2022-2023學(xué)年江西省南昌市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題

高二月考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．將直線l沿x軸正方向平移2個(gè)單位，再沿y軸負(fù)方向平移3個(gè)單位，又回到了原來的位置，則l的斜率是（）A． B．4 C．1 D．2．如圖所示，在平行六面體中，E為AC與BD的交點(diǎn)，則下列向量中與相等的向量是（）A． B．C． D．3．已知圓：，圓：，則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系為（）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)含4．已知空間中三點(diǎn)，，，則（）A．與是共線向量 B．的單位向量是C．與夾角的余弦值是 D．平面ABC的一個(gè)法向量是5．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別，，焦距為4，若以原點(diǎn)為圓心，為直徑的圓恰好與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，則此橢圓的方程為（）A． B． C． D．6．已知橢圓C：，過點(diǎn)的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若P為AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程為（）A． B． C． D．7．已知，分別為雙曲線C：左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，且，，則雙曲線C的離心率是（）A． B． C． D．8．勞動(dòng)教育是國(guó)民教育體系的重要內(nèi)容，是學(xué)生成長(zhǎng)的必要途徑，具有樹德、增智、強(qiáng)體、育美第2題圖2的綜合育人價(jià)值．南昌二中作為全國(guó)雙新示范校，“勞動(dòng)教育課程”緊跟時(shí)代步伐，特在校園的一角專門開辟了一塊勞動(dòng)基地——心遠(yuǎn)農(nóng)場(chǎng)（如圖1）．現(xiàn)某社團(tuán)為農(nóng)場(chǎng)節(jié)水計(jì)劃設(shè)計(jì)了如下噴灌技術(shù)，噴頭裝在管柱OA的頂端A處，噴出的水流在各個(gè)方向上呈拋物線狀，如圖2所示．現(xiàn)要求水流最高點(diǎn)B離地面4m，點(diǎn)B到管柱OA所在直線的距離為3m，且水流落在地面上以O(shè)為圓心，以7m為半徑的圓上，則管柱OA的高度為（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．已知直線l：，其中，則（）A．直線l過定點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，直線l與直線垂直C．若直線l與直線平行，則D．當(dāng)時(shí)，直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)10．以下關(guān)于圓錐曲線的命題中，其中是真命題的有（）A．雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)B．過雙曲線的右焦點(diǎn)且被雙曲線截得的弦長(zhǎng)為10的直線共有2條C．設(shè)A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，k是非零常數(shù)，若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支D．動(dòng)圓P過定點(diǎn)且與定直線l：相切，則圓心P的軌跡方程是11．已知過拋物線C：的焦點(diǎn)F的直線交拋物線C于P，Q兩點(diǎn)，交圓于M，N兩點(diǎn)，其中P，M位于第一象限，則的值可能為（）A． B．3 C．4 D．12．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別為線段BC，，上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則（）A．異面直線與AF成角可以為B．當(dāng)G為中點(diǎn)時(shí)，存在點(diǎn)E，F(xiàn)使直線與平面AEF平行C．當(dāng)E，F(xiàn)為中點(diǎn)時(shí)，平面AEF截正方體所得的截面面積為D．存在點(diǎn)G，使點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．兩平行直線和間的距離是．14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C：的一條漸近線與圓相切，則．15．如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，頂點(diǎn)分別是，，，，焦點(diǎn)分別為，，延長(zhǎng)與交于P點(diǎn)，若為鈍角，則此橢圓的離心率的取值范圍為．16．已知曲線C的方程是，命題“曲線C的圖象既關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱又關(guān)于x軸對(duì)稱”是命題（填“真”或“假”），若點(diǎn)在曲線C上，則的最大值為．四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．已知以點(diǎn)為圓心的圓與，過點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)．從①直線相切；②圓關(guān)于直線對(duì)稱；③圓的公切線長(zhǎng)這3個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題的橫線上并回答下列問題．（Ⅰ）求圓A的方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求直線l的方程．18．如圖，已知直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求異面直線和所成角的余弦值；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的周長(zhǎng)為12，AB，AC邊的中點(diǎn)分別為和，點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn)．（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線，直線與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為N，線段的中點(diǎn)為E，記，求S的最大值．20．