第二節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值

第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用考綱要求1．理解函數(shù)的單調(diào)性以及幾何意義．2．會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)．3．會求一些簡單函數(shù)的值域．4．理解函數(shù)的最大值、最小值以及幾何意義.課前自修知識梳理一、函數(shù)單調(diào)性的定義1．對于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上自變量的任意兩個值x1，x2：(1)若x1<x2時，都有____________，則稱f(x)在這個區(qū)間D上是增函數(shù)；(2)若x1<x2時，都有___________，則稱f(x)在這個區(qū)間D上是減函數(shù)．2．若函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間是______________，則稱函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)y＝f(x)的_________．此時也稱函數(shù)f(x)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)．f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)增函數(shù)或減函數(shù)單調(diào)區(qū)間二、證明函數(shù)單調(diào)性的一般方法1．定義法．用定義法判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是：(1)設(shè)x1，x2_________________________，且x1<x2；(2)作差__________；(3)將差式變形(要注意變形的程度，一般結(jié)果要分解為若干個因式的乘積，且每一個因式的正或負能清楚地判斷出)；(4)判斷__________________(要注意說理的充分性)；(5)根據(jù)f(x1)－f(x2)的符號確定其增減性，即下結(jié)論．概括為：取值—作差—變形—定號—下結(jié)論．是給定區(qū)間內(nèi)的任意兩個值f(x1)－f(x2)f(x1)－f(x2)的正負2．導(dǎo)數(shù)法．設(shè)f(x)在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，若f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，總有f′(x)>0(f′(x)<0)，則f(x)在區(qū)間(a，b)上為增函數(shù)(減函數(shù))；反之，若f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)為增函數(shù)(減函數(shù))，則f′(x)≥0(f′(x)≤0)．請注意兩者的區(qū)別所在．三、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法定義法、導(dǎo)數(shù)法、圖象法．四、復(fù)合函數(shù)及其單調(diào)性1．復(fù)合函數(shù)．設(shè)y＝f(u)，u∈B，u＝g(x)，x∈A，通過變量u，得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的________，記作__________．其中y＝f(u)叫做外函數(shù)，u＝g(x)叫做內(nèi)函數(shù)，u稱為中間變量，它的取值范圍是g(x)的值域的子集．復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]2．復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)性規(guī)律．對于函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果u＝g(x)在區(qū)間(a，b)上具有單調(diào)性，當x∈(a，b)時，u∈(m，n)，且y＝f(u)在區(qū)間(m，n)上也具有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]在區(qū)間(a，b)具有單調(diào)性的規(guī)律見下表：以上規(guī)律還可總結(jié)為：“同增異減”．y＝f(u)增

↗減

↘u＝g(x)增

↗減

↘增

↗減

↘y＝f[g(x)]增

↗減

↘減

↘增

↗五、函數(shù)的最大值、最小值一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為A，如果?M∈R，滿足：(1)對?x∈A，恒有f(x)≤M(或f(x)≥M)；(2)?x0∈A，使得f(x0)＝M，則稱M是函數(shù)y＝f(x)的____________________．六、求函數(shù)值域(最值)的各種方法因為函數(shù)的值域是由其對應(yīng)法則和定義域共同決定的，故其類型依解析式的特點可分為三類：(1)求常見函數(shù)的值域；(2)求由常見函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域；(3)求由常見函數(shù)作某些“運算”而得函數(shù)的值域．無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須首先考慮函數(shù)的定義域．具體的方法有：①直接法；②配方法；③分離常數(shù)法；④換元法；⑤三角函數(shù)有界法；⑥基本不等式法；⑦單調(diào)性法；⑧數(shù)形結(jié)合法；⑨導(dǎo)數(shù)法(對于具體函數(shù)幾乎都可以用導(dǎo)數(shù)法去解決)．最大值(或最小值)基礎(chǔ)自測1．函數(shù)f(x)＝1－在[3,4)上 (

) A．有最小值無最大值

B．有最大值無最小值

C．既有最大值又有最小值

D．最大值和最小值皆不存在解析：函數(shù)f(x)在[3,4)上是增函數(shù)，又函數(shù)定義域中含有3而沒有4，所以該函數(shù)有最小值無最大值．故選A.答案：AB3．(2011·陽江市模擬)函數(shù)y＝3x－2，x∈{－1,1,2}的值域是______．解析：該函數(shù)的定義域已給定為{－1,1,2}，易知其值域為{－5,1,4}．答案：{－5,1,4}4．(2012·溫州市第一次適應(yīng)性測試)一個矩形的周長為l，面積為S，給出：①(4,1)，②(8,6)，③(10,8)，④.其中可作為(l，S)取得的實數(shù)對的序號是____________.考點探究考點一函數(shù)單調(diào)性的討論與證明【例1】

討論函數(shù)f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的單調(diào)性．自主解答：點評：本題用的是定義法，注意按定義法的步驟進行：取值—作差—變形—定號—下結(jié)論．變式探究1．判斷并證明函數(shù)f(x)＝x3＋a(a∈R，a是常數(shù))的單調(diào)性．考點二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間變式探究考點三求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例3】

求函數(shù)y＝log(x2－2x－3)的單調(diào)區(qū)間，并用單調(diào)定義給予證明．解析：

由x2－2x－3>0?x>3或x<－1，所以函數(shù)的定義域為(－∞，－1)∪(3，＋∞)．因為外函數(shù)y＝logu在(0，＋∞)上遞減，內(nèi)函數(shù)u＝x2－2x－3在(－∞，－1)上遞減，在(3，＋∞)上遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律“同增異減”知，函數(shù)y＝log(x2－2x－3)的單調(diào)遞減區(qū)間是(3，＋∞)，單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－1)．現(xiàn)用單調(diào)定義證明如下：變式探究3．函數(shù)f(x)(x∈R)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝f(logax)(0<a<1)的單調(diào)遞減區(qū)間是 (

