數(shù)學模型與大學生數(shù)學建模簡介

數(shù)學建模與大學生數(shù)學建模競賽主講教師：呂紅數(shù)學建模競賽

——什么是數(shù)學建模競賽?

數(shù)學競賽給人的印象是高深莫測的數(shù)學難題，和一個人、一支筆、一張紙，關在屋子里的冥思苦想，它訓練嚴密的邏輯推理和準確的計算能力，而數(shù)學建模競賽從內(nèi)容到形式與此都有明顯的不同。數(shù)學建模競賽的題目由日常生活、工程技術(shù)和管理科學中的實際問題簡化加工而成，大家可以從歷年的賽題中看到，它們對數(shù)學知識要求不深，一般沒有事先設定的標準答案，但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神。

1992年由中國工業(yè)與應用數(shù)學學會(CSIAM)組織第一次競賽全國大學生數(shù)學建模競賽http://年份省（市、自治區(qū)）數(shù)院校數(shù)隊數(shù)199210793141993161014201994211968671995232591234199625337168319972637318741998264002103199926460265720002751732102001275293861200229571445820033063854062004307216881200630864998520073096911742200831102212836美國大學生數(shù)學建模競賽http://

1985年開始舉辦數(shù)學建模競賽(MCM)1999年開始增辦交叉學科競賽(ICM).年參賽國數(shù)參賽總隊數(shù)美國隊數(shù)中國隊數(shù)20009495282169200111579304236200211628328270200386383053002004974229939820059808282514200891164849競賽內(nèi)容：題目由工程技術(shù)、管理科學中的實際問題簡化而成，沒有事先設定的標準答案，但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神。競賽形式：三名大學生組成一隊，可以自由地收集資料、調(diào)查研究，使用計算機、互聯(lián)網(wǎng)和任何軟件，在三天時間內(nèi)分工合作完成一篇論文。評獎標準：假設的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性、文字表述的清晰程度。全國大學生數(shù)學建模競賽大學生數(shù)學建模競賽競賽宗旨開拓知識面提高應用能力培養(yǎng)創(chuàng)造精神增強合作意識運用學過的數(shù)學知識和計算機（包括選擇合適的數(shù)學軟件）分析和解決實際問題的能力面對復雜事物的想象力、洞察力、創(chuàng)造力和獨立進行研究的能力關心、投身國家經(jīng)濟建設的意識和理論聯(lián)系實際的學風團結(jié)合作精神和進行協(xié)調(diào)的組織能力勇于參與的競爭意識和不怕困難、奮力攻關的頑強意志查閱文獻、收集資料及撰寫科技論文的文字表達能力數(shù)學建模競賽培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神，提高學生綜合素質(zhì)身邊的數(shù)學當你準備分期貸款購買一所新居時，面對五花八門的還款方式（期限、利率不同，按月或按年償還，…），哪一種最有利。用不太深的數(shù)學就能準確地回答你的問題。你注意過錄象機計數(shù)器數(shù)字的跳動嗎。這里有什么規(guī)律嗎。你找到規(guī)律，就可以根據(jù)計數(shù)器的讀數(shù)算出錄象帶已經(jīng)走過了多長時間，也就知道未轉(zhuǎn)過的那段帶子能否錄下一定時間的一個節(jié)目。身邊的數(shù)學模型

模型無處不在。你的照片就是反映你容貌的模型；地圖是用特定的符號表示山川、道路的模型。數(shù)學模型當然更抽象些，它是由數(shù)字、字母和數(shù)學符號組成的、描述研究對象數(shù)量規(guī)律的公式、圖表或者程序。解決分期貸款和計數(shù)器讀數(shù)那兩個問題，就要建立數(shù)學模型。一般地說，當人們設計產(chǎn)品參數(shù)、規(guī)劃交通網(wǎng)絡、制定生產(chǎn)計劃、控制工藝過程、預報經(jīng)濟增長、確定投資方案時，都需要將研究對象的內(nèi)在規(guī)律用數(shù)學的語言和方法表述出來，并將求解得到的數(shù)量結(jié)果返回到實際對象的問題中去。在決策科學化、定量化呼聲日漸高漲的今天，數(shù)學建模幾乎是無處不在的。什么是數(shù)學模型對于現(xiàn)實中的原型，為了某個特定目的，作出一些必要的簡化和假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具得到一個數(shù)學結(jié)構(gòu)。也可以說，數(shù)學建模是利用數(shù)學語言（符號、方程與圖象）模擬現(xiàn)實的模型。把現(xiàn)實模型抽象、簡化為某種數(shù)學結(jié)構(gòu)是數(shù)學模型的基本特征。它或者能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實狀態(tài)，或者能預測到對象的未來狀況，或者能提供處理對象的最優(yōu)決策或控制。什么是數(shù)學建模把現(xiàn)實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數(shù)學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數(shù)學模型所提供的解答來解釋現(xiàn)實問題，我們把數(shù)學知識的這一應用過程稱為數(shù)學建模。數(shù)學建模的幾個過程1、模型準備

