2022-2023學(xué)年福建省南平市浦城縣高二年級上冊學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年福建省南平市浦城縣高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交且過圓心 B．相切C．相離 D．相交但不過圓心【答案】D【分析】根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小比較，即可判斷圓與直線的位置關(guān)系.【詳解】圓心坐標(biāo)為，半徑，圓心到直線的距離，又因?yàn)橹本€不過圓心，所以直線與圓相交但不過圓心．故選:D2．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】把拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程后可求焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】拋物線方程為：，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，故選：C.3．三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，若，，，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算直接求解即可.【詳解】解：.故選：B.4．已知圓關(guān)于直線（，）對稱，則的最小值為（

）A． B．9 C．4 D．8【答案】B【分析】由題可得，然后利用基本不等式即得.【詳解】圓的圓心為，依題意，點(diǎn)在直線上，因此，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為9.故選：B.5．在如圖所示的六面體中，四邊形和均為直角梯形，，，，為直角頂點(diǎn)，其他四個(gè)面均為矩形，，，，則平面與平面所成的角為（

）A．30° B．45° C．135° D．45°或135°【答案】B【分析】由題意，，，兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)建系，平面的一個(gè)法向量為，再用向量法求出平面的法向量，則由可得到所求兩面角【詳解】因?yàn)樗倪呅魏途鶠橹苯翘菪危?，，，為直角頂點(diǎn)，其他四個(gè)面均為矩形，所以這個(gè)六面體是四棱柱，由題意可知，，兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)建系如圖，則，，，，則，，根據(jù)題意可知平面，所以，即為平面的一個(gè)法向量，設(shè)為平面的法向量，則取，則，，則為平面的一個(gè)法向量，則，所以平面與平面所成的角為45°，故選：B．6．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的曲線C：的離心率滿足，A，B是x軸與曲線C的交點(diǎn)，P是曲線C上異于A，B的一點(diǎn)，延長PO交曲線C于另一點(diǎn)Q，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由離心率的范圍可知曲線為橢圓，根據(jù)離心率與的關(guān)系得到的范圍，然后利用斜率公式表示出，進(jìn)而求出其范圍．【詳解】由解得，所以曲線C是橢圓．因橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，則．因?yàn)椋?，不妨設(shè)，，，，由題意知，則，即，．故選：A．7．已知正方體的棱長為2，，分別為上底面和側(cè)面的中心，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，按照距離的向量求法求解即可.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，易知，設(shè)平面的法向量，則，令，解得，故點(diǎn)到平面的距離為.故選：A.8．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：的左?右焦點(diǎn)，E為雙曲線C的右頂點(diǎn).過F2的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在第一象限），設(shè)M，N分別為△AF1F2，△BF1F2的內(nèi)心，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面幾何和內(nèi)心的性質(zhì)，可知M，N的橫坐標(biāo)都是a，得到MN⊥x軸，設(shè)直線AB的傾斜角為θ，有，根據(jù)θ∈(60°,90°]，將表示為θ的三角函數(shù)可求得范圍.【詳解】解：設(shè)上的切點(diǎn)分別為H?I?J，則.由，得，∴，即.設(shè)內(nèi)心M的橫坐標(biāo)為，由軸得點(diǎn)J的橫坐標(biāo)也為，則，得，則E為直線與x軸的交點(diǎn)，即J與E重合.同理可得的內(nèi)心在直線上，設(shè)直線的領(lǐng)斜角為，則，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由題知，，因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在雙曲線的右支上，∴，且，所以或，∴且，∴，綜上所述，.故選：B.二、多選題9．已知平面，其中點(diǎn)是平面內(nèi)的一定點(diǎn)，是平面的一個(gè)法向量，若坐標(biāo)為，，則下列各點(diǎn)中在平面內(nèi)的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】對各選項(xiàng)中點(diǎn)的坐標(biāo)是否滿足進(jìn)行驗(yàn)證，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，，，A滿足；對于B選項(xiàng)，，，B滿足；對于C選項(xiàng)，，，C滿足；對于D選項(xiàng)，，，D不滿足.故選：ABC.10．對任意的，方程所表示的曲線可能為（

）A．雙曲線 B．拋物線 C．橢圓 D．圓【答案】ACD【分析】分情況討論不同取值時(shí)所表示的曲線.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，方程可化為，表示兩條直線；當(dāng)時(shí)，方程化為，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，方程化為，表示圓；當(dāng)時(shí)，方程化為，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，方程化為，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；故選：ACD.11．若直線上存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P可作圓的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，且，則實(shí)數(shù)m的取值可以為（

）A．3 B．2 C．0 D．【答案】BCD【分析】求出，等價(jià)于直線與圓有公共點(diǎn)結(jié)合選項(xiàng)可得答案．【詳解】若，因?yàn)?，所以，又，所以四邊形是邊長為1的正方形，所以對角線，等價(jià)于直線與圓有公共點(diǎn)，由圓心到直線的距離公式可得，解之可得，故選：BCD.12．已知拋物線：，過其準(zhǔn)線上的點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，且直線的方程為：則下列說法正確的是（

