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文檔簡(jiǎn)介
§2.6隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題:已知X
的分布,求Y=g(X)的分布?例如:Y1=4X+3;Y2=|X|;Y3=X2.1沐風(fēng)書苑i
當(dāng)X為離散隨機(jī)變量時(shí),Y=g(X)為離散隨機(jī)變量.
將g(xi)一一列出,再將相等的值合并即可.
2.6.1離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布2沐風(fēng)書苑i2.6.2連續(xù)隨機(jī)變量函數(shù)的分布定理2.6.1
設(shè)X~pX(x),取值范圍為[c,d];y=g(x)是x的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),記x=h(y)為y=g(x)的反函數(shù),且h(y)連續(xù)可導(dǎo),則Y=g(X)的密度函數(shù)為:1.公式法3沐風(fēng)書苑i例2.6.1
設(shè)X~求Y=eX的分布.y=ex
單調(diào)可導(dǎo),反函數(shù)x=h(y)=lny,所以當(dāng)y>0時(shí),由此得解:4沐風(fēng)書苑i正態(tài)變量的線性不變性定理2.6.2
設(shè)X~N(,2),則當(dāng)a
0時(shí),
Y=aX+b~N(a+b,a22).由此得:
若X~N(,2),則Y=(X
)/
N(0,1).5沐風(fēng)書苑i例2.6.2(1)設(shè)X~N(10,22),求
Y=3X+5
的分布;(2)設(shè)X~N(0,22),求
Y=-X的分布.6沐風(fēng)書苑i對(duì)數(shù)正態(tài)分布定理2.6.3
設(shè)X~N(,2),則
Y=e
X的服從7沐風(fēng)書苑i伽瑪分布的有用結(jié)論定理2.6.4
設(shè)X~Ga(,),則當(dāng)k
>0時(shí),
Y=kX~Ga(,/k).8沐風(fēng)書苑i2.分布函數(shù)法步驟:1、由X的取值范圍確定Y=g(X)的取值范圍;2、由分布函數(shù)的定義求Y=g(X)的分布函數(shù):
FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y};
3、由分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系求得Y=g(X)的概率密度。9沐風(fēng)書苑i均勻分布的有用結(jié)論
定理2.6.5
設(shè)X~FX
(x),若FX
(x)為嚴(yán)格單調(diào)增的連續(xù)函數(shù),則Y=FX
(X)
~U(0,1).10沐風(fēng)書苑i例2.6.3
設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,1),求隨機(jī)變量Y=X2的概率密度函數(shù)。例2.6.4
設(shè)X的概率密度函數(shù)為11沐風(fēng)書苑i§2.7
分布的其它特征數(shù)矩、變異系數(shù)、分位數(shù)、中位數(shù)12沐風(fēng)書苑i2.7.1
k
階原點(diǎn)矩和中心矩
k階原點(diǎn)矩:k
=E(Xk),k=1,2,….
注意:
1=E(X).
k階中心矩:k
=E[XE(X)]k
,k=1,2,….
注意:
2=Var(X).
定義2.7.113沐風(fēng)書苑i2.7.2
變異系數(shù)方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)反映了隨機(jī)變量取值的波動(dòng)程度,但在比較兩個(gè)隨機(jī)變量大小時(shí)會(huì)產(chǎn)生不合理的現(xiàn)象。原因有二:(1)方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)是有量綱的;(2)有一個(gè)相對(duì)性問題,取值較大的隨機(jī)變量的方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)也允許大一些。14沐風(fēng)書苑i定義2.7.2
為X的變異系數(shù).作用:稱CV是無量綱的量,用于比較量綱不同的兩個(gè)隨機(jī)變量的波動(dòng)大小.15沐風(fēng)書苑i2.7.3
分位數(shù)P(Xxp)=F(xp)=p定義2.7.3
設(shè)0<p<1,若xp
滿足則稱xp
為此分布p-
分位數(shù),亦稱xp
為下側(cè)
p-
分位數(shù).16沐風(fēng)書苑i注意點(diǎn)(1)因?yàn)閄
小于等于xp的可能性為
p
,所以X大于xp的可能性為1p.(2)對(duì)離散分布不一定存在
p-
分位數(shù).(3)
17沐風(fēng)書苑i上側(cè)p--
分位數(shù)若記xp
為上側(cè)
p-
分位數(shù),即則P(Xxp
)=p
18沐風(fēng)書苑i2.7.4
中位數(shù)定義2.7.4
稱p=0.5時(shí)的p
分位數(shù)x0.5為中位數(shù).中位數(shù)是反映隨機(jī)變量位置的特征數(shù),即隨機(jī)變量取值的中心.19沐風(fēng)書苑i中位數(shù)與均值
相同點(diǎn):都是反映隨機(jī)變量的位置特征.