2、模型假設3、模型建立

4、模型構(gòu)成5、模型求解

6、模型分析7、模型檢驗8、模型應用

goon......模型準備了解問題的實際背景，明確其實際意義與建模目的，掌握對象的各種信息（要收集）。用數(shù)學語言來描述問題。模型假設根據(jù)實際對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的、合理的簡化，并用精確的語言提出一些恰當?shù)募僭O，是建模至關重要的一步。如果對問題的所有因素一概考慮，無疑是一種有勇氣但方法欠佳的行為，所以高超的建模者能充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別主次，而且為了使處理方法簡單，應盡量使問題線性化、均勻化。模型建立在假設的基礎上，利用適當?shù)臄?shù)學工具來刻劃各變量之間的數(shù)學關系，建立相應的數(shù)學結(jié)構(gòu)。（盡量用簡單的數(shù)學工具）模型構(gòu)成根據(jù)所作的假設分析對象的因果關系，利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當?shù)臄?shù)學工具，構(gòu)造各個量間的等式關系或其它數(shù)學結(jié)構(gòu)。有高數(shù)、概率統(tǒng)計、圖論、排隊論、線性規(guī)劃、對策論等等。但要牢記，建立數(shù)學模型是為了讓更多的人明了并能加以應用，因此工具愈簡單愈有價值。模型求解利用獲取的數(shù)據(jù)資料，對模型的所有參數(shù)做出計算（估計）?？梢圆捎媒夥匠?、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數(shù)值運算等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學方法，特別是計算機技術(shù)。一道實際問題的解決往往需要紛繁的計算，許多時候還得將系統(tǒng)運行情況用計算機模擬出來，因此編程和熟悉數(shù)學軟件包能力便舉足輕重。要求：掌握matlab,mathematica,lingo,sas等之一.模型分析對所得的結(jié)果進行數(shù)學上的分析，能否對模型結(jié)果作出細致精當?shù)姆治?，決定了你的模型能否達到更高的檔次。要記住，不論那種情況都需進行誤差分析，數(shù)據(jù)穩(wěn)定性分析。模型檢驗將模型分析結(jié)果與實際情形進行比較，以此來驗證模型的準確性、合理性和適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算結(jié)果給出其實際含義，并進行解釋。如果模型與實際吻合較差,則應該修改假設，再次重復建模過程。模型分類（1）1、按模型的應用領域分類：生物數(shù)學模型醫(yī)學數(shù)學模型地質(zhì)數(shù)學模型數(shù)量經(jīng)濟學模型數(shù)學社會學模型2、按是否考慮隨機因素分類：確定性模型隨機性模型3、按是否考慮模型的變化分類：靜態(tài)模型動態(tài)模型模型分類（2）4、按應用離散方法或連續(xù)方法分類：離散模型連續(xù)模型5、按建立模型的數(shù)學方法分類：幾何模型微分方程模型圖論模型規(guī)劃論模型馬氏鏈模型模型分類（3）6、按人們對是物發(fā)展過程的了解程度分類：（1）白箱模型：指那些內(nèi)部規(guī)律比較清楚的模型。如力學、熱學、電學以及相關的工程技術(shù)問題。（2）灰箱模型：指那些內(nèi)部規(guī)律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做的問題。如氣象學、生態(tài)學經(jīng)濟學等領域的模型。（3）黑箱模型：指一些其內(nèi)部規(guī)律還很少為人們所知的現(xiàn)象。如生命科學、社會科學等方面的問題。但由于因素眾多、關系復雜，也可簡化為灰箱模型來研究。現(xiàn)實對象的信息數(shù)學模型現(xiàn)實對象的解答數(shù)學模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)現(xiàn)實世界數(shù)學世界數(shù)學建模的全過程大學生數(shù)學建模競賽1.九月底競賽2.三人一隊，賽三天。3.兩個實際問題，選一題。4.研究、計算、解決，完成一篇論文。近幾年全國大學生數(shù)學建模競賽題近幾年全國大學生數(shù)學建模競賽題1996年B題節(jié)水洗衣機我國淡水資源有限,節(jié)約用水人人有責.洗衣機在家庭中占有相當大的份額,目前洗衣機已非常普及,節(jié)約洗衣機用水十分重要.假設在放入衣物和洗滌劑后洗衣機的運行過程為:加水—漂洗—脫水--加水—漂洗—脫水--…--加水—漂洗—脫水(稱“加水—漂洗—脫水”為運行一輪).請為洗衣機設計一種程序(包括運行多少輪\每輪加入水量等),使得在滿足一定洗滌效果的條件下,總量最少.選用合理的數(shù)據(jù)進行計算.對照目前常用的洗衣機的運行情況,對你的模型和結(jié)果作出評價.參考網(wǎng)址：/近幾年全國大學生數(shù)學建模競賽題2001年B題公交車調(diào)度考慮一條公交線路上公交車的調(diào)度問題，其數(shù)據(jù)來自我國一座特大城市某條公交線路的客流調(diào)查和運營資料。該條公交線路上行方向共14站，下行方向共13站，給出的是典型的一個工作日兩個運行方向各站上下車的乘客數(shù)量統(tǒng)計。公交公司配給該線路同一型號的大客車，每輛標準載客100人，據(jù)統(tǒng)計客車在該線路上運行的平均速度為20公里/小時。運營調(diào)度要求，乘客候車時間一般不要超過10分鐘，早高峰時一般不要超過5分鐘，車輛滿載率不應超過120%，一般也不要低于50%。試根據(jù)這些資料和要求，為該線路設計一個便于操作的全天（工作日）的公交車調(diào)度方案，包括兩個起點站的發(fā)車時刻表；一共需要多少輛車；這個方案以怎樣的程度照顧到了乘客和公交公司雙方的利益；等等。

