-簡明彈性力學(xué)教程 徐芝綸 復(fù)習(xí)

彈性力學(xué)

ElasticMechanics

平面問題的基本理論平面問題的直角坐標(biāo)解答平面問題的極坐標(biāo)解答空間問題的基本理論空間問題的解答大綱2第二章平面問題的基本理論

目錄平面應(yīng)力與平面應(yīng)變平衡微分方程平面應(yīng)力狀態(tài)幾何方程剛體位移物理方程邊界條件圣維南原理及其應(yīng)用按位移求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題相容方程常體力情況下的簡化應(yīng)力函數(shù)提要41.平衡微分方程〔2-2〕2.幾何方程〔2-8〕3.物理方程〔平面應(yīng)力問題〕〔2-12〕4.邊界條件位移：（2-14）應(yīng)力：〔2-15〕平面問題的基本方程5平面問題基本方程〔2-13〕〔平面應(yīng)變問題〕平面應(yīng)力→平面應(yīng)變：按位移求解平面問題的基本方程〔1〕平衡方程：〔2-18〕〔2〕邊界條件：位移邊界條件：〔2-14〕應(yīng)力邊界條件：〔2-19〕6按位移求解平面問題的基本方程〔平面應(yīng)力問題〕平面應(yīng)力→平面應(yīng)變：按應(yīng)力求解平面問題的基本方程〔1〕平衡方程〔2〕相容方程〔形變協(xié)調(diào)方程〕〔3〕邊界條件：〔平面應(yīng)力情形〕7按應(yīng)力求解平面問題〔平面應(yīng)變情形〕〔1〕平衡方程〔2〕相容方程〔形變協(xié)調(diào)方程〕〔3〕邊界條件常體力下平面問題的基本方程8常體力下平面問題的基本方程全解

=齊次方程通解+非齊次方程的特解。1特解常體力下特解形式：2通解——

應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程第三章平面問題的直角坐標(biāo)解答

目錄逆解法與半逆解法多項式解答矩形梁的純彎曲位移分量的求出簡支梁受均布載荷楔形體受重力和液體壓力提要10應(yīng)力函數(shù)的求解方法1逆解法〔1〕根據(jù)問題的條件〔幾何形狀、受力特點、邊界條件等〕，假設(shè)各種滿足相容方程〔2-25〕的φ(x,y)的形式；〔2〕——主要適用于簡單邊界條件的問題。然后利用應(yīng)力分量計算式（2-24），求出（具有待定系數(shù)）；〔3〕再利用應(yīng)力邊界條件式〔2-15〕，來考察這些應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)對應(yīng)什么樣的邊界面力問題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)可以求解什么問題。應(yīng)力函數(shù)的求解方法11多項式解答適用性：由一些直線邊界構(gòu)成的彈性體。目的：考察一些簡單多項式函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)

，能解決什么樣的力學(xué)問題?！娼夥ǘ囗検浇獯?2應(yīng)力函數(shù)的求解方法2半逆解法〔1〕根據(jù)問題的條件〔幾何形狀、受力特點、邊界條件等〕，假設(shè)部分應(yīng)力分量的某種函數(shù)形式；〔2〕根據(jù)與應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)的關(guān)系及，求出φ(x,y)的形式；〔3〕最后利用式（2-24）計算出并讓其滿足邊界條件和位移單值條件。——半逆解法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)理方程中分離變量法。應(yīng)力函數(shù)的求解方法13多項式解答其中：a、b、c

為待定系數(shù)。檢驗φ(x,y)是否滿足雙調(diào)和方程：顯然φ(x,y)滿足雙調(diào)和方程，因而可作為應(yīng)力函數(shù)。〔1〕1.

