數(shù)學建模-概率模型

概率模型一、概率論的誕生及應用二、常染色體遺傳模型三、隨機決策模型四、允許缺貨的存儲模型

1654年,一個名叫梅累的騎士就“兩個賭徒約定賭若干局,且誰先贏

c局便算贏家,若在一賭徒勝

a局

(a<c),另一賭徒勝b局(b<c)時便終止賭博,問應如何分賭本”為題求教于帕斯卡,帕斯卡與費馬通信討論這一問題,于1654年共同建立了概率論的第一個基本概念數(shù)學期望.（一）概率論的誕生及應用1.概率論的誕生2.概率論的應用

概率論是數(shù)學的一個分支，它研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律.概率論的應用幾乎遍及所有的科學領域，例如天氣預報、地震預報、產(chǎn)品的抽樣調(diào)查，在通訊工程中概率論可用以提高信號的抗干擾性、分辨率等等.在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.

“太陽不會從西邊升起”,確定性現(xiàn)象

“水從高處流向低處”,實例自然界所觀察到的現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象隨機現(xiàn)象確定性現(xiàn)象的特征

條件完全決定結(jié)果在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象.實例1

在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察正反兩面出現(xiàn)的情況.

隨機現(xiàn)象結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.實例2

明天的天氣可能是晴

,也可能是多云或雨.特征:條件不能完全決定結(jié)果2.隨機現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性,但在大量試驗或觀察中,這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性

,概率論就是研究隨機現(xiàn)象這種本質(zhì)規(guī)律的一門數(shù)學學科.隨機現(xiàn)象是通過隨機試驗來研究的.問題什么是隨機試驗?如何來研究隨機現(xiàn)象?說明1.隨機現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系

,其數(shù)量關系無法用函數(shù)加以描述.1.可以在相同的條件下重復地進行;2.每次試驗的可能結(jié)果不止一個,并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果;3.進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).

在概率論中,把具有以下三個特征的試驗稱為隨機試驗.定義

1933年，蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu)，給出了概率的嚴格定義，使概率論有了迅速的發(fā)展.3、概率的定義Andrey

NikolaevichKolmogorov1903.4--1987.101）等可能概型(古典概型)定義

設試驗E的樣本空間由n個樣本點構(gòu)成，A為E的任意一個事件，且包含m個樣本點，則事件A出現(xiàn)的概率記為:

古典概型的基本模型:摸球模型(1)無放回地摸球(2)有放回地摸球例1

某接待站在某一周曾接待過12次來訪,已知所有這12次接待都是在周二和周四進行的,問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的.

假設接待站的接待時間沒有規(guī)定,且各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日12341277777

故一周內(nèi)接待12次來訪共有小概率事件在實際中幾乎是不可能發(fā)生的,從而可知接待時間是有規(guī)定的.周一周二周三周四周五周六周日周二周四1234122222212次接待都是在周二和周四進行的共有故12次接待都是在周二和周四進行的概率為例2

假設每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于1/365,求64個人中至少有2人生日相同的概率.64個人生日各不相同的概率為故64個人中至少有2人生日相同的概率為解說明我們利用軟件包進行數(shù)值計算.確定性因素和隨機性因素隨機因素可以忽略隨機因素影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)隨機因素影響必須考慮概率模型統(tǒng)計回歸模型馬氏鏈模型隨機模型確定性模型隨機性模型(二)常染色體遺傳模型1.常染色體遺傳是指后代從每個親體的基因中各繼承一個基因從而形成自己的基因型。說明2.假設遺傳基因是由兩個基因A和B控制的，則有三種可能基因型：AA、AB和BB。例如：金魚草是由兩個基因決定它開花的顏色，AA型開紅花，AB型開粉花，而BB型開白花。這里AA型和AB型表示了同一外部特征，此時可以認為基因A支配了基因B，也可以說基因B對基因A是隱性的。3.當一個親體的基因型為AB，另一個親體的基因型為BB時，那么后代可以從基因型BB中得到基因B，從基因型AB中得到A或B，且等可能的得到。問題的提出

某植物園中的一種植物的基因型為AA、AB和BB，現(xiàn)采用AA型植物與每一種基因植物相結(jié)合的方案培育后代。試組建數(shù)學模型進行預測，若干年后，這種植物的任一代的三種基因型的分布情況。模型假設1)按說明3，后代從上一代親體中繼承基因A或B是等可能的，則可計算得到雙親體基因型的所有可能結(jié)合，是其后代形成每種基因型的概率分布情況如下表：下一代的基因型(n代)上一代父母的基因型(n-1代)

