒng)，開環(huán)頻域指標(biāo)與時域指標(biāo)之間有準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)關(guān)系。二階系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為3二階系統(tǒng)開環(huán)頻域指標(biāo)與動態(tài)性能之間的關(guān)系1）

二階系統(tǒng)γ與系統(tǒng)平穩(wěn)性之間的關(guān)系根據(jù)給定的相角裕度γ可以查得反映系統(tǒng)動態(tài)特性的時域指標(biāo)最大超調(diào)量σ%

，反之亦然，二者之間為一一對應(yīng)的確定的關(guān)系。ζ增大，γ隨之增大，σ%減小。γ

通常在30~70范圍內(nèi)2）二階系統(tǒng)c、γ與系統(tǒng)快速性之間的關(guān)系對二階系統(tǒng)，tsc與γ成反比；當(dāng)γ給定后，ts與c成反比；

3高階系統(tǒng)開環(huán)頻域指標(biāo)與時域指標(biāo)之間的關(guān)系

高階系統(tǒng)的開環(huán)頻域指標(biāo)（γ、c）與時域指標(biāo)（σ%，ts）之間的對應(yīng)關(guān)系比較復(fù)雜，通常采用經(jīng)驗(yàn)公式來近似。這樣在實(shí)際應(yīng)用中，仍然可以用開環(huán)頻域指標(biāo)去估算系統(tǒng)的時域性能。1)高階系統(tǒng)的超調(diào)量與相角裕度的關(guān)系通常用下述近似公式估算：2)高階系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間與相角裕度的關(guān)系通常用下述近似公式估算由以上對二階系統(tǒng)與高階系統(tǒng)的分析可知，如果兩個同階的系統(tǒng)，其γ相同，那么它們的超調(diào)量大致是相同的，而幅值穿越頻率c越大的系統(tǒng)，調(diào)節(jié)時間ts越短。繪制函數(shù)關(guān)系如圖所示，對于高階系統(tǒng)，一般γ上升，最大超調(diào)量σ%與調(diào)整時間ts都明顯下降，系統(tǒng)動態(tài)性能改善。小結(jié):

一個設(shè)計(jì)合理的系統(tǒng),要以動態(tài)性能的要求來確定中頻段的形狀。為保證系統(tǒng)具有較好的動態(tài)性能，L()中頻段應(yīng)該滿足以下要求：

1.系統(tǒng)開環(huán)波德圖的中頻段應(yīng)該以－20dB/dec穿越0分貝線，并有一定的寬度，以保證足夠的相位裕量，平穩(wěn)性好；

2.中頻段的穿越頻率c的選擇,，決定于系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)速度與抗干擾能力的要求，c較大可保證足夠的快速性。5.5.3L()高頻段與系統(tǒng)抗干擾性能的關(guān)系從系統(tǒng)抗干擾能力角度來看，要求高頻段具有較大的斜率。以單位負(fù)反饋系統(tǒng)為例，有G（j）為開環(huán)頻率特性，Ф（j）為閉環(huán)頻率特性在高頻段一般有L()<<0，即|G(j)|<<1，故上式可近似為：說明在高頻段,閉環(huán)幅頻特性近似等于開環(huán)幅頻特性。L()高頻段斜率大，說明系統(tǒng)對高頻信號的衰減作用大，即系統(tǒng)抗高頻干擾的能力強(qiáng)。此結(jié)論對非單位負(fù)反饋系統(tǒng)同樣適用。因此，一般希望系統(tǒng)L()在c稍高的角頻率上（在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提下）迅速衰減，以提高系統(tǒng)的抗干擾能力。結(jié)論一個合理的控制系統(tǒng)，其開環(huán)L()的形狀應(yīng)該滿足下列要求：1.L(ω)低頻漸近線反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，應(yīng)具有－20dB/dec或－40dB/dec的斜率，并有一定的高度，以滿足穩(wěn)態(tài)性能的要求。2.L(ω)中頻段，反映系統(tǒng)的動態(tài)性能，一般應(yīng)具有－20dB/dec的斜率，并有一定的中頻段寬度以保證足夠的穩(wěn)定裕量，系統(tǒng)具有較好的平穩(wěn)性；中頻段幅值穿越頻率ωc的大小反映系統(tǒng)的快速性，由系統(tǒng)動態(tài)性能指標(biāo)的要求來確定。3.L(ω)高頻段反映系統(tǒng)的抗干擾性能，應(yīng)該有較大的斜率。從上述分析可知,一般實(shí)用的控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性有低通濾波作用。低頻時有L()>>0dB；高頻時有L()<<0dB。開環(huán)頻率特性來分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)，是工程設(shè)計(jì)中常用的方法。在進(jìn)一步的分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)時，也常要利用閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性。由于閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)零極點(diǎn)較難獲取，因此一般無法直接根據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)繪制閉環(huán)頻率特性。系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性的求取有不同的方法，但一般是利用系統(tǒng)開環(huán)頻率特性來求閉環(huán)頻率特性。

5.5.4閉環(huán)頻率特性簡介

以單位負(fù)反饋系統(tǒng)為例，系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性表達(dá)式為式中G（j）——為開環(huán)頻率特性；Φ（j）——為閉環(huán)頻率特性。由上節(jié)的內(nèi)容可知，一般實(shí)用控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性有低通濾波作用：低頻時有L()>>0dB；高頻時有L()<<0dB。1）在低頻段，一般有L()>>0（系統(tǒng)開環(huán)積分環(huán)節(jié)個數(shù)v≥1，低頻段斜率≥－20dB/dec），即|G（j）|>>1，故閉環(huán)頻率特性可近似為說明在低頻段,閉環(huán)幅頻特性近似等1。2）在高頻段，一般有L()<<0，即|G（j）|<<1，故閉環(huán)頻率特性可近似為3）在開環(huán)頻率特性的幅值穿越頻率附近，由于|G（j）|≈1，故|Φ（j）|有一定的誤差。由以上分析，繪制閉環(huán)系統(tǒng)的概略幅頻特性如圖所示。

M（0）=1M()Mrr/(rads-1)b0.707閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性指標(biāo)0閉環(huán)帶寬ωb：閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性幅值,由其初始值(0頻率的值)衰減到其0.707倍(下降3dB)時的頻率為剪切頻率。從0頻到剪切頻率的寬度，稱為帶寬。頻帶較寬，表明閉環(huán)系統(tǒng)能夠通過較高頻率的輸入信號，系統(tǒng)跟蹤信號的能力較強(qiáng)，響應(yīng)迅速，調(diào)節(jié)時間短,但對于高頻干擾信號的過濾能力就相對較差。

例5-23對如下兩個系統(tǒng)，比較其帶寬及響應(yīng)特性。。SystemⅠwhosebandwidthisthreetimeswiderthanthatofsystemⅡ,hasafasterspeedofresponseandcanfollowtheinputmuchbetter.5.6基于頻域法的校正系統(tǒng)設(shè)計(jì)

校正：超前校正、滯后校正、超前-滯后校正、PID等。

性能指標(biāo)：穩(wěn)態(tài)誤差、相位裕度/幅值裕度(間接指標(biāo)