一次多項式〔2〕〔3〕對應(yīng)的應(yīng)力分量：假設(shè)體力：fx=fy=0，那么有：多項式解答14結(jié)論1：〔1〕〔2〕一次多項式對應(yīng)于無體力、無面力和無應(yīng)力狀態(tài)；在該函數(shù)φ(x,y)上加上或減去一個一次多項式，對應(yīng)力無影響。多項式解答2.二次多項式〔1〕其中：a、b、c

為待定系數(shù)。(假定：fx

=fy

=0;a>0,b>0,c>0)檢驗φ(x,y)

是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有〔2〕(可作為應(yīng)力函數(shù))〔3〕由式〔2-24〕計算應(yīng)力分量：xy2c2c2a2a多項式解答15結(jié)論2：二次多項式對應(yīng)于均勻應(yīng)力分布。多項式解答結(jié)論2：二次多項式對應(yīng)于均勻應(yīng)力分布。xy試求圖示板的應(yīng)力函數(shù)。例：xy2.二次多項式多項式解答163.三次多項式〔1〕其中:a、b、c

、d為待定系數(shù)。檢驗φ(x,y)

是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有〔2〕(可作為應(yīng)力函數(shù))(假定：fx

=fy

=0)〔3〕由式〔2-24〕計算應(yīng)力分量：結(jié)論3：三次多項式對應(yīng)于線性應(yīng)力分布。多項式解答多項式解答17討論：可算得：xy1ll圖示梁對應(yīng)的邊界條件：MM可見：——對應(yīng)于矩形截面梁的純彎曲問題應(yīng)力分布。常數(shù)a與彎矩M的關(guān)系：(1)由梁端部的邊界條件：多項式求解多項式解答18(2)此結(jié)果與材力中結(jié)果相同，說明材力中純彎曲梁的應(yīng)力結(jié)果是正確的。多項式求解多項式解答19xy1llMM(1)由梁端部的邊界條件：多項式求解xy1llMM說明：(1)組成梁端力偶

M的面力須線性分布，且中心處為零，結(jié)果才是精確的。(2)假設(shè)按其它形式分布，如：那么此結(jié)果不精確，有誤差；但按圣維南原理，僅在兩端誤差較大，離端部較遠(yuǎn)處誤差較小。(3)當(dāng)

l

遠(yuǎn)大于

h時，誤差較?。环粗`差較大。多項式解答204.四次多項式〔1〕檢驗φ(x,y)

是否滿足雙調(diào)和方程〔2〕代入：得多項式求解可見，對于函數(shù)：其待定系數(shù)，須滿足下述關(guān)系才能作為應(yīng)函數(shù)：多項式解答21〔3〕應(yīng)力分量：——應(yīng)力分量為x、y的二次函數(shù)?！?〕特例：〔須滿足：a+e=0〕多項式求解多項式解答224.四次多項式總結(jié)

多項式應(yīng)力函數(shù)的性質(zhì)〔1〕多項式次數(shù)n

<4

時，則系數(shù)可以任意選取，總可滿足。多項式次數(shù)n

≥4

時，則系數(shù)須滿足一定條件，才能滿足。多項式次數(shù)n越高，那么系數(shù)間需滿足的條件越多。〔2〕一次多項式，對應(yīng)于無體力和無應(yīng)力狀態(tài)；任意應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)上加上或減去一個一次多項式，對應(yīng)力無影響。二次多項式，對應(yīng)均勻應(yīng)力狀態(tài)，即全部應(yīng)力為常量；三次多項式，對應(yīng)于線性分布應(yīng)力?！?〕〔4〕用多項式構(gòu)造應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)的方法——逆解法〔只能解決簡單直線應(yīng)力邊界問題〕。多項式解答總結(jié)23〔1〕討論：當(dāng)x=x0=常數(shù)xyl1hMM——u關(guān)于鉛垂方向的變化率，即鉛垂方向線段的轉(zhuǎn)角。說明：

