2022-2023學(xué)年湖南省衡陽師范學(xué)院祁東附屬中學(xué)高二年級上冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖南省衡陽師范學(xué)院祁東附屬中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．拋物線的焦點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的標準方程以及焦點坐標求解即可【詳解】由題意，拋物線的焦點坐標為故選：C2．若向量，，且與的夾角的余弦值為，則實數(shù)等于（

）．A．0 B． C．0或 D．0或【答案】C【分析】根據(jù)向量夾角公式解方程即可得解【詳解】由題可得：所以兩邊同時平方：所以等于0或.故選：C3．如圖所示，空間四邊形中，，點M在上，且，N為中點，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合空間向量的線性運算即可求出結(jié)果.【詳解】,故選：B.4．已知直線斜率為k，且，那么傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線斜率的取值范圍，以及斜率和傾斜角的對應(yīng)關(guān)系，求得傾斜角的取值范圍.【詳解】解：直線l的斜率為k，且，∴，.∴.故選：B.5．在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面，，且，為的中點，則異面直線與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中點，連接、，分析可知異面直線與的夾角為或其補角，計算出三邊邊長，分析可知為直角三角形，即可求得的余弦值，即為所求.【詳解】取的中點，連接、，如下圖所示：因為、分別為、的中點，則且，所以，異面直線與的夾角為或其補角，因為平面，平面，，則，，同理可得，，所以，，則.故選：C.6．阿波羅尼斯約公元前年證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)且的點的軌跡是圓．后人將這個圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點A，B間的距離為2，動點P與A，B距離之比滿足：，當(dāng)P、A、B三點不共線時，面積的最大值是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件建立平面直角坐標系，求出點P的軌跡方程，探求點P與直線AB的最大距離即可計算作答.【詳解】依題意，以線段AB的中點為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系，如圖，則，，設(shè)，因，則，化簡整理得：，因此，點P的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，點P不在x軸上時，與點A，B可構(gòu)成三角形，當(dāng)點P到直線(軸)的距離最大時，的面積最大，顯然，點P到軸的最大距離為，此時，，所以面積的最大值是．故選：C7．已知F是橢圓=1的左焦點，P為橢圓上的動點，橢圓內(nèi)部一點M的坐標是（3，4），則|PM|+|PF|的最大值是（

）A．10 B．11 C．13 D．21【答案】D【分析】利用橢圓的定義轉(zhuǎn)化為P到M和到另一焦點的距離的差的最大值來解決.【詳解】解：如圖，由橢圓=1，得得，則橢圓右焦點為，則.當(dāng)與射線與橢圓的交點重合時取到等號,的最大值為21.故選：D.8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作一條漸近線的垂線，垂足為點，與另一漸近線交于點，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)題意設(shè)出直線的方程，然后分別聯(lián)立直線方程求解出坐標，根據(jù)向量共線對應(yīng)的縱坐標關(guān)系求解出的關(guān)系，則離心率可求.【詳解】不妨設(shè)過的直線與垂直，所以，因為，所以，所以，又因為，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，所以，所以，故選：B.【點睛】方法點睛：求解雙曲線離心率的值或范圍的常用方法：（1）根據(jù)雙曲線的方程直接求解出的值，從而求解出離心率；（2）構(gòu)造關(guān)于的齊次方程，求解出的值，從而離心率可知；（3）根據(jù)離心率的定義以及雙曲線的定義求解離心率；（4）利用雙曲線及圖形的幾何性質(zhì)構(gòu)建關(guān)于的不等式，從而的范圍可求.二、多選題9．已知曲線C的方程為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時，曲線C為圓B．曲線C為橢圓的充要條件是C．若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則D．存在實數(shù)k使得曲線C為拋物線【答案】AC【分析】根據(jù)圓、橢圓、雙曲線、拋物線標準方程的特征即可逐項判斷求解.【詳解】對于A，當(dāng)時，曲線C的方程為，此時曲線C表示圓心在原點，半徑為的圓，所以A正確；對于B，若曲線C為橢圓，則，且，所以B錯誤；對于C，若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則，，解得，所以C正確；對于D，曲線C不存在x，y的一次項，所以曲線C不可能是拋物線，所以D錯誤．故選：AC.10．已知，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面．下列說法中正確的是（

）A．若，，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則【答案】AD【分析】根據(jù)空間中的線面、面面關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】由線面平行的性質(zhì)可得A正確；若，，則或，故B錯誤；由，，推不出，也可能有，故C錯誤；若，，則，又，則，故D正確；故選：AD11．設(shè)橢圓的右焦點為，直線與橢圓交于兩點，則（