2008年北京奧運會地區(qū)臨時超市點網(wǎng)設計

（2004年全國大學生建模比賽A題）比賽題目：2008年北京奧運會主館場周邊臨時商亭網(wǎng)點設計

為了了解觀眾的購物需求和人流量的規(guī)律，假設我們在已經(jīng)建設好的某運動場，舉辦了三次運動會，對觀眾發(fā)放問卷調(diào)查，采集相關數(shù)據(jù)，供解題者使用。

2008年北京奧運會的建設工作已經(jīng)進入全面設計和實施階段。奧運會期間，在比賽場館的周邊地區(qū)必須建設一個由小型商亭構(gòu)建的臨時商業(yè)網(wǎng)點。我們稱之為迷你超市（MS）網(wǎng)，主要滿足運動員，觀眾，游客，工作人員在奧運會期間購物需求，經(jīng)營食品、旅游用品、奧運紀念品、文體用品和小日用品等等。在比賽場館周邊地區(qū)設置這種MS，在地點、大小類型和總量方面，必須滿足三個基本要求：滿足奧運會期間的購物需求、分布基本均衡和商業(yè)上贏利。顯然，這是一個必須用科學的方法解決的問題。在本題卷中給出了奧運會主要比賽場館的規(guī)劃圖，是解決上述問題的地理平臺。作為真實地圖的簡化，在本頁結(jié)構(gòu)圖中僅保留了與上述問題有關的地區(qū)，以及相關內(nèi)容：道路、公交車站、出租車站、自駕車停車場、地鐵、餐飲部門等。并在答卷論文中明確回答以下必答問題：假定每位觀眾出行平均兩次，一次為進出場館，一次為餐飲。并且出行均采取最短路徑。請你依據(jù)附錄中給出的問卷調(diào)查數(shù)據(jù)所反映的規(guī)律，測算圖中20個商區(qū)內(nèi)人流量分布（用百分比）。

2.請你設計MS類型（可以分兩種大小不同規(guī)模），在20個商區(qū)內(nèi)的分布（每個商區(qū)內(nèi)不同類型MS的個數(shù)），以滿足“題目描述”中的三個基本要求。

3．闡明你的方法的科學性和結(jié)果是貼近實際的。

問題：對結(jié)構(gòu)圖上標明的比賽場館周邊地區(qū)規(guī)定的商區(qū)（地圖上標有A、B、C及編號的黃色填充的區(qū)域）內(nèi)設計網(wǎng)點。說明:1．商業(yè)上用“商圈”來描述商店的覆蓋范圍。影響商店選址的主要因素是商圈內(nèi)的人流量，以及購物欲望。2．為簡化，假定鳥巢（國家體育場）容量10萬人，水立方（國家游泳中心）容納4萬人，國家體育館可容納6萬人。每個看臺容1萬人，出口對準一個商區(qū)，各商區(qū)面積相同，圖中白色為人行道路。題目的背景命題的創(chuàng)意和設計貼近實際：通用型和實用性提高開放性：淺無邊與深無底重在建模：數(shù)學模型與數(shù)據(jù)模型原型的目的：在奧運館場優(yōu)化設計臨時小超市（MS）分析結(jié)構(gòu)并抽象出專業(yè)模型：1對于設計環(huán)境抽象出與目的有關的館場結(jié)構(gòu)圖。2抽取影響設計MS的主要因素：人流量，因此在以上館場結(jié)構(gòu)圖中，應該存在一個人流分布結(jié)構(gòu)。3理解設計的三條原則：滿足購物需求、商業(yè)上贏利、分布均衡。實質(zhì)上是在以上兩種結(jié)構(gòu)之上加上限制性結(jié)構(gòu)——約束。用自然語言表述了原型及目的涉及的結(jié)構(gòu)以及結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，這種專業(yè)模型實際上在題目中已經(jīng)給出，只要理解并再清楚地表述。課程形式設計1、授課2、課后小組討論：3~5人一組3、各位同學課堂上講授（5~10分鐘）4、上機實驗每年出兩道題(甲組:A,B題;乙組:C,D題),任選一題