如圖（1）圖所示，在直角梯形ABCD中，，，，，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)．將△ABE沿BE折起到的位置，如圖（2）所示．（Ⅰ）證明：CD⊥平面；（Ⅱ）若平面平面BCDE，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．21．“人工智能＋科技創(chuàng)新”正在掀起校園新浪潮，為加強(qiáng)人工智能教育，全面提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)．某高中科創(chuàng)社團(tuán)學(xué)生，決定開發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲，如圖A，B兩個(gè)信號(hào)源相距10米，O是AB的中點(diǎn)，過O的直線l與直線AB的夾角為45°，機(jī)器貓?jiān)谥本€l上運(yùn)動(dòng)，而機(jī)器鼠的位置始終滿足：A，B兩點(diǎn)同時(shí)發(fā)出信號(hào)，機(jī)器鼠接收到A點(diǎn)的信號(hào)比接收到B點(diǎn)的信號(hào)晚秒（注：信號(hào)每秒傳播米）．在時(shí)刻，測(cè)得機(jī)器鼠與點(diǎn)O的距離為4米．（Ⅰ）以O(shè)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立如圖直角坐標(biāo)系，求時(shí)刻機(jī)器鼠所在的坐標(biāo)．（Ⅱ）游戲設(shè)定：機(jī)器鼠在距離直線l不超過1.5米的區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，就有“被抓”的風(fēng)險(xiǎn)．如果機(jī)器鼠保持目前的運(yùn)動(dòng)軌跡不變，是否有“被抓”的風(fēng)險(xiǎn)？22．設(shè)點(diǎn)為拋物線C：的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，．（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）當(dāng)P在第一象限且時(shí)，過P作斜率為，的兩條直線，，分別交拋物線于點(diǎn)A，B，且，證明：直線AB恒過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅲ）是否存在定圓M：，使得過曲線C上任意一點(diǎn)P作圓M的兩條切線，與曲線C交于另外兩點(diǎn)C，D時(shí)，總有直線CD也與圓M相切？若存在，求出m的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案1．【答案】A2．【答案】A3．【答案】C4．D【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，，，所以，則與不是共線向量，所以A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，所以的單位向量為，所以B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，向量，，所以，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)平面ABC的法向量是，因?yàn)?，，所以，則，令，則平面ABC的一個(gè)法向量為，所以D項(xiàng)正確．故選：D．5．A【詳解】∵以原點(diǎn)為圓心，為直徑的圓恰好與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，∴這兩個(gè)公共點(diǎn)只能是橢圓短軸的頂點(diǎn)，∴，又即，∴，∴橢圓方程為．故選：A。6．B【詳解】設(shè)點(diǎn)、，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，所以，因?yàn)?，兩式作差得，即，即，所以，，因此，直線AB的方程為，即．故選：B．7．C【詳解】由，得，因?yàn)椋?，．又，即，所以．設(shè)，則，又，則，解得，所以，，所以是正三角形，從而．在中，由，得，所以．故答案為：8．B【詳解】以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，記BM⊥OC且垂足為MA在y軸上的投影點(diǎn)為D，設(shè)拋物線方程為，由題意可知：，，，所以，所以，代入拋物線方程可知，所以，所以拋物線方程為，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以O(shè)A的高度為，故選：B．9．ABD【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，與a的取值無關(guān)，故直線l過定點(diǎn)，所以A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，其斜率為1，而直線的斜率為－1，所以當(dāng)時(shí)，直線l與直線垂直，所以B正確；對(duì)于C，若直線l與直線平行，則，解得或，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，橫截距和縱截距分別是，1，互為相反數(shù)，所以D正確．10．AD【詳解】橢圓的焦點(diǎn)為，雙曲線的焦點(diǎn)為，故A正確；對(duì)于B，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為10，則過該雙曲線的右焦點(diǎn)與兩支相交的直線被雙曲線所截弦長(zhǎng)為10的直線只有1條，雙曲線的通徑長(zhǎng)為，則過該雙曲線的右焦點(diǎn)與一支相交的直線被雙曲線所截弦長(zhǎng)為10的直線有2條，因此過雙曲線的右焦點(diǎn)且被雙曲線截得的弦長(zhǎng)為10的直線共有3條，B錯(cuò)誤對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條射線，當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)閯?dòng)圓P過定點(diǎn)且與定直線l：相切，即P點(diǎn)到的距離與到直線l：的距離相等，根據(jù)拋物線的定義可得，P點(diǎn)為以為焦點(diǎn)、為準(zhǔn)線的拋物線，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為，故D正確；11．CD【解析】設(shè)，．可化為，所以圓的半徑，圓心．由，知焦點(diǎn)，當(dāng)過點(diǎn)F的直線的斜率不存在時(shí)，PQ的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立得，所以，，與圓的方程聯(lián)立得，所以，，所以，此時(shí)．當(dāng)過點(diǎn)F的直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)該直線方程為，代入拋物線方程并消去y，得，所以．