）A．為定值B．的周長的取值范圍是C．當(dāng)時，為直角三角形D．當(dāng)時，的面積為【答案】ACD【分析】對選項進行逐一判斷.由橢圓的定義判斷A；由為定值以及的范圍判斷B；求出坐標，由數(shù)量積公式得出，得出為直角三角形判斷C；求出坐標，由面積公式得出的面積判斷D.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點為，則所以為定值，A正確；的周長為，因為為定值6，所以的范圍是，所以的周長的范圍是，B錯誤；將與橢圓方程聯(lián)立，可解得，又因為，∴所以為直角三角形，C正確；將與橢圓方程聯(lián)立，解得，，所以，D正確.故選：ACD12．如圖,在棱長為1的正方體中,M為BC的中點,則下列結(jié)論正確的有（

）A．AM與所成角的余弦值為B．到平面的距離為C．過點A,M,的平面截正方體所得截面的面積為D．四面體內(nèi)切球的表面積為【答案】ABD【分析】對于A,建立空間直角坐標系,找點坐標,用向量夾角的余弦值的絕對值求解線線夾角的余弦值,對于B,在A的基礎(chǔ)上,繼續(xù)求點的坐標,求平面的法向量,進而根據(jù)公式求得點到面的距離,對于C,取中點為,順次連接,平面即為截面,求出等腰梯形面積即可,對于D,根據(jù)公式,求體積,求表面積,即可求得內(nèi)切球半徑,進而求得球表面積.【詳解】解:建立如下所示空間直角坐標系,關(guān)于選項A,則有:,,故選項A正確;關(guān)于選項B,由于建立空間直角坐標系,則可得,,記平面法向量為,則有,即,不妨令可得,則到平面的距離為,故選項B正確;關(guān)于選項C,取中點為,順次連接如圖所示,各個邊長均落在正方體表面,且,所以平面即為截面,正方體棱長為1,,平面是等腰梯形,過點,分別向做垂線,垂足為,如圖所示,,,故選項C錯誤;關(guān)于選項D,四面體的體積為,四面體的表面積為,不妨設(shè)四面體內(nèi)切球的半徑為,則有,故四面體內(nèi)切球的表面積為,故選項D正確.故選:ABD三、填空題13．若與平行，則的距離為_________.【答案】【分析】先由兩直線平行求解，再利用平行線間的距離公式，即得解【詳解】由題意，直線，直線，故，即.故，，則的距離.故答案為：14．若實數(shù)滿足，則的取值范圍為_______.【答案】【分析】條件方程化為，即為圓心為，半徑為1的圓，為與連線的斜率，由數(shù)形結(jié)合，求出直線與圓相切的斜率，即可求解【詳解】由題得，，即為圓心為，半徑為1的圓，為與連線的斜率，記為k，如圖所示，∵，∴斜率存在，設(shè)過的直線為，則當(dāng)直線與圓相切時，有，解得，由圖易得k在直線與圓的兩切線斜率之間，故.故答案為：15．過橢圓的一個焦點的直線與橢圓交于A，B兩點，則A與B和橢圓的另一個焦點構(gòu)成的的周長為__________【答案】4【分析】先將橢圓的方程化為標準形式，求得半長軸的值，然后利用橢圓的定義進行轉(zhuǎn)化即可求得.【詳解】解：橢圓方程可化為，顯然焦點在y軸上，，根據(jù)橢圓定義，所以的周長為．故答案為4．16．在四棱錐中，已知底面，，，，，是平面內(nèi)的動點，且滿足.則當(dāng)四棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為______.【答案】【分析】分析可知，然后以點以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設(shè)點，求出點的軌跡方程，可知當(dāng)點到平面的距離最大時，四棱錐的體積最大，設(shè)點，設(shè)三棱錐的球心為，列方程組求出點的坐標，可求得球的半徑，再利用球體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】因為，，，，則四邊形為直角梯形，平面，平面，則，，，平面，則平面，、平面，，，則，故，平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，設(shè)點，由可得，化簡可得，即點的軌跡為圓，當(dāng)點到平面的距離最大時，四棱錐的體積最大，不妨設(shè)點，設(shè)三棱錐的球心為，由，可得，解得，所以，三棱錐的外接球球心為，球的半徑為，因此，三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：.【點睛】方法點睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；④坐標法：建立空間直角坐標系，設(shè)出外接球球心的坐標，根據(jù)球心到各頂點的距離相等建立方程組，求出球心坐標，利用空間中兩點間的距離公式可求得球的半徑.四、解答題17．已知，；(1)若，求實數(shù)的值；(2)若，且，求的坐標．【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用，即可計算求解.（2）由已知，可設(shè)，根據(jù)，列方程即可求出.【詳解】（1）由已知得，，得，解得（2）設(shè)，由，可得，得到，求得，，則或18．已知橢圓的兩個焦點坐標分別是，，并且經(jīng)過點．