AA--AAAA--ABAA--BBAB--AB

AB--BBBB--BBAA11/201/400AB01/211/21/20BB0001/41/21

：第n代植物中基因型為AA的植物總數(shù)的百分率；

：第n代植物中基因型為AB的植物總數(shù)的百分率；

：第n代植物中基因型為BB的植物總數(shù)的百分率；

：第n代植物中基因型的分布率；即有則特別當n=0時，稱為植物基因型的初始分布率。模型建立

首先考慮第n代中的AA型，按前表所給數(shù)據(jù)，第n代AA型所占百分率為同理，可得第n代的AB和BB型所占百分率，并聯(lián)立三式得：用矩陣形式表示，可得：簡潔地表示為：其中由上式遞推，可得第n代基因型分布的數(shù)學模型問題轉(zhuǎn)化為了對的求解，設法將M轉(zhuǎn)化為對角陣模型求解將M對角化，就是求可逆矩陣P，使則，即其中Λ為對角陣，其對角元素為M的特征值，P為M的特征值所對應的特征向量。得M的特征值為解方程組將分別代入方程組求解，分別得到三個特征向量為：解行列式以三個特征值為對角元素構(gòu)成對角陣Λ，以三個特征向量為列構(gòu)成可逆陣P，即：又，于是得到從而或?qū)懗赡Ｐ头治?1)由上式可見，當n∞時，有即當繁殖后代數(shù)目很大時，所培育出的植物基本上呈現(xiàn)的是AA型，AB型極少，BB型根本就不存在。(2)本例基本思路用到了概率論中的知識，而在求解過程中則巧妙的利用了矩陣來表示概率分布。作業(yè)選用AB型或BB型植物與每一個其它基因型植物相結(jié)合從而給出類似的結(jié)果

(三)隨機決策模型

決策問題是人們在政治、軍事、社會、經(jīng)濟以及我們的日常生活、學習中經(jīng)常會碰到的問題。例如：在有多余資金時，應如何支配資金，就需要我們對以下方案作出決策：方案一：存入銀行，保險又增值，但相對收入低一些；方案二：投資房地產(chǎn)，買股票，買期貨等這些方案，帶有較大的風險性，但相對收入比存入銀行高的多。決策問題分類：

確定性決策

不確定性決策

風險性決策(主要研究問題)

主要介紹：1.風險決策模型的概念

2.風險決策模型的求解方法3.例題分析有關概念風險決策是指在作出決策時往往有某些隨機性的因素影響，而決策者對這些因素的了解不足，但是對各種因素發(fā)生的概率已知或可估算出來，這種決策因存在一定的風險而稱為風險型決策。2.基本要素：(1)決策者(2)方案或策略(3)準則：衡量所選方案正確性的標準。一般以期望的效益值為準則，即根據(jù)每個方案的數(shù)學期望值作出判斷。(概率論的有關知識)(4)事件或狀態(tài)：不為決策者所控制的客觀存在的且將發(fā)生的自然狀態(tài)(5)結(jié)果：事件發(fā)生帶來的收益或損失值。3.解決方法

決策樹法：利用樹形圖法表示決策過程。解決方法例1：某漁船對下個月是否出海打魚作出決策，若出海后是好天，則可獲益5000元；若出海后天氣變壞，將損失2000元；若不出海，無論天氣好壞，都承擔1000元損失。根據(jù)預測，下個月好天的概率為0.6，天氣變壞的概率為0.4，應如何選擇最佳方案？？決策樹的畫法ABC決策結(jié)點狀態(tài)節(jié)點概率分支收益值或損失值策略分支由此得到例1的決策樹為ABC天氣好0.6天氣壞0.4天氣好0.6天氣好0.45000元-2000元-1000元-1000元出海不出海注意：1)決策樹是由左向右畫，畫的過程中同時將各種已知數(shù)據(jù)標于相應的位置上，這樣的樹形圖即為本題的數(shù)學模型。2)求解過程與畫決策樹順序正好相反，即由右向左進行，先計算右端的每個狀態(tài)節(jié)點的期望值模型建立2200-1000模型求解先計算出海的期望值，將出海收益作為隨機變量，相應的天氣情況的概率作為概率，則概率分布列為x5000-2000P0.60.4則數(shù)學期望EX=5000*0.6+(-2000)*0.4=2200,此為狀態(tài)結(jié)點B的數(shù)學期望值，標于B的上方。

