171勾股定理(第1課時)

第十七章

勾股定理17.1勾股定理(第1課時)1.掌握勾股定理的內容.2.理解勾股定理的證明.3.應用勾股定理進行有關計算與證明.

星期日老師帶領初二全體學生去凌峰山風景區(qū)游玩,同學們看到山勢險峻,查看景區(qū)示意圖得知:凌峰山主峰高約為900米,如圖:為了方便游人,此景區(qū)從主峰A處向地面B處架了一條纜車路線,已知山底端C處與地面B處相距1200米,,請問纜車路線AB長應為多少？讀一讀

我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.圖1-1稱為“弦圖”，最早是由漢代的數學家趙爽在為《周髀算經》作注時給出的.圖1-2是2002年在北京召開的國際數學家大會（ICM－2002）的會標，其圖案正是“弦圖”，它標志著中國古代的數學成就.

圖1-1圖1-2

相傳2500年前，畢達哥拉斯有一次在朋友家作客時，發(fā)現朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數量關系．

我們也來觀察右圖中的地面圖案，看看能發(fā)現些什么？數學家畢達哥拉斯的發(fā)現：A，B，C的面積有什么關系？直角三角形三邊有什么關系？SA+SB=SC兩直角邊的平方和等于斜邊的平方ABCABCABC（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖1圖2讓我們一起再探究：等腰直角三角形三邊關系A的面積(單位面積)B的面積(單位面積)C的面積(單位面積)圖1圖29918448ABCABC（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖1圖2分“割”成若干個直角邊為整數的三角形ABCABC（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖1圖2把C“補”成邊長為6的正方形面積的一半ABCABC（圖中每個小方格代表一個單位面積）圖1圖2SA+SB=SCA的面積(單位面積)B的面積(單位面積)C的面積(單位面積)圖19918圖2A，B，C面積關系直角三角形三邊關系448兩直角邊的平方和等于斜邊的平方ABC圖1ABC圖2觀察右邊兩個圖并填寫下表：A的面積B的面積C的面積圖1圖2169254913

你是怎樣得到表中的結果的？與同伴交流一下．做一做ABC圖1ABC圖2三個正方形A，B，C面積之間有什么關系？SA+SB=SC即：兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形的面積．議一議ABCacbSA+SB=SC設：直角三角形的三邊長分別是a，b，c,猜想:兩直角邊a，b與斜邊c之間的關系？a2+b2=c2這是2002年國際數學家大會會標趙爽弦圖

∵ab×4+(b-a)2=c2

∴a2+b2=c2abc2ab+（b2-2ab+a2）=c2此結論被稱為“勾股定理”.在Rt△ABC中，∠C=90°，邊BC，AC，AB所對應的邊分別為a，b，c，則存在下列關系結論：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

a2+b2=c2勾股弦cabBCA如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊長的平方和等于斜邊長的平方.勾股定理∵∠C＝90°∴a2+b2=c2cabBCA勾股世界兩千多年前，古希臘有個畢達哥拉斯學派，他們發(fā)現了勾股定理，因此在國外人們通常稱勾股定理為畢達哥拉斯定理。為了紀念畢達哥拉斯學派，1955年希臘曾經發(fā)行了一枚紀念郵票.我國是最早了解勾股定理的國家之一。早在三千多年前，周朝數學家商高就提出，將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被記載于我國古代著名的數學著作《周髀算經》中.勾股定理的運用:已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三條邊長.a2=c2-b2b2=c2-a2c2=a2+b2在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c.(1)已知a=1，b=2，求c.(2)已知a=10，c=15，求b.ACBbac例將長為5米的梯子AC斜靠在墻上，BC長為2米，求梯子上端A到墻的底端B的距離.CAB解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∵BC=2米，AC=5米，

∴AB2=AC2-BC2=52-22=21，∴

AB=米（舍去負值）.【跟蹤訓練】····長長，3.求下列圖中表示邊長的未知數x；y的值.①81144xy②625576x=15y=74.在等腰Rt△ABC中,a=b=1,則c=＿＿＿.CAB第4題圖第5題圖abcCBA6.在一個直角三角形中,兩邊長分別為3,4,則第三邊的長為________.5

或5.在Rt△ABC中,∠A=30°，AB=2，則BC=__＿，AC=＿＿＿.1DABC7.螞蟻沿圖中的折線從A點爬到D點，一共爬了____厘米.（小方格的邊長為1厘米）GFE3412568答案：28········【解析】選D.∵∠B=30°,AC⊥AB,AC=5米,所以BC=10米，(米).大樹折斷前的高度為AC+BC=15(米).3.如圖所示，一棵大樹在一次強臺風中離地面5米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，則這棵大樹在折斷前的高度和AB的長分別為（）A.10米，米B.15米，米C.10米，米D.15米，米4.(廣東·中考）如圖（1），已知小正方形ABCD的面積為1，把它的各邊延長一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1邊長按原法延長一倍得到正方形A2B2C2D2（如圖（2））；……以此下去，則正方形A4B4C4D4的面積為__________.圖（1）A1B1C1D1ABCDD2A2B2C2D1C1B1A1ABCD圖（2）【解析】由勾股定理得：新正方形A1B1C1D1邊長為，正方形A2B2C2D2邊長為5，···，正方形A4B4C4D4的邊長為25，正方形A4B4C4D4的面積為625.答案：6255.（宜賓·中考）已知，在△ABC中，∠A=45°，AB=+1，則邊BC的長為____.【解析】過點C作CD⊥AB,∵∠A=45°,∴AD=CD,∴2AD2=AC2=2,∴DC=AD=1,∴BD=AB-AD=+1-1=在Rt△CDB中，答案：26.請你根據圖1中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號語言敘述）；以圖1中的直角三角形為基礎，可以構造出以a,b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2），請你利用圖2，驗證勾股定理.【解析】［定理表述］如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2,證明：∵Rt△ABE≌Rt△ECD,∴∠AEB=∠EDC,又∠EDC+∠DEC=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°,∴∠AED=90°.∵S梯形ABCD=SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED，∴（a+b)(a+b)=ab+