第二章節(jié)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

第二章節(jié)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型22.1數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)及類型系統(tǒng)是指相互聯(lián)系又相互作用著的對(duì)象之間的有機(jī)組合。

若系統(tǒng)當(dāng)前輸出僅由當(dāng)前的輸入所決定，稱為靜態(tài)系統(tǒng)或穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)。數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性及各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

若當(dāng)前輸出不僅由當(dāng)前輸入所決定，而且還受到過去輸入的影響，這樣的系統(tǒng)稱為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。3數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)1）相似性數(shù)學(xué)模型可能相同，即具有相同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。方程的符號(hào)抽象為變量，系數(shù)抽象為參數(shù)。結(jié)論具有一般性。2）簡(jiǎn)化性和準(zhǔn)確性常在誤差允許的條件下忽略一些對(duì)特性影響較小的物理因素，用簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型來表達(dá)實(shí)際系統(tǒng)。3）動(dòng)態(tài)模型:描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。4）靜態(tài)模型:在靜態(tài)條件下（即變量的各階導(dǎo)數(shù)為零），描述變量之間的代數(shù)方程。4數(shù)學(xué)模型的類型3）用比較直觀的方塊圖模型進(jìn)行描述。2）狀態(tài)變量描述或內(nèi)部描述。它特別適用于多輸入、多輸出系統(tǒng)，也適用時(shí)變系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)和隨機(jī)控制系統(tǒng)1）輸入-輸出描述或外部描述。如微分方程、傳遞函數(shù)和差分方程.2.2控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型——微分方程

列寫微分方程式的一般步驟1.分析系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的因果關(guān)系，確定系統(tǒng)的輸入量、輸出量及內(nèi)部中間變量，搞清各變量之間的關(guān)系。2.作出合乎實(shí)際的假設(shè)，以便忽略一些次要因素，使問題簡(jiǎn)化。53.根據(jù)支配系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的基本定律，列出各部分的原始方程式。牛頓定律、能量守恒定律、克?；舴蚨?、物質(zhì)守恒定律以及由它們導(dǎo)出的各專業(yè)應(yīng)用公式。4.列寫各中間變量與其它變量的因果式，稱為輔助方程式。至此，方程的數(shù)目應(yīng)與所設(shè)的變量（除輸入外）數(shù)目相等。與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程式的右邊，與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)放在左邊，各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降階排列，各項(xiàng)系數(shù)化成有物理意義的形式5.連立上述方程，消去中間變量，最終得到只包含系統(tǒng)輸入量與輸出量的方程式。6.將方程式化成標(biāo)準(zhǔn)型。一般從系統(tǒng)的輸入端開始，依次列寫系統(tǒng)各組成部分的運(yùn)動(dòng)方程式，兼顧相鄰元件的負(fù)載效應(yīng)問題。6例2-1電路系統(tǒng)舉例：電阻-電感-電容串聯(lián)系統(tǒng)，如圖2-1所示。列出以u(píng)r(t)為輸入量，uc(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程式。解：按照列寫微分方程式的一般步驟有：1）確定輸入量、輸出量、中間變量i（t）；2）網(wǎng)絡(luò)按線性集總參數(shù)考慮，且忽略輸出端負(fù)載效應(yīng)；3）由克希霍夫定律寫原始方程：（2-1）4）列寫中間變量與輸出變量的關(guān)系式：（2-2）5）將上式代入原始方程消中間變量得：6）整理成標(biāo)準(zhǔn)型：令T1=L/R,T2=RC,則方程化為：

