隨機(jī)變量的函數(shù)的分布（沐風(fēng)書苑）

§2.6隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題：已知X

的分布，求Y=g(X)的分布?例如：Y1=4X+3；Y2=|X|；Y3=X2.1沐風(fēng)書苑i

當(dāng)X為離散隨機(jī)變量時(shí)，Y=g(X)為離散隨機(jī)變量.

將g(xi)一一列出,再將相等的值合并即可.

2.6.1離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布2沐風(fēng)書苑i2.6.2連續(xù)隨機(jī)變量函數(shù)的分布定理2.6.1

設(shè)X~pX(x)，取值范圍為[c,d];y=g(x)是x的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，記x=h(y)為y=g(x)的反函數(shù),且h(y)連續(xù)可導(dǎo)，則Y=g(X)的密度函數(shù)為:1.公式法3沐風(fēng)書苑i例2.6.1

設(shè)X~求Y=eX的分布.y=ex

單調(diào)可導(dǎo),反函數(shù)x=h(y)=lny,所以當(dāng)y>0時(shí),由此得解：4沐風(fēng)書苑i正態(tài)變量的線性不變性定理2.6.2

設(shè)X~N(,2)，則當(dāng)a

0時(shí)，

Y=aX+b~N(a+b,a22).由此得：

若X~N(,2)，則Y=(X

)/

N(0,1).5沐風(fēng)書苑i例2.6.2(1)設(shè)X~N(10,22)，求

Y=3X+5

的分布;(2)設(shè)X~N(0,22)，求

Y=-X的分布.6沐風(fēng)書苑i對(duì)數(shù)正態(tài)分布定理2.6.3

設(shè)X~N(,2)，則

Y=e

X的服從7沐風(fēng)書苑i伽瑪分布的有用結(jié)論定理2.6.4

設(shè)X~Ga(,)，則當(dāng)k

>0時(shí)，

Y=kX~Ga(,/k).8沐風(fēng)書苑i2.分布函數(shù)法步驟：1、由X的取值范圍確定Y=g(X)的取值范圍；2、由分布函數(shù)的定義求Y=g(X)的分布函數(shù)：

FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y}；

3、由分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系求得Y=g(X)的概率密度。9沐風(fēng)書苑i均勻分布的有用結(jié)論

定理2.6.5

設(shè)X~FX

(x)，若FX

(x)為嚴(yán)格單調(diào)增的連續(xù)函數(shù)，則Y=FX

(X)

~U(0,1).10沐風(fēng)書苑i例2.6.3

設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,1),求隨機(jī)變量Y=X2的概率密度函數(shù)。例2.6.4

設(shè)X的概率密度函數(shù)為11沐風(fēng)書苑i§2.7

分布的其它特征數(shù)矩、變異系數(shù)、分位數(shù)、中位數(shù)12沐風(fēng)書苑i2.7.1

k

階原點(diǎn)矩和中心矩

k階原點(diǎn)矩：k

=E(Xk)，k=1,2,….

注意:

1=E(X).

k階中心矩：k

=E[XE(X)]k

，k=1,2,….

注意:

2=Var(X).

定義2.7.113沐風(fēng)書苑i2.7.2

變異系數(shù)方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）反映了隨機(jī)變量取值的波動(dòng)程度，但在比較兩個(gè)隨機(jī)變量大小時(shí)會(huì)產(chǎn)生不合理的現(xiàn)象。原因有二：（1）方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）是有量綱的；（2）有一個(gè)相對(duì)性問題，取值較大的隨機(jī)變量的方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）也允許大一些。14沐風(fēng)書苑i定義2.7.2

為X的變異系數(shù).作用：稱CV是無量綱的量,用于比較量綱不同的兩個(gè)隨機(jī)變量的波動(dòng)大小.15沐風(fēng)書苑i2.7.3

分位數(shù)P(Xxp)=F(xp)=p定義2.7.3

設(shè)0<p<1，若xp

滿足則稱xp

為此分布p-

分位數(shù)，亦稱xp

為下側(cè)

p-

分位數(shù).16沐風(fēng)書苑i注意點(diǎn)(1)因?yàn)閄

小于等于xp的可能性為

p

，所以X大于xp的可能性為1p.(2)對(duì)離散分布不一定存在

p-

分位數(shù).(3)

17沐風(fēng)書苑i上側(cè)p--

分位數(shù)若記xp

為上側(cè)

p-

分位數(shù)，即則P(Xxp

)=p

18沐風(fēng)書苑i2.7.4

中位數(shù)定義2.7.4

稱p=0.5時(shí)的p

分位數(shù)x0.5為中位數(shù).中位數(shù)是反映隨機(jī)變量位置的特征數(shù)，即隨機(jī)變量取值的中心.19沐風(fēng)書苑i中位數(shù)與均值

相同點(diǎn)：都是反映隨機(jī)變量的位置特征.