同一截面上的各鉛垂線段轉(zhuǎn)角相同。橫截面保持平面——材力中“平面假設(shè)〞成立。24矩形梁的純彎曲(f)〔2〕將下式中的第二式對x

求二階導(dǎo)數(shù)：說明：在微小位移下，梁縱向纖維的曲率相同。即——材料力學(xué)中的撓曲線微分方程25矩形梁的純彎曲〔1〕兩端簡支(f)其邊界條件：將其代入(f)式，有將其代回(f)式，有(3-3)梁的撓曲線方程：——與材力中結(jié)果相同位移邊界條件的利用26位移邊界條件的利用位移邊界條件的利用〔2〕懸臂梁(f)邊界條件由式〔f〕可知，此邊界條件無法滿足。邊界條件改寫為：〔中點不動〕〔軸線在端部不轉(zhuǎn)動〕h/2h/227位移邊界條件的利用h/2h/2代入式〔f〕，有可求得：位移邊界條件的利用28位移邊界條件的利用位移邊界條件的利用(3-4)撓曲線方程：與材料力學(xué)中結(jié)果相同h/2h/229位移邊界條件的利用h/2h/2說明：〔1〕求位移的過程：〔a〕將應(yīng)力分量代入物理方程〔b〕再將應(yīng)變分量代入幾何方程〔c〕再利用位移邊界條件，確定常數(shù)。位移邊界條件的利用30位移邊界條件的利用〔2〕假設(shè)為平面應(yīng)變問題，那么將材料常數(shù)E、μ作相應(yīng)替換?！?〕假設(shè)取固定端邊界條件為：h/2h/2〔中點不動〕〔中點處豎向線段轉(zhuǎn)角為零〕得到：求得：此結(jié)果與前面情形相同。〔為什么？〕位移邊界條件的利用31位移邊界條件的利用應(yīng)力函數(shù)的確定xyllqlql1yzh/2h/2q(1)分析：——主要由彎矩引起；——主要由剪力引起；——由q引起〔擠壓應(yīng)力〕。又∵q

=常數(shù)，圖示坐標(biāo)系和幾何對稱，∴不隨x

變化。推得：(2)由應(yīng)力分量表達式確定應(yīng)力函數(shù)的形式：積分得：(a)(b)——任意的待定函數(shù)32簡支梁受均布載荷--應(yīng)力函數(shù)的確定xyllqlql1yzh/2h/2q(3)由確定：代入相容方程：應(yīng)力函數(shù)的確定33應(yīng)力函數(shù)的確定xyllqlql1yzh/2h/2q方程的特點：關(guān)于x的二次方程，且要求－l≤x≤l內(nèi)方程均成立。由“高等代數(shù)〞理論，須有x的一、二次的系數(shù)、自由項同時為零。即：對前兩個方程積分：(c)此處略去了f1(y)中的常數(shù)項對第三個方程得：積分得：(d)34應(yīng)力函數(shù)的確定(c)(d)(a)(b)將(c)(d)代入(b)，有(e)此處略去了f2(y)中的一次項和常數(shù)項式中含有9個待定常數(shù)。35應(yīng)力函數(shù)的確定xyllqlql1yzh/2h/2q應(yīng)力分量的確定(f)(g)(h)36應(yīng)力函數(shù)的確定xyllqlql1yzh/2h/2q(2-24)〔1〕對稱條件的應(yīng)用：xyllqlql1yzh/2h/2q由q

