理論力學(xué)-第十二章動(dòng)量矩定理

第十二章動(dòng)量矩定理1

§12–1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩

§12–2動(dòng)量矩定理

§12–3剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程

§12–4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

§12–5質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

§12–6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程習(xí)題課第十二章動(dòng)量矩定理2一．定義：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體對(duì)某軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的度量，它的大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變的難易程度。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量恒為正值，國(guó)際單位制中單位kg·m2。動(dòng)力學(xué)§12-4剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ωrivimizJZ稱為剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布，則3

（１）均質(zhì)細(xì)直桿對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量動(dòng)力學(xué)

設(shè)桿長(zhǎng)為l,質(zhì)量為m，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為ρl，取桿上一微段dx，其質(zhì)量為ρl

dx

：zxlxdxO1、簡(jiǎn)單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算4動(dòng)力學(xué)（2）均質(zhì)薄圓環(huán)對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ORmiz

設(shè)圓環(huán)半徑為R,質(zhì)量為m，每一微段的質(zhì)量為mi,到z軸的距離均為R:5動(dòng)力學(xué)（3）均質(zhì)圓板對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ORdri

設(shè)圓板的半徑為R,質(zhì)量為m。將圓板分為無數(shù)個(gè)同心的圓環(huán)，任一圓環(huán)的半徑為ri,寬度為dri，則圓環(huán)的質(zhì)量為mi:單位面積的質(zhì)量z6對(duì)于均質(zhì)剛體，僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無關(guān)。對(duì)于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質(zhì)剛體，其回轉(zhuǎn)半徑是相同的。2.慣性半徑（回轉(zhuǎn)半徑）稱為剛體對(duì)

z軸的回轉(zhuǎn)半徑。

在機(jī)械工程設(shè)計(jì)手冊(cè)中，可以查閱到簡(jiǎn)單幾何形狀或已標(biāo)準(zhǔn)化的零件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和回轉(zhuǎn)半徑。書中列出幾種常見均質(zhì)剛體的，以供參考。動(dòng)力學(xué)對(duì)均質(zhì)物體，記其中：73.平行移軸定理同一個(gè)剛體對(duì)不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般是不相同的。

剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)于通過質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方的乘積。動(dòng)力學(xué)zxll/2OzC[例:]剛體對(duì)通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有最小值。8證明：設(shè)質(zhì)量為m的剛體，質(zhì)心為C，9當(dāng)物體由幾個(gè)規(guī)則幾何形狀的物體組成時(shí)，可先計(jì)算每一部分(物體)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,然后再加起來就是整個(gè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。若物體有空心部分,要把此部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量視為負(fù)值來處理。動(dòng)力學(xué)4．計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的組合法解：[例13-9]

鐘擺：均質(zhì)直桿質(zhì)量m1,長(zhǎng)為

l

；均質(zhì)圓盤質(zhì)量m2,半徑為R。求對(duì)水平軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JO

。10質(zhì)點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)O的動(dòng)量矩：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量相對(duì)于點(diǎn)O的矩

質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m,速度為v，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)點(diǎn)O的矢徑為r，則

一．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩動(dòng)力學(xué)§12-1

質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對(duì)軸z的動(dòng)量矩：Mo(mv)yzxmvABOabmvxyγ[Mo(mv)]xm質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩與對(duì)軸z的動(dòng)量矩之間的關(guān)系：正負(fù)號(hào)規(guī)定與力對(duì)軸矩的規(guī)定相同從軸的正向看：順時(shí)針為負(fù)逆時(shí)針為正動(dòng)力學(xué)動(dòng)量矩度量物體在任一瞬時(shí)繞固定點(diǎn)(軸)轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱。12動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)量矩計(jì)算：1．平動(dòng)剛體平動(dòng)剛體對(duì)固定點(diǎn)（軸）的動(dòng)量矩等于剛體質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)該點(diǎn)（軸）的動(dòng)量矩。viCOrCvC二．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)系對(duì)點(diǎn)O動(dòng)量矩：質(zhì)系對(duì)軸z動(dòng)量矩：132．定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體動(dòng)力學(xué)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩:等于剛體對(duì)該軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積。為剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ωOωrimivimiz14動(dòng)力學(xué)[例]ωvClOω15[例]已知：均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，均質(zhì)圓盤的質(zhì)量為2m，求物體對(duì)于O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和動(dòng)量矩。解：ωlRO163．平面運(yùn)動(dòng)剛體動(dòng)力學(xué)平面運(yùn)動(dòng)剛體對(duì)垂直于質(zhì)量對(duì)稱平面的固定軸的動(dòng)量矩，等于剛體隨同質(zhì)心作平動(dòng)時(shí)質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)該軸的動(dòng)量矩與繞質(zhì)心軸作轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)量矩之和。CvCωx