由拋物線的定義可知，，，因?yàn)?，所以，，所以，故，?dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)等號(hào)成立，結(jié)合選項(xiàng)CD正確．12．BCD【詳解】對(duì)A：因?yàn)?，故與AF的夾角即為與AF的夾角，又當(dāng)F與C重合時(shí)，取得最大值，為；當(dāng)F與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，設(shè)其為，則，故；又點(diǎn)F不能與C，重合，故，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：當(dāng)G為中點(diǎn)時(shí)，存在E，F(xiàn)分別為BC，的中點(diǎn)，滿足面AEF，證明如下：取的中點(diǎn)為M，連接，MG，如下所示：顯然，又面AEF，面AEF，故面AEF；又易得MG∥EF，面AEF，面AEF，故MG∥面AEF；又，，面，故面面AEF，又面，故面AEF，故B正確；對(duì)C：連接，，AE，如下所示：因?yàn)?，故面即為平面AEF截正方體所得截面；又，故該截面為等腰梯形，又，，故截面面積，故C正確；對(duì)D：連接GC，取其中點(diǎn)為H，如下所示：要使得點(diǎn)G到平面AEF的距離等于點(diǎn)C到平面AEF的距離，只需EF經(jīng)過GC的中點(diǎn)，顯然存在這樣的點(diǎn)G滿足要求，故D正確．故選：BCD．13．14．15．16．真 15．【詳解】由題意，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸、半焦距分別為a，b，c，則，，因?yàn)榫褪桥c的夾角，所以與的夾角為鈍角，所以，即，又，所以，兩邊同時(shí)除以，得，即，解得或，又，所以．16．【詳解】在曲線C上任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)椋袋c(diǎn)在曲線C上，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則，即點(diǎn)在曲線C上，因此，命題“曲線C的圖象既關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱又關(guān)于x軸對(duì)稱”是真命題，同理可知，曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)且時(shí)，曲線C的方程為，由題意可知，曲線可將橢圓按照平移得到，作出曲線C的圖形如下圖所示：設(shè)，當(dāng)取最大值時(shí)，則直線在y軸上的截距最大，此時(shí)點(diǎn)M在第一象限，設(shè)點(diǎn)，由，可得，不妨取，則，因?yàn)?，則，故當(dāng)時(shí)，取最大值．17．【答案】（1）；（2），或．【詳解】（1）選①：因?yàn)閳AA與直線相切，所以圓A的半徑為，因此圓A的方程為；選②：因?yàn)閳AA與圓關(guān)于直線對(duì)稱，所以兩個(gè)圓的半徑相等，因此圓A的半徑為，所以圓A的方程為；選③：設(shè)圓的圓心為，兩圓的一條公切線為m，兩圓的圓心與兩圓的一條公切線示意圖如下：設(shè)圓A的半徑r，因此有：，所以圓A的方程為；（2）三種選擇圓A的方程都是，當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線l不存在斜率時(shí)，直線方程為，把代入中，得，顯然，符合題意，當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線l存在斜率時(shí)，設(shè)為k，直線方程為，圓心到該直線的距離為：，因?yàn)?，所以有，即方程為：綜上所述：直線l的方程為，或．18．【答案】（1）（2）【解析】（1）連結(jié)AC，BD，使．因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以AC⊥BD，以O(shè)為原點(diǎn)，、的方向?yàn)閤軸?y軸的正方向，以四棱柱上下底面的中心連線指向上底面的方向?yàn)閦軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖所示．設(shè)，由，底面ABCD是菱形，所以．所以∴，，，，∵F是BC的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)∴，，∴，設(shè)異面直線和所成角為，則．∴異面直線和AF所成角的余弦值為．（2）由（1）可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，由（1）知，設(shè)直線與平面所成角為，則．∴直線與平面所成角的正弦值為．19．【答案】（1）（2）【詳解】（1）依題意有：，且，∴，故點(diǎn)M的軌跡C是以和為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，考慮到三個(gè)中點(diǎn)不可共線，故點(diǎn)M不落在x上，綜上，所求軌跡方程：．（2）設(shè)，，顯然直線不與x軸重合，不妨設(shè)直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立整理得：，，，，，，∴，令，則，∵，∴，當(dāng)，即時(shí)，∴，∴當(dāng)直線軸時(shí)，∴．20．【答案】（1）證明見詳解（2）【詳解】（1）在圖（1）中，因?yàn)椋?，E是AD的中點(diǎn)，，所以BE⊥AC則在圖（2）中，，，，平面，平面，從而BE⊥平面，又CD∥BE，所以CD⊥平面．（2）由已知，平面平面BCDE，平面平面，又由（1）知，，，所以為二面角-BE-C的平面角，所以．如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，BC∥ED，則，，所以，，，，得，，．設(shè)平面的法向量，平面的法向量，銳二面角為，則，得，取，，得，取，從而，所以，即平面與平面所成銳二面角的余弦值為．21．【答案】（1）（2）沒有“被抓”的風(fēng)險(xiǎn)（1）由題意得：，，∵機(jī)器鼠接收到A點(diǎn)的信號(hào)比接收到B點(diǎn)的信號(hào)晚秒，∴機(jī)器鼠距離A點(diǎn)的距離比距離B點(diǎn)的距離多米，設(shè)機(jī)器鼠位置為P，則，∴P點(diǎn)軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為8的雙曲線的右半支，∴P點(diǎn)軌跡方程為：；∵在時(shí)刻，測(cè)得機(jī)器鼠與點(diǎn)O的距離為4米，即，∴，即時(shí)刻機(jī)器鼠所在的坐標(biāo)為．（2）由題意得：直線l：；與直線l平行且距離不超過1.5米的直線方程為：，由得：，則，∵，∴，∴與無交點(diǎn)，即沒有“被抓”的風(fēng)險(xiǎn)．22．【答案】（1）；（2）定點(diǎn)為，詳見解析；（3），證明見解析．（1