對稱、幾何對稱：——x的偶函數(shù)——x

的奇函數(shù)由此得：要使上式對任意的y成立，須有：37對稱條件與邊界條件的應(yīng)用〔2〕邊界條件的應(yīng)用：(a)上下邊界〔主要邊界〕：由此解得：代入應(yīng)力公式xyllqlql1yzh/2h/2q38對稱條件與邊界條件的應(yīng)用xyllqlql1yzh/2h/2q(b)左右邊界〔次要邊界〕：〔由于對稱，只考慮右邊界即可?！场y以滿足，需借助于圣維南原理。靜力等效條件：軸力N=0；彎矩M=0；剪力Q=－ql；39對稱條件與邊界條件的應(yīng)用40對稱條件與邊界條件的應(yīng)用xyllqlql1yzh/2h/2q(i)(j)(k)可見，這一條件自動滿足。41對稱條件與邊界條件的應(yīng)用xyllqlql1yzh/2h/2qxyllqlql1yzh/2h/2q三次拋物線截面上的應(yīng)力分布：42對稱條件與邊界條件的應(yīng)用(p)與材料力學(xué)結(jié)果比較xyllqlql1yzh/2h/2q(p)材力中幾個參數(shù)：截面寬：b=1,截面慣矩：靜矩：彎矩：剪力：將其代入式(p)，有〔3-6〕43與材料力學(xué)結(jié)果比較比較，得：〔1〕第一項與材力結(jié)果相同，為主要項。第二項為修正項。當(dāng)h/l<<1，該項誤差很小，可略；當(dāng)h/l較大時，須修正?！?〕為梁各層纖維間的擠壓應(yīng)力，材力中不考慮?！?〕與材力中相同。注意：按式〔3-6〕，梁的左右邊界存在水平面力：說明式〔3-6〕在兩端不適用。（3-6）xyllqlql1yzh/2h/2q44與材料力學(xué)結(jié)果比較〔1〕〔2〕〔3〕根據(jù)問題的條件：幾何特點、受力特點、約束特點（面力分布規(guī)律、對稱性等），估計某個應(yīng)力分量（）的變化形式。由與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系式（2-24），求得應(yīng)力函數(shù)的具體形式（具有待定函數(shù)）?！?〕〔5〕將具有待定函數(shù)的應(yīng)力函數(shù)代入相容方程：確定中的待定函數(shù)形式。由與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系式（2-24），求得應(yīng)力分量。由邊界條件確定中的待定常數(shù)。用半逆解法求解梁、矩形長板類彈性力學(xué)平面問題的基本步驟：解題步驟小結(jié)45解題步驟小結(jié)xyO問題的提出楔形體，下部可無限延伸。側(cè)面受水壓作用：（水的溶重）；自重作用：（楔形體的溶重）；求：楔形體應(yīng)力分布規(guī)律。46楔形體受重力和液體壓力應(yīng)力函數(shù)及應(yīng)力分量(1)分析：(a)∵的量綱為：∴的形式應(yīng)為：的線性組合。

的量綱為：(b)由推理得：應(yīng)為x、y的三次函數(shù)。應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：xyO47楔形體受重力和液體壓力xyO(2)應(yīng)力分量考慮到：fx

=0，fy

=（常體力）(a)顯然，上述應(yīng)力函數(shù)滿足相容方程。48楔形體受重力和液體壓力(1)x=0〔應(yīng)力邊界〕：代入式〔a〕，那么應(yīng)力分量為：邊界條件的利用xyON(b)49楔形體受重力和液體壓力(a)(2)