注意正負(fù)的規(guī)定17Cvωxh圓盤：18動(dòng)力學(xué)解：滑輪A：m1，R1，R1=2R2，

滑輪B：m2，R2，；物體C：m3

求系統(tǒng)對(duì)O軸的動(dòng)量矩。[例1]∵∴191．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理動(dòng)力學(xué)§12-2動(dòng)量矩定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)O的動(dòng)量矩為MO(mv)，作用力F對(duì)同一點(diǎn)的矩為MO(F)，如圖。質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一點(diǎn)之矩。這就是質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理。

21將上式在通過固定點(diǎn)O的三個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影，得上式稱質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理，也稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的投影形式。即質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一軸之矩。動(dòng)力學(xué)22稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩守恒定律。則常矢量若則若2．質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩守恒定律23運(yùn)動(dòng)分析：動(dòng)力學(xué)由動(dòng)量矩定理：解：將小球視為質(zhì)點(diǎn)。受力分析；受力圖如圖示。單擺，已知m，l，t=0時(shí)=0，從靜止開始釋放。求單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。[例2]即：24注：計(jì)算動(dòng)量矩與力矩時(shí)，符號(hào)規(guī)定應(yīng)一致（本題規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎┵|(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的應(yīng)用：

（1）在質(zhì)點(diǎn)受有心力的作用時(shí)。（2）質(zhì)點(diǎn)繞某心（軸）轉(zhuǎn)動(dòng)的問題。動(dòng)力學(xué)擺動(dòng)周期：微幅擺動(dòng)時(shí)，并令，則解微分方程：則運(yùn)動(dòng)方程為：代入初始條件A=0，B=025動(dòng)力學(xué)共有n個(gè)方程，相加后得：設(shè)質(zhì)點(diǎn)系有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，作用于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力分為內(nèi)力和外力，由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理：3．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理26將上式在通過固定點(diǎn)O的三個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影，得

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)同一點(diǎn)之矩的矢量和（外力系的主矩）。

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理:27上式稱為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理。即質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)同一固定軸之矩的代數(shù)和（外力系對(duì)同一軸的主矩）。（1）當(dāng)時(shí)，常矢量。（2）當(dāng)時(shí)，常量。動(dòng)力學(xué)定理說明內(nèi)力不會(huì)改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩，只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩。4．質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒定律28α解:

取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力分析如圖示。動(dòng)力學(xué)由動(dòng)量矩定理：已知:

[例3]運(yùn)動(dòng)分析：

v=r如何求支座O的反力？α29OθM[例13-1]

(P75)

卷?yè)P(yáng)機(jī)，鼓輪半徑為R，質(zhì)量m1，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，作用力偶M，小車質(zhì)量m2，不計(jì)繩重和摩擦，求小車的加速度a。解：運(yùn)動(dòng)分析和受力分析ωPnvPrFNP1P2FxFy30解：系統(tǒng)的動(dòng)量矩守恒。A猴與B猴向上的絕對(duì)速度是一樣的,均為。動(dòng)力學(xué)已知：猴子A和猴子B的重量相等，猴B以相對(duì)繩子的速度上爬，A猴不動(dòng)，問當(dāng)B猴向上爬時(shí)，A猴將如何動(dòng)？運(yùn)動(dòng)的速度多大？（輪重不計(jì)）[例4]31