)考點四求函數(shù)的值域點評：本例通過求七個不同類型的函數(shù)的值域，較全面地復(fù)習了求函數(shù)值域的常用方法，如觀察法、配方法、圖象法、換元法、不等式法、三角代換法、導(dǎo)數(shù)法等，有的題可以用多種方法求解，有的題用某種方法求解比較簡捷，同學(xué)們要通過不斷實踐，熟悉和掌握各種解法，并在解題中盡量采用簡捷解法．變式探究4．已知函數(shù)f(x)＝(x∈R且x≠2)．

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)g(x)＝x2－2ax與函數(shù)f(x)在x∈[0,1]上有相同的值域，求a的值.考點五求函數(shù)的最值(2)(法一)在區(qū)間[1，＋∞)上，f(x)＝>0恒成立?x2＋2x＋a>0恒成立．設(shè)y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)．∵y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)內(nèi)遞增，∴當x＝1時，ymin＝3＋a，當且僅當ymin＝3＋a>0時，函數(shù)f(x)>0恒成立，∴a>－3.(法二)f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)．當a≥0時，函數(shù)f(x)的值恒為正；當a<0時，函數(shù)f(x)遞增，故當x＝1時，f(x)min＝3＋a，當且僅當f(x)min＝3＋a>0時，函數(shù)f(x)>0恒成立，故a>－3.變式探究課時升華1．在討論函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間時應(yīng)注意：(1)先求定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集．(2)在多個單調(diào)區(qū)間之間不一定能添加符號“∪”和“或”．(3)單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示．(4)要注意函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用(如比較大小，解不等式，求參數(shù)范圍)．2．確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法與技巧．(1)在解答題中常用定義法、導(dǎo)數(shù)法．(2)在選擇題和填空題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等，特別要注意y＝ax＋(a>0，b>0)型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運用：增區(qū)間為(－∞，－]，[，＋∞)，減區(qū)間為[－，0)，(0,].3．一些有用的結(jié)論．在公共定義域內(nèi)：(1)增函數(shù)f(x)＋增函數(shù)g(x)是增函數(shù)；(2)減函數(shù)f(x)＋減函數(shù)g(x)是減函數(shù)；(3)增函數(shù)f(x)－減函數(shù)g(x)是增函數(shù)；(4)減函數(shù)f(x)－增函數(shù)g(x)是減函數(shù)．4．求函數(shù)值域(最值)的各種方法．(1)直接法：利用常見函數(shù)的值域來求．①一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)的定義域為R，值域為R；②反比例函數(shù)y＝(k≠0)的定義域為{x|x≠0}，值域為{y|y≠0}；(3)導(dǎo)數(shù)法：就是利用導(dǎo)數(shù)這一工具來求函數(shù)的值域，幾乎所有具體函數(shù)都可以用導(dǎo)數(shù)法來求值域(或最值)．(4)換元法：通過換元把一個較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮?shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型．注意：利用換元法求值域與最值時，必須注意換元后要轉(zhuǎn)變變量的取值范圍，因為定義域是值域的基礎(chǔ)．(5)函數(shù)有界性法：直接求函數(shù)的值域較困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性來確定所求函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性(如正、余弦函數(shù)均為有界函數(shù)，即|sinx|≤1，|cos

x|≤1)．(9)不等式法：利用基本不等式a＋b≥2(a，b∈R＋)求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積的形式時要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧．注意：利用均值不等式求值域與最值時，必須保證“一正，二定，三相等”，特別是等號成立的條件容易被忽視．求函數(shù)的定義域、值域時，要按要求寫成集合形式或區(qū)間形式．5．求最值時應(yīng)注意的問題．(1)求函數(shù)最值的方法，實質(zhì)上與求函數(shù)值域的方法類似，只是答題方式有差異．(2)無論用何種方法求最值，都要考慮“＝”能否成立．注意：函數(shù)的值域與函數(shù)的最值從概念上看是不同的，函數(shù)值域的邊界值并非是函數(shù)的最值；寫函數(shù)值域時要注意其邊界值(最值)是否能夠取到，取到用閉區(qū)間，取不到則用開區(qū)間；函數(shù)值域的幾何意義是對應(yīng)函數(shù)圖象上縱坐標的變化范圍，故有時可結(jié)合函數(shù)圖象分析值域．同時要注意函數(shù)圖象的端點值是否能夠取到，其圖象上是實心點還是空心點，作圖要準確．感悟高考品味高考解析：函數(shù)y＝ln(x＋2)在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)；函數(shù)y＝－在區(qū)間(0，＋∞)上為減函數(shù)；函數(shù)y＝x在區(qū)間(0，＋∞)上為減函數(shù)；函數(shù)y＝x＋在區(qū)間(0，＋∞)上為先減后增函數(shù)．故選A.答案：A2．(2012·山東卷)設(shè)a>0且a≠1，則“函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數(shù)”的(

) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：若函數(shù)f(x)＝ax在R上為減函數(shù)，則有0<a<1.函數(shù)g(x)＝(2－a)x3為增函數(shù)，則有2－a>0，所以a<2，所以“函數(shù)f(x)＝ax在R上為減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3為增函數(shù)”的充分不必要條件．故選A.答案：A高考預(yù)測解析：設(shè)f1(