（應(yīng)力邊界）：其中：將(b)代入，有代入，可求得：xyON50楔形體受重力和液體壓力(b)xyO沿水平方向的應(yīng)力分布代入式〔b〕，有：(3-7)——李維〔Levy〕解答與材力結(jié)果比較：——沿水平方向不變，在材力中無法求得。——沿水平方向線性分布，與材力中偏心受壓公式算得結(jié)果相同?！厮椒较蚓€性分布，材力中為拋物線分布。51楔形體受重力和液體壓力xyO沿水平方向的應(yīng)力分布(3-7)——李維〔Levy〕解答結(jié)果的適用性：〔1〕當(dāng)壩的橫截面變化時，不再為平面應(yīng)變問題，其結(jié)果誤差較大?！?〕假定壩下端無限延伸，可自由變形。而實際壩高有限，底部與基礎(chǔ)相連，有地基約束，故底部處結(jié)果誤差較大。〔3〕實際壩頂非尖頂，壩頂處有其它載荷，故壩頂處結(jié)果誤差較大。——三角形重力壩的精確分析，常借助于有限元數(shù)值方法求解。工程應(yīng)用：——求使壩穩(wěn)定時的角度，稱為安息角。52楔形體受重力和液體壓力體力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿板厚不變化。體力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿z向不變化。z方向的尺寸遠(yuǎn)小于板面內(nèi)的尺寸〔等厚度薄平板〕z方向的尺寸遠(yuǎn)大于xoy平面內(nèi)的尺寸〔等截面長柱體〕兩類平面問題及其特征53兩類平面問題及其特征〔1〕平衡微分方程〔2-2〕〔假定：小變形、連續(xù)性、均勻性〕〔2〕幾何方程〔2-8〕〔假定：小變形、連續(xù)性、均勻性〕〔3〕物理方程(2-12)〔平面應(yīng)力〕(2-13)〔平面應(yīng)變〕〔假定：小變形、連續(xù)性、均勻性、彈性、各向同性〕平面問題的基本方程54平面問題的基本方程思路：〔1〕按位移求解以位移u、v為基本未知量，在所有基本方程中消去其余6個量，得到以位移表示的基本方程，從中求出u、v，再由幾何方程、物理方程求出其余未知量。基本方程：〔2-18〕位移表示的平衡方程〔2-19〕〔2-14〕位移表示的應(yīng)力邊界條件位移邊界條件平面問題的基本求解方法及基本方程55平面問題的基本求解方法及基本方程〔2〕按應(yīng)力求解思路：以應(yīng)力為基本未知量，將基本方程用只有的3個方程，從中求出，再由物理方程、幾何方程求出其余未知量?；痉匠蹋骸?-2〕平衡方程〔2-21〕相容方程基本控制方程〔平面應(yīng)力情形〕〔2-14〕〔2-15〕位移邊界條件應(yīng)力邊界條件邊值條件56平面問題的基本求解方法及基本方程兩類平面問題物理方程的互相轉(zhuǎn)換：平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題〔4〕邊界條件〔2-14〕〔2-15〕——位移邊界條件——應(yīng)力邊界條件57平面問題的基本求解方法及基本方程(2-27)(2-26)〔1〕對多連體問題，還須滿足位移單值條件。〔2-17〕〔2-18〕位移邊界條件應(yīng)力邊界條件應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力分量〔對常體力情形〕說明：〔2〕應(yīng)力函數(shù)確定方法：逆解法、半逆解法。按應(yīng)力求解的應(yīng)力函數(shù)法基本方程：58按應(yīng)力求解的應(yīng)力函數(shù)法基本方程：〔2-20〕〔2-21〕〔2-22〕(平面應(yīng)力情形)(平面應(yīng)變情形)〔2-23〕(2-25)形變表示的相容方程應(yīng)力表示的相容方程應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程(基本形式)(常體力情形)適用情形：小變形、任意彈塑性材料。(常體力情形)平面問題的變形協(xié)調(diào)方程〔相容方程〕59平面問題的變形協(xié)調(diào)方程〔相容方程〕位移邊界條件應(yīng)力邊界條件圣維南原理的要點：〔1〕小部分邊界〔次要邊界〕；〔2〕靜力等效；〔3〕結(jié)果影響范圍：近處有影響，遠(yuǎn)處影響不大。圣維南原理的應(yīng)用：〔1〕面力分布復(fù)雜的邊界〔次要邊界〕如：集中力，集中力偶等；〔2〕位移邊界〔次要邊界〕；邊界條件與圣維南原理60邊界條件與圣維南原理〔1〕常體力情況下簡化將體力轉(zhuǎn)化為等效的面力：〔2〕任意斜面的應(yīng)力、主應(yīng)力、主方向、最大最小剪應(yīng)力計算?！?〕任意方向的正應(yīng)變計算。其它61邊界條件與圣維南原理第四章平面問題的極坐標(biāo)解答