不同點(diǎn)：含義不同.有時(shí)中位數(shù)比均值更能說明問題.若分布是對(duì)稱的，則中位數(shù)=均值.20沐風(fēng)書苑i統(tǒng)計(jì)中常用的p

-

分位數(shù)(1)N(0,1)：Z,U(2)2(n)：(3)t(n)：(4)F(n,m)：21沐風(fēng)書苑i2.7.5

偏度系數(shù)定義2.7.5

設(shè)隨機(jī)變量X的三階矩存在，則稱為X的分布的偏度系數(shù)，簡(jiǎn)稱偏度.正態(tài)分布N（，2）的偏度

1=0.

22沐風(fēng)書苑i2.7.5

峰度系數(shù)定義2.7.5

設(shè)隨機(jī)變量X的四階矩存在，則稱為X的分布的峰度系數(shù)，簡(jiǎn)稱峰度.正態(tài)分布N（，2）的峰度

2=0.

23沐風(fēng)書苑i偏度與峰度

相同點(diǎn)：都是反映分布的形態(tài)特征.

不同點(diǎn)：含義不同.偏度刻畫的是分布的對(duì)稱性，峰度刻畫的是分布的峰峭性.24沐風(fēng)書苑i習(xí)題講解25沐風(fēng)書苑i例1

從某大學(xué)到火車站途中有6個(gè)交通崗,假設(shè)在各個(gè)交通崗是否遇到紅燈相互獨(dú)立,并且遇到紅燈的概率都是1/3。(1)設(shè)X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù),求X的分布律；(2)求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率。解

(1)由題意，X~B(6,1/3)，故X的分布律為：26沐風(fēng)書苑i例2

設(shè)某國(guó)每對(duì)夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為的泊松分布,且知一對(duì)夫婦有不超過1個(gè)孩子的概率為3e-2。求任選一對(duì)夫婦,至少有3個(gè)孩子的概率。 解由題意27沐風(fēng)書苑i例3

設(shè)隨機(jī)變量X~U[1,6]

，求一元兩次方程t2+Xt+1=0有實(shí)根的概率。解當(dāng)Δ=X2-4≥0時(shí)，方程有實(shí)根。所求概率為而X的密度函數(shù)為另解28沐風(fēng)書苑i例4

長(zhǎng)途汽車起點(diǎn)站于每時(shí)的10分、25分、55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時(shí)間，于每小時(shí)的任意時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)車站，求乘客候車時(shí)間超過10分鐘的概率。解設(shè)A—乘客候車時(shí)間超過10分鐘，X—乘客于某時(shí)X分鐘到達(dá)，則XU(0,60)29沐風(fēng)書苑i例5

設(shè)有一項(xiàng)工程有甲、乙兩家公司投標(biāo)承包。甲公司要求投資2.8億元，但預(yù)算外開支波動(dòng)較大，設(shè)實(shí)際費(fèi)用X~N(2.8,0.52)。乙公司要求投資3億元，但預(yù)算外開支波動(dòng)較小，設(shè)實(shí)際費(fèi)用Y~N(3,0.22)?，F(xiàn)假定工程資方掌握資金(1)3億元，(2)3.4億元，為了在這兩種情況下，不至造成資金赤字，選擇哪家公司來承包較為合理？解（1）工程資方掌握資金3億元。若委托甲公司承包若委托乙公司承包標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表=0.6554(2)請(qǐng)自己完成。委托甲公司承包較為合理。30沐風(fēng)書苑i例6一種電子元件的使用壽命Ｘ（小時(shí)）服從正態(tài)分布Ｎ(100,152),某儀器上裝有3個(gè)這種元件，三個(gè)元件損壞與否是相互獨(dú)立的。求：使用的最初90小時(shí)內(nèi)無一元件損壞的概率.

其中故解設(shè)Y為使用的最初90小時(shí)內(nèi)損壞的元件數(shù)，則

Y~b(3,p)31沐風(fēng)書苑i例7設(shè)XU(-1,1),求Y=X2的分布函數(shù)與概率密度。當(dāng)y<0時(shí)，當(dāng)0≤y<1時(shí)當(dāng)y≥1時(shí)解32沐風(fēng)書苑i例8設(shè)國(guó)際市場(chǎng)上每年對(duì)我國(guó)某種出口商品的需求量是隨機(jī)變量X(單位噸)，它服從[2000,4000]上的均勻分布。若售出這種商品1噸，可賺3萬元，但若銷售不出去，則每噸需付倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)1萬元，問該商品應(yīng)出口多少噸才可使平均收益最大？解由題意可知X的密度函數(shù)為設(shè)每年出口該商品y噸，(2000≤y≤4000)，則收益可知y=3500時(shí)，E(Y)取到最大值，故出口3500噸此商品才可使平均收益最大。33沐風(fēng)書苑i34沐風(fēng)書苑i35沐風(fēng)書苑i36沐風(fēng)書苑i37沐風(fēng)書苑i38沐風(fēng)書苑i39沐風(fēng)書苑i

P115習(xí)題2.5#10

某種設(shè)備的使用壽命X(以年計(jì))服從指數(shù)分布,其平均壽命為4年.制造此種設(shè)備的廠家規(guī)定,若設(shè)備在使用一年之內(nèi)損壞,則可以予以調(diào)換.如果設(shè)備制造廠每售出一臺(tái)