第三者微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第三章中值定理應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、羅爾(Rolle)定理第一節(jié)二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理第三章費(fèi)馬(fermat)引理一、羅爾(Rolle)定理且存在證:

設(shè)則費(fèi)馬證畢羅爾（Rolle

）定理滿足:(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)

f(a)=f(b)使在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)注意:1)定理?xiàng)l件條件不全具備,結(jié)論不一定成立例如,二、拉格朗日中值定理(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)滿足:(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn)使思路:利用逆向思維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然,在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且證:問題轉(zhuǎn)化為證由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)即定理結(jié)論成立.拉氏證畢推論:若函數(shù)在區(qū)間I

上滿足則在

I上必為常數(shù).證:

在

I

上任取兩點(diǎn)格朗日中值公式,得由的任意性知,在

I

上為常數(shù).三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使?jié)M足:問題轉(zhuǎn)化為證柯西構(gòu)造輔助函數(shù)證:

作輔助函數(shù)且使即由羅爾定理知,至少存在一點(diǎn)思考:

柯西定理的下述證法對(duì)嗎?兩個(gè)

不一定相同錯(cuò)!上面兩式相比即得結(jié)論.費(fèi)馬(1601–1665)費(fèi)馬法國數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛好.他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻(xiàn).他特別愛好數(shù)論,他提出的費(fèi)馬大定理:歷經(jīng)358年,直到1993年才由美國普林斯頓大學(xué)的安德魯.懷爾斯教授經(jīng)過十年的潛心研究才得到解決.引理是后人從他研究解決最值的方法中提煉出來的.拉格朗日(1736–1813)法國數(shù)學(xué)家.他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn),近百余年來,數(shù)學(xué)中的許多成就都可直接或間接地追溯到他的工作,他是對(duì)分析數(shù)學(xué)產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.柯西(1789–1857)法國數(shù)學(xué)家,他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),《柯西全集》共有27卷.其中最重要的是為巴黎綜合學(xué)校編寫的《分析教程》,《無窮小分析概論》,《微積分在幾何上的應(yīng)用》等,有思想有創(chuàng)建,廣泛而深遠(yuǎn).對(duì)數(shù)學(xué)的影響他是經(jīng)典分析的奠基人之一,他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動(dòng)了分析數(shù)學(xué)的發(fā)展.復(fù)變函數(shù)和微分方程方面.一生發(fā)表論文800余篇,著書7本,三、其他未定式二、型未定式一、型未定式第二節(jié)洛必達(dá)法則第三章微分中值定理函數(shù)的性態(tài)導(dǎo)數(shù)的性態(tài)函數(shù)之商的極限導(dǎo)數(shù)之商的極限

轉(zhuǎn)化(或型)本節(jié)研究:洛必達(dá)法則洛必達(dá)一、存在(或?yàn)?定理1.型未定式(洛必達(dá)法則)例.求解:原式注意:

不是未定式不能用洛必達(dá)法則!洛洛二、型未定式存在(或?yàn)椤?定理2.證:僅就極限存在的情形加以證明.(洛必達(dá)法則)例

求解:原式

若例如,極限不存在不能用洛必達(dá)法則!即洛必達(dá)(1661–1704)法國數(shù)學(xué)家,他著有《無窮小分析》(1696),并在該書中提出了求未定式極限的方法,后人將其命名為“洛必達(dá)法的擺線難題,以后又解出了伯努利提出的“最速降線”問題,在他去世后的1720年出版了他的關(guān)于圓錐曲線的書.則”.他在15歲時(shí)就解決了帕斯卡提出第三節(jié)一、函數(shù)單調(diào)性的判定法二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性第三章一、函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理1.

設(shè)函數(shù)則在I

內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).在開區(qū)間I

內(nèi)可導(dǎo),例.

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為例.

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)減區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為定義.

設(shè)函數(shù)在區(qū)間

I

上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱圖形是凸的.二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)

.拐點(diǎn)定理2.(凹凸判定法)(1)在

I內(nèi)則f(x)在I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在

I內(nèi)則f(x)在

I

內(nèi)圖形是凸的.設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)例.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是凹的.說明:1)若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為0,2)根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理,可得拐點(diǎn)的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號(hào),則點(diǎn)是曲線的一個(gè)拐點(diǎn).則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),對(duì)應(yīng)例5.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得3)