2023年高考數學全國卷1答案與解析

PAGEPAGE112023年理科數學全國卷Ⅰ答案與解析一、選擇題共12小題。每題5分，共60分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的一項。1.集合，那么 ( )A.A∩B=B.A∪B=RC.B?A D.A?B考點：集合的運算解析：A=(-,0)∪(2,+),∴A∪B=R.答案：B2.假設復數滿足，那么的虛部為 ( )A.B.C.4D.考點：復數的運算解析：由題知===，故z的虛部為.答案：D3.為了解某地區(qū)的中小學生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學生中抽取局部學生進行調查，事先已了解到該地區(qū)小學.初中.高中三個學段學生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是 ( )A.簡單隨機抽樣 B.按性別分層抽樣 C.按學段分層抽樣 D.系統(tǒng)抽樣考點：抽樣的方法解析：因該地區(qū)小學.初中.高中三個學段學生的視力情況有較大差異，故最合理的抽樣方法是按學段分層抽樣.答案：C4.雙曲線：〔〕的離心率為，那么的漸近線方程為A.B.C.D.考點：雙曲線的性質解析：由題知，，即==，∴=，∴=，∴的漸近線方程為.答案：C5.運行如下程序框圖，如果輸入的，那么輸出s屬于A.B.C.D.考點：程序框圖解析：有題意知，當時，，當時，，∴輸出s屬于[-3,4].答案：A6.如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，那么球的體積為()A. B.C.D.考點：球的體積的求法解析：設球的半徑為R，那么由題知球被正方體上面截得圓的半徑為4，球心到截面圓的距離為R-2，那么，解得R=5，∴球的體積為.答案：A7.設等差數列的前項和為，那么()A.3B.4 C考點：等差數列解析：有題意知==0，∴=－=－〔-〕=－2，=-=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5.答案：C8.某幾何體的三視圖如下列圖，那么該幾何體的體積為A．B．C．D．考點：三視圖解析：由三視圖知，該幾何體為放到的半個圓柱底面半徑為2高為4，上邊放一個長為4寬為2高為2長方體，故其體積為=.答案：A9.設為正整數，展開式的二項式系數的最大值為，展開式的二項式系數的最大值為，假設，那么()A.5B.6 考點：二項式的展開式解析：由題知=，=，∴13=7，即=，解得=6.答案：B10.橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點。假設的中點坐標為，那么的方程為( )A. B. C. D.考點：橢圓的概念與性質解析：設，那么=2，=－2，①②①－②得，∴===，又==，∴=，又9==，解得=9，=18，∴橢圓方程為.答案：D11.函數，假設||≥，那么的取值范圍是A．B．C．D．考點：解不等式組，對數函數解析：∵||=，∴由||≥得，且，由可得，那么≥-2，排除Ａ，Ｂ，當=1時，易證對恒成立，故=1不適合，排除C.答案：D12.設的三邊長分別為，的面積為，，假設，，那么( )A.{Sn}為遞減數列B.{Sn}為遞增數列C.{S2n－1}為遞增數列，{S2n}為遞減數列 D.{S2n－1}為遞減數列，{S2n}為遞增數列考點：的求法解析：略答案：B二．填空題：本大題共四小題，每題5分。13.兩個單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b，假設b·c=0，那么t=_____.考點：向量的數量積解析：=====0，解得=.答案：=14.假設數列{}的前n項和為Sn＝，那么數列{}的通項公式是=______.考點：等比數列解析：當=1時，==，解得=1，當≥2時，==－()=，即=，∴{}是首項為1，公比為－2的等比數列，∴=.答案：=15.設當時，函數取得最大值，那么______考點：求三角函數的最值解析：∵==令=，，那么==，當=，即=時，取最大值，此時=，∴===.答案：===16.假設函數=的圖像關于直線對稱，那么的最大值是______.考點：圖像的性質解析：由圖像關于直線=－2對稱，那么0==，0==，解得=8，=15，∴=，∴===當∈(－∞,)∪(－2,)時，＞0，當∈(,－2)∪(,+∞)時，＜0，∴在〔－∞，〕單調遞增，在〔，－2〕單調遞減，在〔－2，〕單調遞增，在〔，+∞〕單調遞減，故當=和=時取極大值，==16.答案：16三.解答題：解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.〔本小題總分值12分〕如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=eq\r(3)，BC=1，P為△ABC內一點，∠BPC＝90°(1)假設PB=eq\f(1,2)，求PA；(2)假設∠APB＝150°，求tan∠PBA考點：余弦定理，正弦定理解析：〔Ⅰ〕由得，∠PBC=，∴∠PBA=30o，在△PBA中，由余弦定理得==，∴PA=；，〔Ⅱ〕設∠PBA=，由得，PB=，在△PBA中，由正弦定理得，，化簡得，，∴=，∴=.18.