同理將不出海的效益作為隨機變量，求出期望值為EX=(-1000)*0.6+(-1000)*0.4=-1000,標于C的上方。模型分析比較這兩個期望值，顯然出海的期望值比較大，從而剪去不出海決策枝，選擇出海作為最終決策。施工決策問題某建筑工程用正常速度施工，若以天氣正常，30天即可完工，但預測15天后天氣將轉(zhuǎn)壞，其中40%的可能為不影響施工的陰雨天；50%的可能遇到暴雨，使工期推15天；10%的可能遇到臺風，是工期推20天。面對這種情況有兩個方案可供選擇：方案(一)：提前緊急加班，在天氣變壞之前完工，但需多支付18000元的工資。方案(二)：不提前加班，15天后再做決策：(1)遇陰雨天，按時完工；(2)遇暴雨：不采取措施，需支付工程延期費20000元；采取措施，有三種可能：可能1：50%減少誤工1天，損失費24000元；可能2：30%減少誤工2天，損失費18000元；可能3：20%減少誤工3天，損失費12000元。(3)遇臺風：不采取措施，損失費50000元；采取措施，三種可能：1、70%減少誤工2天，損失費54000元；2、20%減少誤工3天，損失費46000元；3、10%減少誤工4天，損失費38000元.試對以上問題做出決策選出最佳方案。模型建立ABCEDF提前加班陰雨0.4暴雨0.5臺風0.1應急措施正常施工應急措施正常施工少1天0.5少2天0.3少3天0.2少2天0.7少3天0.2少4天0.1-180000元-24000-18000-12000-20000-54000-46000-38000-50000-50000模型求解1.一級決策狀態(tài)結(jié)點E處的數(shù)學期望為(-54000)*0.7+(-46000)*0.2+(-38000)*0.1=-50800,狀態(tài)結(jié)點F處的數(shù)學期望為(-24000)*0.5+(-18000)*0.3+(-12000)*0.2=-19800.2.二級決策狀態(tài)節(jié)點B處數(shù)學期望為-(0.4*0+19800*0.5+0.1*50000)=-14900結(jié)論：

最佳決策是不用提前加班，等15天后，若遇陰雨天或臺風都只需順其自然，按原來的速度施工，而遇到暴雨則應采取應急措施。

此決策方案支付的數(shù)學期望是14900元。作業(yè)2某公司根據(jù)市場預測值，生產(chǎn)的產(chǎn)品會有較大規(guī)模的需求量，而目前的產(chǎn)量明顯不足?，F(xiàn)行狀態(tài)是公司當前的雇員用每周40小時的正常工作時間運作著，為了提高產(chǎn)量，公司決策集團提出了兩種新的方案：1.利用現(xiàn)有雇員進行超時工作；2.增加新設備。

又市場分析專家認定：1.對產(chǎn)品需求增加15%的可能性為60%2.經(jīng)濟惡化，需求實際下降5%的可能性為40%。信息列于下表中行動下降5%（40%）增加15%(60%)保持當前水平300000340000員工超時工作300000420000增加新設備260000440000自然狀態(tài)四、隨機型存儲模型存儲問題的數(shù)學模型涉及以下的主要經(jīng)濟變量：1.需求量：某種物資在單位時間內(nèi)的需求量，以D表示，如年需求量、月需求量、日需求量。需求量有時是常量，而在許多情況下則是隨機變量，這時它的變化規(guī)律應當是能夠掌握的.對需求量進行科學地預測和估計是解決存儲問題的重要依據(jù).2.批量：為補充存儲而供應一批物資的數(shù)量稱為批量，以Q表示.由外部訂貨供應的批量稱為訂貨批量；由內(nèi)部生產(chǎn)供應的批量稱為生產(chǎn)批量.3.貨點:為補充存儲而發(fā)生訂貨時的存儲水平，以R表示.4.備運期：發(fā)生訂貨的時間與實際收到訂貨入庫的時間的間隔.5．存儲費：保管存貨的費用，包括存儲所占用資金的利息、倉庫和場地費用、物資的存儲損耗費用、物資的稅金、保險費用等，以表示.6．訂貨費：為補充存儲而訂貨所支付的費用，包括準備和發(fā)出訂貨單的費用、貨物的堆放和裝運的費用等，以K表示.7．缺貨損失費：發(fā)生需求時，存儲不能提供而引起的費用，包括利潤的損失、信譽的損失、停工待料的損失以及沒有履行交貨合同的罰款等，以表示.存儲費、訂貨費和缺貨損失費構(gòu)成了庫存的總費用，即總費用=存儲費+訂貨費+缺貨損失費.使總費用最小是建立和求解存儲模型的主要目標.