（2-3）

（2-4）T1、T2的量綱：[T1]=[L/R]=秒[T2]=[RC]=秒則T1、T2是電路網(wǎng)絡(luò)兩個(gè)時(shí)間常數(shù)，ucurCLRi圖2-1RLC電路系統(tǒng)7例2-2機(jī)械系統(tǒng)舉例：彈簧-質(zhì)量-阻尼器串聯(lián)系統(tǒng)，如圖2-2所示。列出以外力F(t)為輸入量，以質(zhì)量的位移y(t)為輸出量的運(yùn)動(dòng)方程式。2）系統(tǒng)按線性集總參數(shù)考慮，且當(dāng)無外力作用時(shí)，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)；3）由牛頓第二定律寫原始方程：（2-5）4）寫中間變量與輸出變量的關(guān)系式：（2-6）5）將上式代入原始方程消中間變量得：6）整理成標(biāo)準(zhǔn)型：該標(biāo)準(zhǔn)型為二階線性常系數(shù)微分方程，系統(tǒng)中存在兩個(gè)儲(chǔ)能元件質(zhì)量和彈簧，故方程式左端最高階次為二。解：按照列寫微分方程式的一般步驟有：1）確定輸入量、輸出量，作用于質(zhì)量m的力還有彈性阻力Fk(t)和粘滯阻力Ff(t)，均作為中間變量；mfKy(t)F(t)圖2-2機(jī)械系統(tǒng)（2-7）（2-8）令（2-9）則方程化為：8方程系數(shù)的物理意義：

可見Tm、Tf具有時(shí)間的量綱，故稱為系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)。時(shí)間常數(shù)可決定方程的解隨時(shí)間變化的快慢。

另外，從靜態(tài)方程的描述可知，（2-10）故，1/k又稱為系統(tǒng)靜態(tài)放大倍數(shù)。1/k的量綱是輸出與輸入的量綱比。則1/k的量綱代表了兩種物理量的轉(zhuǎn)換關(guān)系。9實(shí)際物理系統(tǒng)線性微分方程的一般特征

線性定常方程形式：r(t)

輸入量c(t)

輸出量

從工程可實(shí)現(xiàn)的角度來說，該方程滿足以下的要求：1.方程的系數(shù)為實(shí)常數(shù)，由物理系統(tǒng)自身參數(shù)決定。2.輸出的階次都高于或等于輸入的階次。3.方程兩端各項(xiàng)的量綱都是一致的。定義：任何系統(tǒng)，只要它們的微分方程具有相同的形式，就是相似系統(tǒng)，而在微分方程中占據(jù)相同位置的物理量，叫做相似量。10彈簧阻尼系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)電系統(tǒng)力F質(zhì)量m黏性摩擦系數(shù)f彈簧系數(shù)k位移x速度v轉(zhuǎn)矩T轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J黏性摩擦系數(shù)f扭轉(zhuǎn)系數(shù)k角位移角速度

電壓u電感L電阻R電容的倒數(shù)1/C電荷q電流I表2-1相似系統(tǒng)中的相似變量11線性系統(tǒng)————

滿足疊加原理物理系統(tǒng)r(t)c(t)激勵(lì)響應(yīng)(2)齊次性：保持比例因子

ar(t)ac(t)非線性系統(tǒng)(1)疊加性：線性系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)互不影響

r1(t)+r2(t)c1(t)+c2(t)r1(t)c1(t)r2(t)c2(t)2.3控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型——傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)：在線性定常系統(tǒng)中,當(dāng)初始條件為零時(shí),輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換之比.傳遞函數(shù)的定義12設(shè)單輸入單輸出線性定常系統(tǒng):r(t)

輸入量c(t)

輸出量在零初始條件下:

拉氏變換:傳遞函數(shù):n個(gè)m個(gè)n≥mG(s)r(s)c(s)方框圖

C(s)=G(s)·R(s)13傳遞函數(shù)的實(shí)際意義1）現(xiàn)實(shí)的控制系統(tǒng)多是零初始條件。2）在輸入沒加入之前，認(rèn)為輸入恒等于零。3）對(duì)于非零初始條件所產(chǎn)生的影響，可用疊加原理來進(jìn)行處理。傳遞函數(shù)的性質(zhì)1)傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)模型,與系統(tǒng)的微分方程相對(duì)應(yīng)。2)是系統(tǒng)本身的一種屬性,與輸入量的大小和性質(zhì)無關(guān)。3)只適用于線性定常系統(tǒng).4)傳遞函數(shù)是單變量系統(tǒng)描述,外部描述。5)傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的,不能反映在非零初始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況。6)一般為復(fù)變量S的有理分式,即

nm。且所有的系數(shù)均為實(shí)數(shù)。147）如果傳遞函數(shù)已知，則可針對(duì)各種不同形式的輸入量研究系統(tǒng)的輸出或響應(yīng)。8）如果傳遞函數(shù)未知，則可通過引入已知輸入量并研究系統(tǒng)輸出量的實(shí)驗(yàn)方法，確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。9)傳遞函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)一一對(duì)應(yīng).