不同點(diǎn):含義不同.有時(shí)中位數(shù)比均值更能說明問題.若分布是對(duì)稱的,則中位數(shù)=均值.20沐風(fēng)書苑i統(tǒng)計(jì)中常用的p
-
分位數(shù)(1)N(0,1):Z,U(2)2(n):(3)t(n):(4)F(n,m):21沐風(fēng)書苑i2.7.5
偏度系數(shù)定義2.7.5
設(shè)隨機(jī)變量X的三階矩存在,則稱為X的分布的偏度系數(shù),簡(jiǎn)稱偏度.正態(tài)分布N(,2)的偏度
1=0.
22沐風(fēng)書苑i2.7.5
峰度系數(shù)定義2.7.5
設(shè)隨機(jī)變量X的四階矩存在,則稱為X的分布的峰度系數(shù),簡(jiǎn)稱峰度.正態(tài)分布N(,2)的峰度
2=0.
23沐風(fēng)書苑i偏度與峰度
相同點(diǎn):都是反映分布的形態(tài)特征.
不同點(diǎn):含義不同.偏度刻畫的是分布的對(duì)稱性,峰度刻畫的是分布的峰峭性.24沐風(fēng)書苑i習(xí)題講解25沐風(fēng)書苑i例1
從某大學(xué)到火車站途中有6個(gè)交通崗,假設(shè)在各個(gè)交通崗是否遇到紅燈相互獨(dú)立,并且遇到紅燈的概率都是1/3。(1)設(shè)X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù),求X的分布律;(2)求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率。解
(1)由題意,X~B(6,1/3),故X的分布律為:26沐風(fēng)書苑i例2
設(shè)某國(guó)每對(duì)夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為的泊松分布,且知一對(duì)夫婦有不超過1個(gè)孩子的概率為3e-2。求任選一對(duì)夫婦,至少有3個(gè)孩子的概率。 解由題意27沐風(fēng)書苑i例3
設(shè)隨機(jī)變量X~U[1,6]
,求一元兩次方程t2+Xt+1=0有實(shí)根的概率。解當(dāng)Δ=X2-4≥0時(shí),方程有實(shí)根。所求概率為而X的密度函數(shù)為另解28沐風(fēng)書苑i例4
長(zhǎng)途汽車起點(diǎn)站于每時(shí)的10分、25分、55分發(fā)車,設(shè)乘客不知發(fā)車時(shí)間,于每小時(shí)的任意時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)車站,求乘客候車時(shí)間超過10分鐘的概率。解設(shè)A—乘客候車時(shí)間超過10分鐘,X—乘客于某時(shí)X分鐘到達(dá),則XU(0,60)29沐風(fēng)書苑i例5
設(shè)有一項(xiàng)工程有甲、乙兩家公司投標(biāo)承包。甲公司要求投資2.8億元,但預(yù)算外開支波動(dòng)較大,設(shè)實(shí)際費(fèi)用X~N(2.8,0.52)。乙公司要求投資3億元,但預(yù)算外開支波動(dòng)較小,設(shè)實(shí)際費(fèi)用Y~N(3,0.22)?,F(xiàn)假定工程資方掌握資金(1)3億元,(2)3.4億元,為了在這兩種情況下,不至造成資金赤字,選擇哪家公司來承包較為合理?解(1)工程資方掌握資金3億元。若委托甲公司承包若委托乙公司承包標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表=0.6554(2)請(qǐng)自己完成。委托甲公司承包較為合理。30沐風(fēng)書苑i例6一種電子元件的使用壽命X(小時(shí))服從正態(tài)分布N(100,152),某儀器上裝有3個(gè)這種元件,三個(gè)元件損壞與否是相互獨(dú)立的。求:使用的最初90小時(shí)內(nèi)無一元件損壞的概率.
其中故解設(shè)Y為使用的最初90小時(shí)內(nèi)損壞的元件數(shù),則
Y~b(3,p)31沐風(fēng)書苑i例7設(shè)XU(-1,1),求Y=X2的分布函數(shù)與概率密度。當(dāng)y<0時(shí),當(dāng)0≤y<1時(shí)當(dāng)y≥1時(shí)解32沐風(fēng)書苑i例8設(shè)國(guó)際市場(chǎng)上每年對(duì)我國(guó)某種出口商品的需求量是隨機(jī)變量X(單位噸),它服從[2000,4000]上的均勻分布。若售出這種商品1噸,可賺3萬元,但若銷售不出去,則每噸需付倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)1萬元,問該商品應(yīng)出口多少噸才可使平均收益最大?解由題意可知X的密度函數(shù)為設(shè)每年出口該商品y噸,(2000≤y≤4000),則收益可知y=3500時(shí),E(Y)取到最大值,故出口3500噸此商品才可使平均收益最大。33沐風(fēng)書苑i34沐風(fēng)書苑i35沐風(fēng)書苑i36沐風(fēng)書苑i37沐風(fēng)書苑i38沐風(fēng)書苑i39沐風(fēng)書苑i
P115習(xí)題2.5#10
某種設(shè)備的使用壽命X(以年計(jì))服從指數(shù)分布,其平均壽命為4年.制造此種設(shè)備的廠家規(guī)定,若設(shè)備在使用一年之內(nèi)損壞,則可以予以調(diào)換.如果設(shè)備制造廠每售出一臺(tái)
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