為實現(xiàn)該目標，需要確定批量和訂貨點，這就是所謂存儲決策.批量與訂貨點即決策變量.因而存儲模型的主要形式有：

總費用=（批量）或總費用=（批量，訂貨點），即F=（Q）或F=（Q，R）.為了更具體理解隨機性存儲模型，先來看一個具體實例.考察報童問題.報童每日早晨從報社以每份報紙0.30元的批發(fā)價購得當日的日報，然后以每份0.45元的零售價售出.若賣不完，則每份報紙的積壓損失費為0.30元；若不夠賣，則缺一份報紙造成潛在損失的缺貨損失費為0.15元.該報童對以往的銷量作了連續(xù)一個月的統(tǒng)計，其記錄如表日需求量D120130140150160頻率P（D）0.150.20.30.250.1那么，報童每日應訂多少份報紙，才能使總損失費最??？數(shù)學期望離散型隨機變量X的概率分布為則隨機變量X的數(shù)學期望值為連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為則隨機變量X的數(shù)學期望值為期望值反映了隨機變量取值的“平均”意義?。ㄋ模┰试S缺貨的存儲模型一、問題的提出在商店里，若存儲商品數(shù)量不足，會發(fā)生缺貨現(xiàn)象，就失去銷售機會而減少利潤；如果存量過多，一時售不出去，會造成商品積壓，占用流動資金過多且周轉(zhuǎn)不開，這樣也要造成經(jīng)濟損失．那么如何制定最優(yōu)存儲策略呢？這就面臨著市場需求的隨機性問題，試建立數(shù)學型，制定最優(yōu)存儲策略．二、模型假設

允許缺貨，缺貨費為C2需求是連續(xù)的、均勻的,需求速度R為常數(shù)，時間t的需求量Rt

每次定貨量不變，定貨費C3

不變單位存儲費不變,記為C1

存儲量與時間關系圖QTOS

三、模型建立假設最初存儲量為

可以滿足

時間段的需求

平均存儲量為

平均缺貨量為

在t時間內(nèi)所需存儲費：

訂貨費：

在t時間內(nèi)的缺貨費：

平均總費用：

求最佳存儲策略,使平均總費用最小.

四、模型求解利用多元函數(shù)求極值的方法求解

當C2很大時（不允許缺貨）

結(jié)果分析

兩次訂貨間隔時間延長

在允許缺貨的情況下訂貨量

存儲量

時間內(nèi)的缺貨量

五、模型的分析與推廣

這里的模型是在假定需求是連續(xù)均勻的，且需求速度為常數(shù).

事實上在大多實際問題中需求速度是隨機的，這樣模型的使用受到了一定的局限．

例一鞋店平均每天賣出110雙鞋，批發(fā)手續(xù)為每次200元，每雙鞋每存儲一天的費用為0.01元，問該鞋店多少天批發(fā)一次最好，進貨量為多少？最佳進貨周期（天）

進貨量

（雙）不允許缺貨例題(五)報童的訣竅問題：報童每天清晨從報社購進報紙零售，晚上將沒有賣掉的報紙退回。設報紙每份的購進價為b，零售價為a，退回價為c，假設a>b>c。即報童售出一份報紙賺a-b，退回一份賠b-c。報童每天購進報紙?zhí)?，賣不完會賠錢；購進太少，不夠賣會少掙錢。試為報童籌劃一下每天購進報紙的數(shù)量，以獲得最大收入。1.確定設計變量和目標變量2.確定目標函數(shù)的表達式每天的總收入為目標變量每天購進報紙的份數(shù)為設計變量3.尋找約束條件設計變量所受的限制問題分析尋找設計變量與目標變量之間的關系若每天購進0份，則收入為0。若每天購進1份，售出，則收入為a-b。退回，則收入為–(b-c)。若每天購進2份，售出1份，則收入為a-b–(b-c)

。退回，則收入為–2(b-c)。售出2份，則收入為2(a-b)

。收入還與每天的需求量有關，而需求量是隨機變量則收入也是隨機變量，通常用均值，即期望表示。1設每天購進n份，日平均收入為G(n)3每天需求量為r的概率f(r),r=0,1,2…2售出一份賺a-b；退回一份賠b-c模型假設與符號說明求n使G(n)最大每天的收入函數(shù)記為U(n)，則收入函數(shù)的期望值為模型建立將r視為連續(xù)變量模型求解使報童日平均收入達到最大的購進量應滿足上式。因為售完的概率因為當購進份報紙時，是需求量不超過的概率是需求量超過的概率售不完的概率上式意義為：購進的份數(shù)之比，恰好等于賣出一份賺的錢與退回一份賠的錢之比。應該使賣不完與賣完的概率根據(jù)需求量的概率密度的圖形可以確定購進量在圖中用分別表示曲線下的兩塊面積，則Onr當報童與報社簽訂的合同使報童每份賺錢與賠錢之比越大時，報童購進的份數(shù)就應該越多。結(jié)論求解的幾何意義利用上述模型計算，若每份報紙的購進價為0.75元，售出價為1元，退回價為0.6元，需求量服從均值500份，均方差50份的正態(tài)分布，報童每天應購進多少份報紙才能使平均收入最高，最高收入是多少？舉例查概率積分表得（六）隨機人口模型背景

一個人的出生和死亡是隨機事件一個國家或地區(qū)平均生育率平均死亡率確定性模型一個家族或村落出生概率死亡概率隨機性模型對象X(