脈沖響應(yīng)函數(shù)是指系統(tǒng)在單位脈沖輸入量作用下的輸出。當(dāng)單位脈沖輸入系統(tǒng)時(shí)，R(s)=L[(t)]=1因此系統(tǒng)的輸出為C(s)=G(s)C(s)=G(S)反變換得脈沖響應(yīng)：L-1[G(s)]=g(t)(2-12)（2-11）G(s)0tr(t)(t)(t)g(t)g(t)0tc(t)圖2-3系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)15傳遞函數(shù)的微觀結(jié)構(gòu)線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)都是復(fù)變量S的有理分式,其分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式經(jīng)分解后可寫成各種形式。(1)零極點(diǎn)表達(dá)式（2-13）式中,z1,z2,…,zm是分子多項(xiàng)式等于零時(shí)的根,同時(shí)使

G(s)=0,故稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn);p1,p2…,pn

是分母多項(xiàng)式等于零時(shí)的根,同時(shí)使G(s)=∞,故稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)(又稱特征根);kg=b0/a0,稱為傳遞系數(shù)或根軌跡增益。傳遞函數(shù)與它的零點(diǎn)、極點(diǎn)和傳遞系數(shù)一一對(duì)應(yīng)。16傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)同時(shí)表示在復(fù)數(shù)平面上的圖形,叫做傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖。例如

:j0-11xx-1-2-3x圖2-4零極點(diǎn)分布圖圖中零點(diǎn)用“o”表示,極點(diǎn)用“×”表示。傳遞函數(shù)的這種形式及零極點(diǎn)分布圖在根軌跡法中使用較多。17(2)時(shí)間常數(shù)表達(dá)式（2-14）（2-15）由拉氏變換的終值定理,當(dāng)S→0時(shí),描述時(shí)域中t→∞時(shí)的性能,此時(shí)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)就轉(zhuǎn)化為靜態(tài)放大倍數(shù)即

式中,i、Tj稱為時(shí)間常數(shù);K稱為傳遞系數(shù)或靜態(tài)增益。傳遞函數(shù)的時(shí)間常數(shù)表示形式很容易將系統(tǒng)分解成一些典型環(huán)節(jié)。182.4典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況只決定于所有各組成環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)特性及連接方式,而與這些環(huán)節(jié)的具體結(jié)構(gòu)和進(jìn)行的物理過程不直接相關(guān)。組成控制系統(tǒng)的環(huán)節(jié)可以抽象為典型環(huán)節(jié)。不同的物理系統(tǒng)，可以是同一環(huán)節(jié)。同一物理系統(tǒng)也可能成為不同的環(huán)節(jié)。19比例環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量成正比,動(dòng)態(tài)關(guān)系與靜態(tài)關(guān)系都一樣,不失真也不遲延,所以又稱為“無慣性環(huán)節(jié)”或“放大環(huán)節(jié)”.它的特征參數(shù)只有一個(gè),即放大系數(shù)K..式中T>0,0<1.T稱為振蕩環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)；稱為阻尼比；n稱為自然振蕩頻率。振蕩環(huán)節(jié)有一對(duì)位于s平面左半部的共軛極點(diǎn)：式中，=n,RLC串聯(lián)電路、彈簧質(zhì)量阻尼器串聯(lián)系統(tǒng)都是二階系統(tǒng)。只要滿足0<1，則它們都是振蕩環(huán)節(jié)。工程上如無彈性變形的杠桿傳動(dòng)、電子放大器、比例