圓的一般方程

2.3.2圓的一般方程1一．圓的一般方程把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2+(y－b)2=r2，展開整理得x2+y2－2ax－2by+a2+b2－r2=0.

在這個(gè)方程中，令D=－2a，E=－2b，F(xiàn)=a2+b2－r2，則這個(gè)方程可以表示成其中D，E，F(xiàn)為常數(shù)。x2+y2+Dx+Ey+F=0，①2方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0，

這是一個(gè)二元二次方程，把它同一般的二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0②比較，發(fā)現(xiàn)它具有兩個(gè)特點(diǎn)：（1）x2和y2項(xiàng)的系數(shù)相同且不為0；（2）沒有xy項(xiàng)。那么具備這兩個(gè)條件的二元二次方程是否一定表示圓呢？3將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0滿足什么條件就表示圓呢？（1）當(dāng)D2+E2－4F>0時(shí)，將方程③與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程比較，可以看出方程③表示的

③是以為圓心，為半徑的圓；例如：方程x2+2y2－2x－3y+7=0所表示的曲線是圓嗎？4（2）當(dāng)D2+E2－4F=0時(shí)，方程③只有實(shí)數(shù)解，所以方程①表示一個(gè)點(diǎn)（3）當(dāng)D2+E2－4F<0時(shí)，方程③沒有實(shí)數(shù)解，因而方程①不表示任何圖形。

因此只有當(dāng)D2+E2－4F>0時(shí)，二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0才表示一個(gè)圓，這時(shí)這個(gè)方程叫做圓的一般方程。5二．圓的一般方程的應(yīng)用1．同圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一樣，求圓的一般方程也是用待定系數(shù)法.由于在圓的一般方程中含有三個(gè)參變數(shù)，必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件才能確定出一個(gè)圓的方程；2．如果已知曲線是圓，并且已知條件和圓心的坐標(biāo)或半徑都無直接關(guān)系，此時(shí)可設(shè)圓的一般方程再用待定系數(shù)法求出D，E，F(xiàn).6例1．將下列圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，并寫出圓的圓心坐標(biāo)和半徑。（1）x2+y2+4x－6y－12=0；（2）4x2+4y2－8x+4y－15=0。解：（1）對(duì)方程左邊配方，方程化為(x+2)2+(y－3)2=25，所以圓心坐標(biāo)為(－2，3)，半徑為5.（2）方程兩邊除以4，得x2+y2－2x+y－=0，配方得(x－1)2+(y+)2=5，所以圓心坐標(biāo)為(1，－)，半徑為7例2．求過三點(diǎn)A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)的圓的方程。解：設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，根據(jù)題設(shè)條件將A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)的坐標(biāo)代入方程得到關(guān)于D，E，F(xiàn)的三元一次方程組，解這個(gè)方程組得得到的圓的方程是x2+y2+6x－2y－15=0.8例3．圓C過點(diǎn)A(1，2)，B(3，4)且在x軸上截得的弦長(zhǎng)為6，求圓C的方程.解：設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,圓過A(1，4)，B(－2，3)，所以

D+2E+F=－5，①3D+4E+F=－25，②令y=0得x2+Dx+F=0，設(shè)圓C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x1，x2，由韋達(dá)定理，得x1+x2=－D，x1x2=F，9因?yàn)閨x1－x2|=6，所以(x1+x2)2－4x1x2=36,即D2－4F=36，③聯(lián)立①②③解得或所求圓的方程為x2+y2+12x－22+27=0或x2+y2－8x－2y+7=0。10例4．已知一曲線是與兩個(gè)定點(diǎn)O(0，0)，A(3，0)距離的比為的點(diǎn)的軌跡，求這個(gè)曲線的方程，并畫出曲線。解：在給定的坐標(biāo)系中，設(shè)M(x，y)是曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M在曲線上的條件是11由兩點(diǎn)間距離公式，上式用坐標(biāo)表示為兩邊平方并化簡(jiǎn)，得曲線的方程是x2+y2+2x－3=0.配方得(x+1)2+y2=4，所以曲線是圓心為(－1，0),半徑為2的圓。12例5．已知△ABC的邊AB長(zhǎng)為2a，若BC的中線為定長(zhǎng)m，求頂點(diǎn)C的軌跡方程.解：由題意，以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，邊AB所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,如圖，則A(－a，0)，B(a，0),設(shè)C(x，y)，則BC中點(diǎn)為E13因?yàn)閨AE|=m，所以化簡(jiǎn)得(x+3a)2+y2=4m2.由于點(diǎn)C在直線AB上時(shí)，不能構(gòu)成三角形，故去掉曲線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，從而所求的軌跡方程是(x+3a)2+y2=4m2.(y≠0)14練習(xí)題：1．圓x2+y2+4x+26y+b2=0與坐標(biāo)軸相切，那么b可以取的值是（

）（A）±2或±13（B）1或2（C）－1或－2（D）－1或1A152．若圓x2+y2=4和圓x2+y2+4x－4y+4=0關(guān)于直線l對(duì)稱，那么l的方程是（

）（A）x+y=0（B）x+y－2=0（C）x－y－2=0（D）x－y+2=0D163．如果圓x2+y2+Dx+Ey+F=0與x軸相切于原點(diǎn)，則（

）（A）D≠0，E≠0，F(xiàn)=0（B）D≠0，E=0，F(xiàn)=0（C）D=0，E≠0，F(xiàn)=0（D）D=0，E=0，F(xiàn)≠0C174．圓C：x2+y2－2x－6y+9=0關(guān)于直線x－y－1=0對(duì)稱的曲線方程是（）（A）x2+y2+2x+6y+9=0（B）x2+y2－6x+2y+9=0（C）x2+y2－8x+15=0（D）x2+y2－8x－15=0C185．若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a－1=0表示圓，則a的取值范圍是

。6．三角形△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，則△ABC的外接圓方程是