主要內(nèi)容極坐標(biāo)中的平衡微分方程極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移圓環(huán)或圓筒受均布壓力壓力隧洞圓孔的孔口應(yīng)力集中半平面體在邊界上受集中力半平面體在邊界上受分布力提要平面問題的極坐標(biāo)解答要點：〔1〕極坐標(biāo)中平面問題的基本方程：——平衡方程、幾何方程、物理方程、相容方程、邊界條件。〔2〕極坐標(biāo)中平面問題的求解方法及應(yīng)用應(yīng)用：圓盤、圓環(huán)、厚壁圓筒、楔形體、半無限平面體等的應(yīng)力與變形分析。引言平衡微分方程：〔4－1〕幾何方程：〔4－2〕物理方程：〔4－3〕(平面應(yīng)力情形)極坐標(biāo)求解的基本方程極坐標(biāo)求解的基本方程邊界條件：位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：為邊界上已知位移，為邊界上已知的面力分量?！参灰茊沃禇l件〕rrr極坐標(biāo)求解的基本方程結(jié)論彈性力學(xué)極坐標(biāo)求解歸結(jié)為〔1〕由問題的條件求出滿足式〔4－6〕的應(yīng)力函數(shù)〔4－6〕〔2〕由式〔4－5〕求出相應(yīng)的應(yīng)力分量：〔4－5〕彈性力學(xué)極坐標(biāo)求解總結(jié)〔3〕將上述應(yīng)力分量滿足問題的邊界條件：位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：為邊界上已知位移，為邊界上已知的面力分量?！参灰茊沃禇l件〕結(jié)論彈性力學(xué)極坐標(biāo)求解總結(jié)軸對稱問題：qO（4－5）（4－6）由式〔4－5〕和〔4－6〕得應(yīng)力分量和相容方程為：〔4－9〕相容方程：軸對稱問題應(yīng)力分量與相容方程軸對稱問題應(yīng)力分量與相容方程應(yīng)力分量：平面軸對稱問題小結(jié)〔4－10〕〔1〕應(yīng)力函數(shù)〔2〕應(yīng)力分量〔4－11〕〔3〕位移分量〔4-12〕式中：A、B、C、H、I、K

由應(yīng)力和位移邊界條件確定。平面軸對稱問題小結(jié)由式〔4-13〕可以看出：應(yīng)力軸對稱并不表示位移也是軸對稱的。但在軸對稱應(yīng)力情況下，假設(shè)物體的幾何形狀、受力、位移約束都是軸對稱的，那么位移也應(yīng)該是軸對稱的。這時，物體內(nèi)各點都不會有環(huán)向位移，即不論

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取何值，都應(yīng)有：對這種情形，有式〔4-12〕變?yōu)椋?-12〔a〕平面軸對稱問題小結(jié)圓環(huán)或圓筒受均布壓力：求：應(yīng)力分布。確定應(yīng)力分量的表達式：（4－11）邊界條件：〔a〕將式〔4-11〕代入，有：〔b〕圓環(huán)或圓筒受均布壓力（b）式中有三個未知常數(shù)，二個方程不通用確定。對于多連體問題，位移須滿足位移單值條件。位移多值項要使單值，須有：B=0，由式〔b〕得將其代回應(yīng)力分量式〔4-11〕，有：圓環(huán)或圓筒受均布壓力〔4-13〕〔1〕假設(shè)：(二向等壓情況)〔2〕假設(shè)：〔壓應(yīng)力〕〔拉應(yīng)力〕圓環(huán)或圓筒受均布壓力〔3〕假設(shè)：〔壓應(yīng)力〕〔壓應(yīng)力〕〔4〕假設(shè)：——具有圓形孔道的無限大彈性體。邊緣處的應(yīng)力：圓環(huán)或圓筒受均布壓力壓力隧洞問題：厚壁圓筒埋在無限大彈性體內(nèi)，受內(nèi)壓q作用，求圓筒的應(yīng)力。1.分析：與以前相比較，相當(dāng)于兩個軸對稱問題：(a)受內(nèi)外壓力作用的厚壁圓筒；(b)僅受內(nèi)壓作用的無限大彈性體。確定外壓p的兩個條件：徑向變形連續(xù)：徑向應(yīng)力連續(xù)：壓力隧洞2.求解(1)圓筒的應(yīng)力與邊界條件應(yīng)力：〔a〕邊界條件：(2)無限大彈性體的應(yīng)力與邊界條件應(yīng)力：〔b〕邊界條件：將式〔a〕、〔b〕代入相應(yīng)的邊界條件，得到如下方程：壓力隧洞〔1〕壓力隧洞問題為最簡單的接觸問題〔面接觸〕。完全接觸：接觸面間既不互相脫離，也不互相滑動。接觸條件為應(yīng)力：位移：〔2〕非完全接觸〔光滑接觸〕應(yīng)力：位移：接觸條件：討論壓力隧洞討論孔邊應(yīng)力集中概念由于彈性體中存在小孔，使得孔邊的應(yīng)力遠(yuǎn)大于無孔時的應(yīng)力，也遠(yuǎn)大于距孔稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力。稱為孔邊的應(yīng)力集中。應(yīng)力集中系數(shù)：與孔的形狀有關(guān)，是局部現(xiàn)象；與孔的大小幾乎無關(guān)?！矆A孔為最小，其它形狀較大〕孔邊應(yīng)力集中概念〔1〕問題：帶有圓孔的無限大板〔B>>a〕，圓孔半徑為a，在無限遠(yuǎn)處受有均勻拉應(yīng)力q作用。求：孔邊附近的應(yīng)力。孔邊應(yīng)力集中問題的求解孔邊應(yīng)力集中問題的求解〔2〕問題的求解