〔本小題總分值12分〕如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1〔Ⅰ〕證明AB⊥A1C〔Ⅱ〕假設平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直線A1C與平面BB1C1C考點：線與線垂直證明，線與面所成角的求法解析：〔Ⅰ〕取AB中點E，連結CE，，，∵AB=，=，∴是正三角形，∴⊥AB，∵CA=CB，∴CE⊥AB，∵=E，∴AB⊥面，∴AB⊥；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知EC⊥AB，⊥AB，又∵面ABC⊥面，面ABC∩面=AB，∴EC⊥面，∴EC⊥，∴EA，EC，兩兩相互垂直，以E為坐標原點，的方向為軸正方向，||為單位長度，建立如下列圖空間直角坐標系，有題設知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(－1,0,0),那么=〔1,0，〕,==(－1,0,),=(0,－,),……9分設=是平面的法向量，那么，即，可取=〔，1，-1〕，∴=，∴直線A1C與平面BB1C1C所成角的19.〔本小題總分值12分〕一批產品需要進行質量檢驗，檢驗方案是：先從這批產品中任取4件作檢驗，這4件產品中優(yōu)質品的件數記為n。如果n=3，再從這批產品中任取4件作檢驗，假設都為優(yōu)質品，那么這批產品通過檢驗；如果n=4，再從這批產品中任取1件作檢驗，假設為優(yōu)質品，那么這批產品通過檢驗；其他情況下，這批產品都不能通過檢驗。假設這批產品的優(yōu)質品率為50%，即取出的產品是優(yōu)質品的概率都為，且各件產品是否為優(yōu)質品相互獨立〔1〕求這批產品通過檢驗的概率；〔2〕每件產品檢驗費用為100元，凡抽取的每件產品都需要檢驗，對這批產品作質量檢驗所需的費用記為X〔單位：元〕，求X的分布列及數學期望?？键c：求事件發(fā)生的概率、期望解析：設第一次取出的4件產品中恰有3件優(yōu)質品為事件A，第一次取出的4件產品中全為優(yōu)質品為事件B,第二次取出的4件產品都是優(yōu)質品為事件C，第二次取出的1件產品是優(yōu)質品為事件D，這批產品通過檢驗為事件E，根據題意有E=(AB)∪(CD),且AB與CD互斥，∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+=.〔Ⅱ〕X的可能取值為400,500,800，并且P(X=400)=1-=，P(X=500)=，P(X=800)==，∴X的分布列為X400500800PEX=400×+500×+800×=506.2520.(本小題總分值12分)圓:,圓:,動圓與外切并且與圓內切，圓心的軌跡為曲線C.〔Ⅰ〕求C的方程；〔Ⅱ〕是與圓,圓都相切的一條直線，與曲線C交于A，B兩點，當圓P的半徑最長時，求|AB|.考點：橢圓的概念，直線與橢圓位置關系解析：由得圓的圓心為〔-1，0〕,半徑=1，圓的圓心為(1,0),半徑=3.設動圓的圓心為〔，〕，半徑為R.〔Ⅰ〕∵圓與圓外切且與圓內切，∴|PM|+|PN|===4，由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左右焦點，場半軸長為2，短半軸長為的橢圓(左頂點除外)，其方程為.〔Ⅱ〕對于曲線C上任意一點〔，〕，由于|PM|-|PN|=≤2，∴R≤2,當且僅當圓P的圓心為〔2，0〕時，R=2.∴當圓P的半徑最長時，其方程為，當的傾斜角為時，那么與軸重合，可得|AB|=.當的傾斜角不為時，由≠R知不平行軸，設與軸的交點為Q，那么=，可求得Q〔-4，0〕，∴設：，由于圓M相切得，解得.當=時，將代入并整理得，解得=，∴|AB|==.當=－時，由圖形的對稱性可知|AB|=，綜上，|AB|=或|AB|=.21.〔本小題總分值共12分〕函數＝，＝，假設曲線和曲線都過點P(0，2)，且在點P處有相同的切線〔Ⅰ〕求，，，的值；〔Ⅱ〕假設≥－2時，≤，求的取值范圍?？键c：求函數的導數、解不等式解析：〔Ⅰ〕由得，而=，=，∴=4，=2，=2，=2；……4分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，，，設函數==〔〕，==，有題設可得≥0，即，令=0得，=，=－2，〔1〕假設，那么－2＜≤0，∴當時，＜0，當時，＞0，即在單調遞減，在單調遞增，故在=取最小值，而==≥0，∴當≥－2時，≥0，即≤恒成立，(2)假設，那么=，∴當≥－2時，≥0，∴在(－2,+∞)單調遞增，而=0，∴當≥－2時，≥0，即≤恒成立，(3)假設，那么==＜0，∴當≥－2時，≤不可能恒成立，綜上所述，的取值范圍為[1,].22．〔本小題總分值10分〕選修4—1：幾何證明選講如圖，直線AB為圓的切線，切點為B，點C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點E，DB垂直BE交圓于D?！并瘛匙C明：DB=DC；〔Ⅱ〕設圓的半徑為1，BC=3，延長CE交AB于點F，求△BCF外接圓的半徑?？键c：弦切定理，三角形的性質，三角形與外接圓的關系等解析：〔Ⅰ〕連結DE，交BC與點G.由弦切角定理得，∠ABF=∠BCE，∵∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE，又∵DB⊥BE，∴DE是直徑，∠DCE=，由勾股定理可得DB=DC.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，∠CDE=∠BDE，BD=DC，故DG是BC的中垂線，∴BG=.設DE中點為O，連結BO，那么∠BOG=，∠ABE=∠BCE=∠CBE=，∴CF⊥BF，∴Rt△BCF的外接圓半徑等于.23.〔本小題10分〕選修4—4：坐標系與參數方程曲線C1的參數方程為(為參數〕，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為。〔Ⅰ〕把C1的參數方程化為極坐標方程；〔Ⅱ〕求C1與C2交點的極坐標〔ρ≥0,0≤θ＜2π〕?？键c：參數方程與極坐標方程的轉化，直角坐標與極坐標的轉化解析：將消去參數，化為普通方程，即