（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線與橢圓交于?兩點，求中點的坐標．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由橢圓的焦點坐標和橢圓的定義，可得橢圓的標準方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出中點的坐標．【詳解】（1）由于橢圓的焦點在軸上，所以設(shè)它的標準方程為，由橢圓定義知，，所以，所以，所求橢圓標準方程為．（2）設(shè)直線與橢圓的交點為，，聯(lián)立方程，得，得，．設(shè)的中點坐標為，則，，所以中點坐標為．19．已知在三棱柱中，底面是正三角形，底面，，，點，分別為側(cè)棱和邊的中點．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見詳解；(2)；(3)【分析】（1）取的中點，以為原點建立空間直角坐標系，寫出對應(yīng)點的坐標，從而得的坐標，即可由向量數(shù)量積公式證明得，，由線面垂直的判定定理可證明得平面；（2）由（1）得平面的一個法向量，再由，根據(jù)向量法計算線面夾角的正弦值；（3）設(shè)平面的法向量為，由數(shù)量積列式計算，再由平面的一個法向量，根據(jù)向量法求解面面角的余弦值.【詳解】（1）取的中點，連接，，則，平面.如圖，以為原點，分別以，，的方向為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，依題意，可得：，，，，，．∵，，，∴，，即，.又，平面.∴平面.（2）由（1）知平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成角為，∵，∴，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）設(shè)平面的法向量為，∵，，∴，即，解得．由（1）可知平面的一個法向量，設(shè)二面角的平面角為，易知，∴，所以二面角的余弦值為.20．已知圓經(jīng)過，兩點，且圓心在直線：上.(1)求圓的方程；(2)已知過點的直線與圓相交，被圓截得的弦長為，求直線的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）因為垂徑定理得到圓心在的垂直平分線上，從而求得圓心坐標以及圓的方程；（2）由于弦長已知，半徑已知，可以求得圓心到直線的距離，并將直線分為斜率存在和斜率不存在，從而通過圓心到直線的距離公式，得到直線的方程.【詳解】（1）線段的中點為，直線的斜率為，所以線段的垂直平分線為，即又因為圓心在直線：上由解得，所以圓心為，半徑為，所以圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，由，得或即直線與圓相交所得弦長為符合題意.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，由于圓到的距離，所以，解得所以，即綜上所述，直線的方程為或.21．如圖，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直線，且，且∥．（Ⅰ）設(shè)點為棱中點，求證：平面；（Ⅱ）線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值等于？若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）當(dāng)點與點重合時，直線與平面所成角的正弦值為，理由見解析．【詳解】（1）證明：由已知，平面平面，且，則平面，所以兩兩垂直，故以為原點，分別為軸軸,軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，所以.易知平面的一個法向量等于，所以，所以，又平面，所以平面.（2）當(dāng)點與點重合時，直線與平面所成角的正弦值為.理由如下：因為，設(shè)平面的法向量為，由，得，即，得平面的一個法向量等于，假設(shè)線段上存在一點，使得直線與平面所成的角的正弦值等于.設(shè)，則.所以.所以，解得或(舍去)因此，線段上存在一點，當(dāng)點與點重合時，直線與平面所成角的正弦值等于.22．已知橢圓：的長軸為雙曲線的實軸，且橢圓過點．(1)求橢圓的標準方程：(2)設(shè)點，是橢圓上異于點的兩個不同的點，直線與的斜率均存在，分別記為，，若，試問直線是否經(jīng)過定點，若經(jīng)過，求出定點坐標；若不經(jīng)過，請說明理由．【答案】(1)(2)直線AB恒過定點．【分析】（1）由題意可得，，求出，從而可得橢圓方程，（2）討論直線AB的斜率存在和不存在兩種情況討論，設(shè)出直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出直線PA與PB的斜率，再由列方程可得參數(shù)的關(guān)系，代入直線方程可求出直線恒過的定點．【詳解】（1）因為橢圓C：的長軸為雙曲線的實軸，所以，因為橢圓C過點，所以，即，得所以橢圓方程為，（2）①當(dāng)直線A