投資組合理論

投資組合理論馬可維茲提出了什麼樣的投資組合理論？個(gè)別證券平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，及證券間之共變異數(shù)與相關(guān)係數(shù)在馬可維茲的投資組合理論扮演什麼角色？如何估計(jì)投資組合的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差？兩項(xiàng)資產(chǎn)相關(guān)係數(shù)、權(quán)重與投資組合預(yù)期報(bào)酬與變異數(shù)有何關(guān)係？如何作預(yù)期報(bào)酬率／變異數(shù)效率組合分析？如何分散或控制投資風(fēng)險(xiǎn)：系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)與非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)？如何衡量組合內(nèi)單一證券之相對風(fēng)險(xiǎn)？馬可維茲的投資組合理論1/2馬可維茲(Markowitz)博士在1952年提出了他的平均數(shù)／變異數(shù)投資組合理論，開啟了現(xiàn)代投資組合理論研究的大門，也在1990年與夏普(Sharpe)博士及米勒(Miller)博士共同得到了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。夏普博士的資本資產(chǎn)定價(jià)模式(capitalassetpricingmodel,CAPM)便是由此理論延伸發(fā)展而導(dǎo)出。馬可維茲的投資組合理論2/2「不要把所有雞蛋放在同一個(gè)籃子」。應(yīng)用統(tǒng)計(jì)模式來證明分散投資對於投資組合降低風(fēng)險(xiǎn)的可行性。馬可維茲的投資組合理論協(xié)助投資人在不犧牲預(yù)期報(bào)酬的條件下，降低投資組合的風(fēng)險(xiǎn)；或者在既定預(yù)期報(bào)酬下，將組合風(fēng)險(xiǎn)降到最低點(diǎn)。個(gè)別證券平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差及

證券間之共變異數(shù)與相關(guān)係數(shù)平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差(變異數(shù))共變異數(shù)相關(guān)係數(shù)投資組合平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差投資組合(實(shí)際)報(bào)酬率投資組合預(yù)期報(bào)酬率投資組合(報(bào)酬率)標(biāo)準(zhǔn)差(變異數(shù))當(dāng)股票組合是由兩檔股票組成時(shí)股票組合的預(yù)期報(bào)酬率E(Rp)以及變異數(shù)可以表達(dá)如下：如果兩檔股票報(bào)酬率的相關(guān)係數(shù)是1，則如果兩檔股票報(bào)酬率的相關(guān)係數(shù)是1，則當(dāng)股票組合是由三檔股票組成兩項(xiàng)資產(chǎn)報(bào)酬率相關(guān)係數(shù)、權(quán)重與投資組合預(yù)期報(bào)酬與變異數(shù)關(guān)係1/2

現(xiàn)在用圖說明兩項(xiàng)資產(chǎn)報(bào)酬率相關(guān)係數(shù)()、權(quán)重(w)與投資組合預(yù)期報(bào)酬(E(R))與變異數(shù)(2)的關(guān)係。假設(shè)投資組合只投資兩項(xiàng)資產(chǎn)，透過不同的兩項(xiàng)資產(chǎn)相關(guān)係數(shù)，我們可以了解投資組合的預(yù)期報(bào)酬率與風(fēng)險(xiǎn)的分布對應(yīng)情況。兩項(xiàng)資產(chǎn)報(bào)酬率相關(guān)係數(shù)、權(quán)重與投資組合預(yù)期報(bào)酬與變異數(shù)關(guān)係2/2

當(dāng)兩項(xiàng)資產(chǎn)(如兩檔股票)報(bào)酬率之間的相關(guān)係數(shù)是+1當(dāng)兩項(xiàng)資產(chǎn)報(bào)酬率之間的相關(guān)係數(shù)是介於+1與1之間當(dāng)兩項(xiàng)資產(chǎn)報(bào)酬率之間的相關(guān)係數(shù)是1時(shí)當(dāng)兩項(xiàng)資產(chǎn)報(bào)酬率之間的相關(guān)係數(shù)是+1時(shí)，在(預(yù)期報(bào)酬率，變異數(shù))的平面上，A與B點(diǎn)剛好是在一條AB線段的頭尾兩端。假設(shè)A與B代表兩檔股票，在AB線段上AB之間的其它點(diǎn)，就是代表不同的A與B兩檔股票的組合；A點(diǎn)代表100%投資A股，B點(diǎn)代表100%投資B股，中間的點(diǎn)代表權(quán)重wA與wB都是小於100%，都是AB的線性組合。假設(shè)有一個(gè)K點(diǎn)在AB之間，則當(dāng)相關(guān)係數(shù)是介於+1與1之間時(shí)，A與B形成的組合在(預(yù)期報(bào)酬率，變異數(shù))平面上就形成往y軸靠攏的曲線，但是還不會(huì)碰觸到y(tǒng)軸。當(dāng)相關(guān)係數(shù)是1時(shí)，不同AB權(quán)重的組合由A點(diǎn)開始往y軸靠近，會(huì)碰觸到y(tǒng)軸(L點(diǎn))再折回來，往B點(diǎn)靠近。這個(gè)L點(diǎn)就是由AB組成的組合裏，風(fēng)險(xiǎn)最小的組合，但是預(yù)期報(bào)酬率並不是最小的。風(fēng)險(xiǎn)最高，預(yù)期報(bào)酬率也是最高的AB組合就在A點(diǎn)(wA

