勾股定理的逆定理(四)

勾股定理的逆定理

三、引入一般地說，在平面幾何中，經(jīng)常是利用直線間的位置關(guān)系，角的數(shù)量關(guān)系而判定直角的；而勾股定理的逆定理則是通過邊的計算判定直角的.三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系a2＋b2＝c2，則這個三角形是直角三角形；如果a2＋b2≠c2，則這個三角形不是直角三角形.例1試判斷：三邊長分別為2n2＋2n，2n＋1，2n2＋2n＋1(n＞0)的三角形是否直角三角形.四、新課【分析】先找到最大邊，再驗證三邊是否符合勾股定理的逆定理.【解】∵2n2＋2n＋1＞2n2＋2n，

2n2＋2n＋1＞2n＋1，∴2n2＋2n＋1為三角形中的最大邊.又(2n2＋2n＋1)2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，

(2n＋1)2＋(2n2＋2n)2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，∴(2n2＋2n＋1)2＝(2n＋1)2＋(2n2＋2n)2.

根據(jù)勾股定理的逆定理可知，此三角形為直角三角形.例2已知△ABC中，AC＝2，BC＝2，

AB＝4，求AB上的高CD的長.【分析】如果我們不能發(fā)現(xiàn)三邊間的數(shù)量關(guān)系，求解就是十分困難的事．但是如果發(fā)現(xiàn)三邊的關(guān)系，應(yīng)用勾股定理的逆定理問題就迎刃而解了。四、新課例2已知△ABC中，AC＝2，BC＝2，

AB＝4，求AB上的高CD的長.四、新課【解】由于所以△ABC是以∠C為直角的三角形．于是AB·CD＝BC·AC，例3已知：如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，

AD＝13，CD＝12.求：四邊形ABCD的面積.

【分析】所給四邊形是不規(guī)則圖形，無面積公式，需轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形計算.又知∠ABC＝90°，且四條邊長已知，不妨連結(jié)AC，構(gòu)成兩個三角形，分別求面積.四、新課

3

4

12

13

A

B

C

D

例3已知：如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，

AD＝13，CD＝12.求：四邊形ABCD的面積.

四、新課

3

412

13

A

B

C

D

∴S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝36.【解】連結(jié)AC．在△ABC中，∠B＝90°，

AB＝4，BC＝3，∴AC＝

＝5.

在△ACD中，AC＝5，CD＝12，AD＝13∵AC2＋CD2＝25＋144＝169，

AD2＝132＝169，∴AC2＋CD2＝AD2.∴△ACD是直角三角形.∴S△ABC＝AB·BC＝×3×4＝6，

S△ACD＝AC·CD＝×5×12＝30.四、新課例4已知：如圖，正方形ABCD中，F(xiàn)為DC

中點，E為BC上一點，且EC＝BC.

求證：∠EFA＝90°.FDCEAB【證明】設(shè)正方形ABCD的邊長為4a，

則EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在Rt△ABE中，由勾股定理得AE

2＝AB2＋BE2＝(4a)2＋(3a)2＝25a2.在Rt△ADF中，由勾股定理得AF

2＝AD2＋DF2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2.在Rt△ECF中，由勾股定理得

EF

2＝EC2＋CF2＝a2＋(2a)2＝5a2.∴AF2＋EF2＝AE

2.∴由勾股定理的逆定理可知，∠EFA＝90°.(一)選擇題：

練習(xí)

1．在已知下列三組長度的線段中，不能構(gòu)成直角三角形的是()(A)5、12、13(B)2、3、

(C)4、7、5

(D)1、、C(一)選擇題：

練習(xí)

2．下列命題中，假命題是()(A)三個角的度數(shù)之比為1:3:4的三角形是直角三角形(B)三個角的度數(shù)之比為1::2的三角形是直角三角形(C)三邊長度之比為1::2的三角形是直角三角形(D)三邊長度之比為::2的三角形是直角三角形B(二)解答題：

1．已知：a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2(m、n為正整數(shù)，m＞n).

試判定由a、b、c組成的三角形是不是直角三角形．不是練習(xí)

(二)解答題：

練習(xí)

2．五邊形ABCDE的各邊的長都是12，∠A＝∠E＝90°，M為五邊形內(nèi)一點，且MA＝13，MB＝5，

求ME、MC、MD的長．MD=7