三個(gè)重要不等式及應(yīng)用

三個(gè)重要不等式及應(yīng)用目的要求：掌握排序不等式，平均不等式，柯西不等式及其應(yīng)用重點(diǎn)：三個(gè)不等式的應(yīng)用難點(diǎn)：排序不等式的證明及綜合應(yīng)用1排序不等式設(shè)有兩組數(shù)，滿足，則有（順序和）

（亂序和）

（逆序和）其中是的一個(gè)排列，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立證明：先證左端設(shè)亂序和為

Ｓ，要Ｓ最大我們證明必須配，配，，配設(shè)配，配某個(gè)，則有這是因?yàn)橥砜勺C必配，必配，，必配所以再證右端又由以上證明結(jié)論(亂同)可得，于是有當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立．證畢．例1（1935年匈牙利奧林匹克）假設(shè)是正數(shù)的某個(gè)排列，證明：證明不妨設(shè)，則由排序不等式(亂序逆序)得，

即在不等式證明中，柯西不等式與排序不等式往往相結(jié)合，證題時(shí)可能一題多解，也可能同時(shí)應(yīng)用以上兩個(gè)不等式.例2（第20屆IMO試題）設(shè)是個(gè)互不相等的自然數(shù)，證明：證明設(shè)是的一個(gè)排序，且又由逆序和＜亂序和得，又因?yàn)樗援?dāng)，時(shí)，等號(hào)成立.即2.均值不等式設(shè)是正實(shí)數(shù)，則即，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立證明設(shè)，則為內(nèi)的上凸函數(shù)由琴生不等式，得：所以對(duì)于這N個(gè)正數(shù)，應(yīng)用得所以所以成立，故證畢.

此外，均值不等式還可用排序不等式、數(shù)學(xué)歸納法等其它方法證明。例1設(shè)為正整數(shù)，且，滿足求證：，并確立等號(hào)成立的條件?證明：令由均值不等式，得：由均值不等式，得：從而不等式成立從而不等式成立故，當(dāng)且時(shí)不等式成立.例2是一給定三角形的三個(gè)內(nèi)角，求證：證明：由均值不等式，有其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立再由均值不等式及琴生不等式有：其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立證畢.3.柯西不等式設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立

證明（數(shù)學(xué)歸納法）（1）當(dāng)全為零時(shí)，命題顯然成立.

(2)當(dāng)數(shù)組不全為零時(shí)，采用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)n=1時(shí)不等式成立2）設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立.令則有3）那么當(dāng)n=k時(shí)

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立綜上述，對(duì)例1設(shè)都是正數(shù)，且

求證

：證明由柯西不等式有又例2給定正數(shù)n與正數(shù)M，對(duì)于滿足條件的等差數(shù)列

試求的最大值解設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則

（1）（2）所以由（1）知代入（2）得由柯西不等式當(dāng)且僅當(dāng)都滿足時(shí)，上式等號(hào)成立由此得時(shí)，例3設(shè)（）都是正數(shù)，且求證：證明：由柯西不等式，有：由于對(duì)n個(gè)整數(shù)，，所以