對(duì)于一個(gè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體:——?jiǎng)傮w繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程動(dòng)力學(xué)§12-3

剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程代入質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理，有zFnωF2F2FN1FN232

特殊情況：1）若,則恒量，剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)或保持靜止。2）若常量，則α=常量，剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)。將與比較，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量。動(dòng)力學(xué)解決兩類問題：（1）已知作用在剛體的外力矩，求剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律。（2）已知?jiǎng)傮w的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律，求作用于剛體的外力（矩）。但不能求出軸承處的約束反力，需用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解。33[例]lAB34[例12-5]

(P80)amgCOφ物理擺，質(zhì)量m，C為質(zhì)心，對(duì)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO，求微小擺動(dòng)的周期。解：工程中常用上式，通過測(cè)定零件的擺動(dòng)周期，以計(jì)算其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。35提升裝置中，輪A、B的重量分別為P1、P2,半徑分別為r1、r2,可視為均質(zhì)圓盤;物體C的重量為P3;

輪A上作用常力矩M1。求：物體C上升的加速度。取輪B連同物體C為研究對(duì)象補(bǔ)充運(yùn)動(dòng)學(xué)條件化簡(jiǎn)(1)

得：化簡(jiǎn)(2)

得：動(dòng)力學(xué)解:取輪A為研究對(duì)象[例3]α2α136[題12-15]

(P118)lAkl/3BD均質(zhì)桿AB長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m1,小球質(zhì)量為m2，彈簧剛度系數(shù)k,桿在水平位置保持平衡。初始靜止，求給小球一個(gè)向下的微小初位移δ0后桿的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和周期。解：運(yùn)動(dòng)分析和受力分析。37m2gφ[題12-15]

(P118)lAkl/3BD均質(zhì)桿AB長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m1,小球質(zhì)量為m2，彈簧剛度系數(shù)k,桿在水平位置保持平衡。初始靜止，求給小球一個(gè)向下的微小初位移δ0后桿的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和周期。解：運(yùn)動(dòng)分析和受力分析。m1gF39§12-5質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理動(dòng)力學(xué)此動(dòng)量矩定理只適用于相對(duì)慣性參考系為固定的點(diǎn)或固定的軸，對(duì)于一般的動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)軸，動(dòng)量矩定理具有更復(fù)雜的形式。但是，相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心或隨同質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)軸，動(dòng)量矩定理的形式不變。40CFxOA41動(dòng)力學(xué)一．質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于定點(diǎn)的動(dòng)量矩mixyzz′y′x′rir′irCCOvi42動(dòng)力學(xué)二．質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩mixyzz′y′x′rir′irCCOvi43動(dòng)力學(xué)三．質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理mixyzz′y′x′rir′irCCOvi由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理44動(dòng)力學(xué)mixyzz′y′x′rir′irCCOvi45

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心和固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，具有完全相似的數(shù)學(xué)形式，而對(duì)于質(zhì)心以外的其它動(dòng)點(diǎn)，一般并不存在這種簡(jiǎn)單的關(guān)系。動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)質(zhì)心之矩的矢量和。46設(shè)有一平面運(yùn)動(dòng)剛體具有質(zhì)量對(duì)稱平面，力系可以簡(jiǎn)化為該平面內(nèi)的一個(gè)力系。取質(zhì)量對(duì)稱平面為平面圖形S，質(zhì)心一定位于S內(nèi)。動(dòng)力學(xué)取質(zhì)心C為動(dòng)系原點(diǎn)，則此平面運(yùn)動(dòng)可分解為（1）隨質(zhì)心C的平動(dòng)(xC,yC)（2）繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)（）剛體對(duì)質(zhì)心C的動(dòng)量矩為：§12–6剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程47寫成投影形式：或：上式稱為平面運(yùn)動(dòng)微分方程。動(dòng)力學(xué)應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理：48[例12-11]