=100%,wB

=0%)，也就是百分之百由A資產(chǎn)組成。B點(diǎn)雖然不是風(fēng)險(xiǎn)最低的組合，但是預(yù)期報(bào)酬率卻是最低的。所以，AL下方的AB組合，即LB上的任何一點(diǎn)都不是好的組合，因?yàn)閷?yīng)LB的任何一點(diǎn)，我們都可以在AL上找到一點(diǎn)，風(fēng)險(xiǎn)一樣，預(yù)期報(bào)酬率卻較高。L點(diǎn)組合所含A與B證券的權(quán)重(即wA,wB)各是多少？如果AB

=1，如果wAA=wB

B，此值當(dāng)然可能為0！當(dāng)AB

不一定是1時(shí)，如何讓最小化可以令wA+wB=1，所以wB=1wA，所以以wA對上式微分，並令一次微分方程式為0，即得下列等式。圖5-2兩項(xiàng)資產(chǎn)報(bào)酬率之間的相關(guān)係數(shù)是+1圖5-3兩項(xiàng)資產(chǎn)之間的相關(guān)係數(shù)是介於+1與1之間圖5-4兩項(xiàng)資產(chǎn)報(bào)酬率之間的相關(guān)係數(shù)是1預(yù)期報(bào)酬率／變異數(shù)效率

組合分析1/2假設(shè)證券報(bào)酬率的分布符合統(tǒng)計(jì)學(xué)上的常態(tài)分配，亦即證券報(bào)酬率的分布特性用平均數(shù)與變異數(shù)即足以表達(dá)。在這樣的情況下，馬可維茲博士首先提出論點(diǎn)，投資人的投資組合決策在(預(yù)期報(bào)酬率／變異數(shù))的平面空間就可以決定。預(yù)期報(bào)酬率／變異數(shù)效率

組合分析2/2也就是說，投資人只要計(jì)算各證券之平均報(bào)酬率與標(biāo)準(zhǔn)差，以及證券間之共變數(shù)或相關(guān)係數(shù)，就可以形成在各種風(fēng)險(xiǎn)下的最佳組合，或是在各種預(yù)期報(bào)酬率下最低風(fēng)險(xiǎn)的組合。在特定預(yù)期報(bào)酬率E(R)=12%之下，找到變異數(shù)最小的組合M，就在效率前緣上。投資人可以依據(jù)自己的無異曲線，或自己風(fēng)險(xiǎn)偏好，找到最適合自己的組合。圖5-5效率前緣圖5-6效率前緣與無異曲線系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)與非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)1/2資產(chǎn)投資的總風(fēng)險(xiǎn)包括系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)與非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)。系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)(systematicrisk)：係指絕大部分風(fēng)險(xiǎn)性資產(chǎn)都面臨的風(fēng)險(xiǎn)，例如世界大戰(zhàn)如果發(fā)生，幾乎所有風(fēng)險(xiǎn)性資產(chǎn)價(jià)格都會(huì)下跌。非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)(unsystematicrisk)：一般是指個(gè)別產(chǎn)業(yè)或公司所單獨(dú)面臨的風(fēng)險(xiǎn)，而其他公司或產(chǎn)業(yè)較不會(huì)受此因素影響。系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)與非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)2/2隨機(jī)分散投資到20或25檔不同的股票，降低非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)到最低點(diǎn)圖5-7說明股票投資組合總風(fēng)險(xiǎn)、系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)與非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)與隨機(jī)投資之股票檔數(shù)之關(guān)係。系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)之分散與降低1/2一般人往往會(huì)誤會(huì)以下的敘述是正確的：「系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)是不可分散的，所以投資組合無法降低系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)」。事實(shí)上，只有當(dāng)投資人的投資組合是有風(fēng)險(xiǎn)性時(shí)，或一直要維持風(fēng)險(xiǎn)性時(shí)，才有系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)這個(gè)問題；如果投資人將投資組合資金全部改投資無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，那麼這個(gè)投資組合自然無風(fēng)險(xiǎn)可言。系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)之分散與降低2/2但是投資人也別忘了，無系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的投資組合，它的預(yù)期報(bào)酬率一定是最低的。同樣的道理，投資組合的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)是可以降低的。投資組合的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)是可以機(jī)動(dòng)調(diào)整的，只要在原有的投資組合內(nèi)加入比原有投資組合值低的股票(資產(chǎn))，甚或無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，如定存，都可以使新投資組合的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)(值)降低。圖5-7總風(fēng)險(xiǎn)、系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)與非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)與隨機(jī)投資之股票檔數(shù)之關(guān)係衡量組合內(nèi)

單一證券之相對風(fēng)險(xiǎn)1/3投資組合的總風(fēng)險(xiǎn)可以列示如下：Radcliffe(1997)指出，如果我們將投資組合總風(fēng)險(xiǎn)看成是個(gè)別證券總風(fēng)險(xiǎn)的加權(quán)平均，則 這裡的個(gè)別證券i

總風(fēng)險(xiǎn)是以其與投資組合的共變異數(shù)來衡量，即COV(R