）A． B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，直線的斜率為2 D．面積的最小值為4【答案】ABD【分析】由點(diǎn)在準(zhǔn)線上，可求出，從而可判斷A；設(shè)直線與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可判斷B；結(jié)合條件根據(jù)直線方程確定其斜率，判斷C；先求出的面積關(guān)于的表達(dá)式，進(jìn)而求其最大值,判斷D.【詳解】對A，因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，又點(diǎn)在準(zhǔn)線上，∴，所以拋物線的方程為，故選項(xiàng)A正確.對B，設(shè)直線為拋物線的切線，代入，得，因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以方程的判別式，即，設(shè)，斜率分別為，，易知，是上述方程兩根，故，故，故選項(xiàng)B正確.對C，由條件可得直線的方程為：，所以直線的斜率為，故選項(xiàng)C不正確.對D，因?yàn)橹本€的方程為，聯(lián)立有，方程的判別式，設(shè)，，則，，故，又到的距離，故，故當(dāng)時(shí)的面積取最小值，最小值為，故D正確；故選：ABD.三、填空題13．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為________．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)拋物線的定義即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，拋物線的焦點(diǎn)，又因?yàn)?，由拋物線的定義可知：，所以，故答案為：.14．已知，則直線必過定點(diǎn)______．【答案】【分析】依題意可得，即可判斷.【詳解】解：因?yàn)?，所以，又直線，所以直線必過；故答案為：15．已知點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，且的面積為，則橢圓的離心率是______________．【答案】##【分析】根據(jù)三角形面積公式求出，利用橢圓的定義及三角形余弦定理即可求出結(jié)果．【詳解】由，的面積為，可得，∴．再根據(jù)橢圓的定義可得．再利用余弦定理可得，求得，∴．故答案為：．16．已知點(diǎn)為正四面體的外接球上的任意一點(diǎn)，正四面體的棱長為2，則的取值范圍為___________.【答案】【分析】將正四面體放在正方體內(nèi)，以正方體的中心為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求的取值范圍.【詳解】如圖，將正四面體放在正方體內(nèi)，并建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∵正四面體的棱長為2，則正方體的棱長為，正四面體ABCD的外接球即為圖中正方體的外接球，其半徑為R，則，則，，設(shè)，則，則，∵，，∴.故答案為：.四、解答題17．設(shè)常數(shù)，已知直線：，：．(1)若，求的值；(2)若，求與之間的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由一般式下兩直線垂直的充要條件可得，即可求解；（2）根據(jù)題意，由一般式下兩直線平行的必要條件可求得的值，進(jìn)而由平行線間的距離公式計(jì)算可得答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，直線：，：，若，則，解可得a（2）根據(jù)題意，若，則有，解可得或，當(dāng)時(shí)，直線：，：，兩直線重合，不符合題意，當(dāng)時(shí)，直線：，：，即，兩直線平行，此時(shí)與之間的距離18．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為2．(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)直線l的方程為，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長．【答案】(1)(2)6【分析】（1）由距離公式列方程后化簡求解，（2）由弦長公式求解【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則由題意得，化簡得，即為點(diǎn)P的軌跡C的方程．（2）將代入中，并化簡得：，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：，，由韋達(dá)定理可得，，∴．19．如圖，四邊形為平行四邊形，點(diǎn)在上，，且．以為折痕把折起，便點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且．(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正切值為，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由面面垂直的判定定理證明，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解，【詳解】（1）∵DE⊥AB，∴DE⊥EB，DE⊥EF，EB∩EF＝E平面，平面，∴DE⊥平面BEF，又∵平面BCD，∴平面平面（2）由（1）知平面，而平面，，∵AE＝2EB＝2，∴EF＝2，EB＝1，∵∠FEB＝60°，∴，∴FB⊥EB∵DE∩BE＝E，平面，平面，∴BF⊥平面BCDE，則直線與平面所成角的正切值為，解得，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令得，點(diǎn)到平面的距離20．已知圓C：，直線l恒過點(diǎn)(1)若直線l與圓C相切，求l的方程；(2)當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且時(shí)，求l的方程.【答案】(1)或(2)或【分析】(1)分類討論直線l的斜率存在與不存在，利用圓心到直線l的距離等于圓的半徑計(jì)算即可；(2)由題意知直線l的斜率一定存在，設(shè)直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式和圓的垂徑定理計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意可知，圓C的圓心為，半徑，①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，即l的方程為時(shí)，此時(shí)直線與圓相切，符合題意；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，直線l的方程為，化為一般式：，若直線l與圓相切，則，即，解得，：，即l：，綜上，當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，直線l的方程為或；（2）由題意可知，直線l的斜率一定存在，設(shè)斜率為k，直線l的方程為，即，設(shè)圓心到直線l的距離為d，則，由垂徑定理可得，，即，整理得，，解得或，則直線l的方程為或21．如圖，在六面體中，是等邊三角形，二面角的平面角為30°，.(1)證明：；(2)若點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，求直線CE與平面所成角的正切的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】（1）利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即可證得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求得線面，滿足，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的最值即可求解.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，且，所以平面，又平面，所?（2）連接，則，由，可得，于是，所以，又，所以平面，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，由，可得，平面的法向量為，設(shè)，則，設(shè)與平面所成角為，則，令，則，令，由對稱軸知，當(dāng)，即時(shí)，，，于是直線與平面所成角的正切的最大值為2.22．已知橢圓：()的離心率為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)且不垂直于軸的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為