423直線與圓方程的應用

4.2.3直線與圓的方程的應用2013.10.28復習在平面直角坐標系下，與坐標有關(guān)的問題1.兩點間距離公式2.直線的方程點到直線的距離，平行直線間距離3.圓的方程點、直線、圓和圓的位置關(guān)系4.解決問題的出發(fā)點2）幾何方法1）代數(shù)方法譬如，用解方程組的方法判斷直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系譬如，用平面幾何相切的意義來判斷直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系5.用建立坐標系的方法解決實際問題或平面幾何中問題.

例1.如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.這個圓的圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造時每間隔4m需要用一根支柱支撐，求支柱A2P2的高度（精確到0.01m）ABA1A2A3A4OPP2

分析:如圖所示，建立直角坐標系，求出圓弧所在的圓的方程，那么只要知道點P2的坐標，就可得出支柱A2P2的高度，化幾何問題為代數(shù)問題.ABA1A2A3A4OPP2xy例1、圖中是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度

AB＝20m，拱高OP=4m，在建造時每隔4m需用一個支柱支撐，求支柱A2P2的長度（精確到0.01）yx思考:(用坐標法)

1.圓心和半徑能直接求出嗎？

2.怎樣求出圓的方程？

3.怎樣求出支柱A2P2的長度？解：建立如圖所示的坐標系，設(shè)圓心坐標是（0，b）,圓的半徑是r,則圓的方程是x2+(y-b)2=r2.把P（0，4）B（10，0）代入圓的方程得方程組：02+(4-b)2=r2102+(0-b)2=r2解得，b=-10.5r2=14.52所以圓的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52把點P2的橫坐標x=-2代入圓的方程，得(-2)2+(y+10.5)2=14.52因為y>0,所以y=14.52-(-2)2-10.5≈14.36-10.5=3.86(m)答：支柱A2P2的長度約為3.86m.

例2.已知內(nèi)接于圓的四邊形的對角線互相垂直，求證：圓心到一邊的距離等于這條邊所對邊長的一半.Xyo

分析：許多平面幾何問題常利用“坐標法”來解決，首先選擇合適的位置建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担捎谒倪呅蔚膶蔷€互相垂直，以對角線為坐標軸較好，進而設(shè)定四個頂點坐標，隨后用坐標法驗證本題的結(jié)論.AO’DCBE例2、已知內(nèi)接于圓的四邊形的對角線互相垂直，求證圓心到一邊的距離等于這條邊所對邊長的一半.xyOCABD(a,0)(0,b)(c,0)(0,d)OMN分析：將自然語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，建立適當?shù)闹苯亲鴺讼底C明問題。由已知，可選擇互相垂直的兩條對角線所在的直線為坐標軸，關(guān)鍵在求圓心坐標。解：如圖，以四邊形ABCD互相垂直的對角線CA，DB所在直線分別為x軸和y軸，建立平面直角坐標系。設(shè)過四邊形ABCD外接圓圓心Q分別作AC，BD，AD的垂線，垂足分別為M，N，E，則M，N，E分別是線段AC，BD，AD的中點，由線段的中點坐標公式得：所以，OEMNxQABCD又

同理，可證其它所以即：圓心到一邊的距離等于這條邊所對邊長的一半反思：

用坐標法解決問題的步驟——“三步曲”1、建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題2、通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題（有目的地）3、把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論幾何

代數(shù)幾何

例3如圖，在Rt△AOB中，|OA|=4，|OB|=3，∠AOB=90°，點P是△AOB內(nèi)切圓上任意一點，求點P到頂點A、O、B的距離的平方和的最大值和最小值.OABPCXy分析：建立適當?shù)淖鴺讼?，求出點P所在的圓的方程，再寫出點P到頂點的距離的平方和，用代數(shù)方法求出最值.O1MO2PNoyx

例4如圖，圓O1和圓O2的半徑都等于1，圓心距為4，過動點P分別作圓O1和圓O2的切線，切點為M、N，且使得|PM|=|PN|，試求點P的運動軌跡是什么曲線？分析：建立適當?shù)淖鴺讼担蟪鳇cP的軌跡方程，在依據(jù)方程判斷點P的運動軌跡.思想方法小結(jié)

用坐標法解決幾何問題時，先用坐標和方程表示相應的幾何元素：點、直線、圓，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；然后通過代數(shù)運算解決代數(shù)問題；最后解釋代數(shù)運算結(jié)果的幾何含義，得到幾何問題的結(jié)論，這就是用坐標法解決平面幾何問題的“三步曲”.

第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；第三步：把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.“坐標法“三步曲作業(yè)P132