（P97~98）rxCMαaCFNmgF均質(zhì)圓輪半徑為r，質(zhì)量為m，沿水平直線滾動(dòng)，輪的慣性半徑為ρC，作用于圓輪的力偶矩為M。（1）求輪心的加速度。（2）如果圓輪對(duì)地面的靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)為fs，問M應(yīng)滿足什么條件使圓輪只滾不滑。解：（1）運(yùn)動(dòng)分析和受力分析。（1）（2）（3）α和M均以順時(shí)針為正。49（1）（2）（3）（2）只滾不滑的條件：50質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)圓輪置放于傾角為θ

的斜面上，在重力作用下由靜止開始運(yùn)動(dòng)。設(shè)輪與斜面間的靜、動(dòng)滑動(dòng)摩擦系數(shù)為f和f′，不計(jì)滾動(dòng)摩阻，試分析輪的運(yùn)動(dòng)。動(dòng)力學(xué)解：取輪為研究對(duì)象。受力分析如圖示。運(yùn)動(dòng)分析：取直角坐標(biāo)系Oxy

aCy

=0，aCx

=aC，

一般情況下輪作平面運(yùn)動(dòng)。根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)微分方程，有（1）（2）（3）三式中含有四個(gè)未知數(shù)（N、aC

、F、），需補(bǔ)充附加條件。[例4]（1）（3）（2）aCθ511．設(shè)接觸面絕對(duì)光滑。2．設(shè)接觸面足夠粗糙，輪作純滾動(dòng)。動(dòng)力學(xué)3．設(shè)輪與斜面間有滑動(dòng)，輪又滾又滑。F=f′N，可解得4.

輪作純滾動(dòng)的條件：表明：當(dāng)時(shí)，解答3適用；當(dāng)時(shí)，解答2適用；f=0時(shí)解答1適用。因?yàn)檩営伸o止開始運(yùn)動(dòng)，故＝0，輪沿斜面平動(dòng)下滑。所以可解得52一．基本概念1．動(dòng)量矩：物體某瞬時(shí)機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的一種度量。2．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩：3．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩：4．轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的度量。對(duì)于均勻直桿，細(xì)圓環(huán)，薄圓盤（圓柱）對(duì)過質(zhì)心垂直于質(zhì)量對(duì)稱平面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量要熟記。動(dòng)力學(xué)動(dòng)量矩定理習(xí)題課535．剛體動(dòng)量矩計(jì)算平動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：平面運(yùn)動(dòng)：二．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理及守恒

1．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理2．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒(1)若，則常矢量。(2)若，則常量。動(dòng)力學(xué)54三．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理及守恒

1．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理動(dòng)力學(xué)2．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒(1)若，則常矢量(2)若，則常量四．質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理55五．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程和剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

1．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程2．剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程或動(dòng)力學(xué)56六．動(dòng)量矩定理的應(yīng)用應(yīng)用動(dòng)量矩定理，一般可以處理下列一些問題：（對(duì)單軸傳動(dòng)系統(tǒng)尤為方便）動(dòng)力學(xué)1．已知質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，求系統(tǒng)所受的外力或外力矩。2．已知質(zhì)點(diǎn)系所受的外力矩是常力矩或時(shí)間的函數(shù)，求剛體的角加速度或角速度的改變。3．已知質(zhì)點(diǎn)所受到的外力主矩或外力矩在某軸上的投影代數(shù)和等于零，應(yīng)用動(dòng)量矩守恒定理求角速度或角位移。57均質(zhì)圓柱，半徑為r，重量為Q，置圓柱于墻角。初始角速度0，墻面、地面與圓柱接觸處的動(dòng)滑動(dòng)摩擦系數(shù)均為f

'，滾阻不計(jì)，求使圓柱停止轉(zhuǎn)動(dòng)所需要的時(shí)間。解：選取圓柱為研究對(duì)象。(注意只是一個(gè)剛體)受力分析如圖示。運(yùn)動(dòng)分析：質(zhì)心C不動(dòng)，剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)。動(dòng)力學(xué)根據(jù)剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程(1)(2)(3)補(bǔ)充方程：(4)[例1]58將(4)式代入(1)、(2)兩式，有將上述結(jié)果代入(3)式，有解得：動(dòng)力學(xué)(1