問題分析坐標(biāo)系：就外邊界〔直線〕，宜用直角坐標(biāo)；就內(nèi)邊界〔圓孔〕，宜用極坐標(biāo)。A取一半徑為r=b(b>>a〕，在其上取一點A的應(yīng)力：OxybAArA由應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式：原問題轉(zhuǎn)化為：無限大圓板中間開有一圓孔的新問題。b孔邊應(yīng)力集中問題的求解孔邊應(yīng)力集中問題的求解新問題的邊界條件可表示為：xyba內(nèi)邊界外邊界〔a〕問題1〔b〕〔c〕baba問題2將外邊界條件〔a〕分解為兩部分：孔邊應(yīng)力集中問題的求解孔邊應(yīng)力集中問題的求解問題1ba

問題1的解：內(nèi)邊界外邊界（b）

該問題為軸對稱問題，其解為

當(dāng)b>>a時，有〔d〕求解孔邊應(yīng)力集中問題的求解

問題2的解：ba問題2〔非軸對稱問題〕內(nèi)邊界外邊界（c）

由邊界條件（c），可假設(shè)：為r的某一函數(shù)乘以；為r的某一函數(shù)乘以。

又由極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量表達式：

可假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：

將其代入相容方程：求解孔邊應(yīng)力集中問題的求解

與前面類似，令：有

該方程的特征方程：特征根為：方程的解為：孔邊應(yīng)力集中問題的求解孔邊應(yīng)力集中問題的求解ba問題2

相應(yīng)的應(yīng)力分量：對上述應(yīng)力分量應(yīng)用邊界條件〔c〕,有內(nèi)邊界外邊界（c）〔e〕孔邊應(yīng)力集中問題的求解孔邊應(yīng)力集中問題的求解孔邊應(yīng)力集中問題的求解ba問題2求解A、B、C、D，然后令a/b=0，得代入應(yīng)力分量式〔e〕,有〔f〕孔邊應(yīng)力集中問題的求解將問題1和問題2的解相加,得全解：〔4-19〕討論：〔1〕沿孔邊，r=a，環(huán)向正應(yīng)力：3q2qq0－q90°60°45°30°0°〔2〕沿y軸，θ=90°，環(huán)向正應(yīng)力：1.04q1.07q1.22q3q4a3a2aarAb——基爾斯〔G.Kirsch〕解孔邊應(yīng)力集中問題的求解孔邊應(yīng)力集中問題的求解〔3〕沿x軸，θ=0°，環(huán)向正應(yīng)力：〔4〕假設(shè)矩形薄板〔或長柱〕受雙向拉應(yīng)力q1、q2作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2求解孔邊應(yīng)力集中問題的求解〔4〕假設(shè)矩形薄板〔或長柱〕受雙向拉應(yīng)力q1、q2作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2疊加后的應(yīng)力：〔4-19〕孔邊應(yīng)力集中問題的求解孔邊應(yīng)力集中問題的求解（5）任意形狀薄板（或長柱）受面力

作用，