第八章常用統(tǒng)計(jì)分布

第八章常用統(tǒng)計(jì)分布1/13/20231第一節(jié)超幾何分布

適用：小群體的兩分變量。假定總體為K個(gè)成功類、（N-K）個(gè)為失敗類

1.超幾何分布為離散型隨機(jī)變量的概率分布，它的數(shù)學(xué)形式是1/13/20232

2.超幾何分布的數(shù)學(xué)期望值和方差如果用，則有1/13/20233

[例]以隨機(jī)方式自5男3女的小群體中選出5人組成一個(gè)委員會(huì)，求該委員會(huì)中女性委員人數(shù)的概率分布、期望值與變異數(shù)。

[解]由題意可知：N＝8．K＝3，N―K＝5．n＝5，代入(8．1)式，故概率分布如下：

由，，代入(8．4)式、(8．5)式得（1）（2）X0123合計(jì)P=(X=x)1/5615/5630/5610/5656/561/13/20234

3.關(guān)于超幾何分布的近似

設(shè)某校有l(wèi)000名大學(xué)生，其中有外國(guó)留學(xué)生10、名，現(xiàn)從該校學(xué)生中任抽2人，求抽到外國(guó)留學(xué)生的概率分布。

[解]抽到外國(guó)留學(xué)生人數(shù)X服從N＝1000、K＝10、n＝2的超幾何分布，根據(jù)(8．1)式得

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由于＝0．002＜0．1，用二項(xiàng)分布近似

計(jì)算有，由(8．6)式得

兩種方法計(jì)算結(jié)果比較一下，僅在小數(shù)點(diǎn)后第5位上才出現(xiàn)誤差。當(dāng)然在＞0．1時(shí)，如此計(jì)算誤差會(huì)比較大。另外，二項(xiàng)分布的計(jì)算量仍不算小，有時(shí)還可以將二項(xiàng)分布近似為泊松分布，這一點(diǎn)我們將在下一節(jié)討論。

1/13/20236第二節(jié)泊松分布

適用：稀有事件的研究。一個(gè)事件的平均發(fā)生次數(shù)是大量實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，在這些試驗(yàn)中，此事件可能發(fā)生，但是發(fā)生的概率非常小。

泊松分布亦為離散型隨機(jī)變量的概率分布，隨機(jī)變量X為樣本內(nèi)成功事件的次數(shù)。若λ為成功次數(shù)的期望值，假定它為已知。而且在某一時(shí)空中成功的次數(shù)很少，超過(guò)5次的成功概率可忽不計(jì)，那么X的某一具體取值x（即稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)）的概率分布為1/13/20237泊松分布的性質(zhì)：x的取值為零和一切正整數(shù)；圖形是非對(duì)稱的，但隨著的λ增加，圖形變得對(duì)稱；泊松分布的數(shù)學(xué)期望和方差均為λ。1/13/20238

[例]某城市50天交通事故的頻數(shù)分布如表所示，試求泊松理論分布。X01234合計(jì)P0.44930.35950.14380.03830.00911.0000理論頻（50хPi)22.418.07.21.90.550.0一天交通事故數(shù)0123合計(jì)天數(shù)f23177350

[解]由資料知查泊松分布表，得理論分布

將實(shí)測(cè)頻數(shù)與理論頻數(shù)比較，可知題中所述稀有事件是滿足泊松分布的。

≥1/13/20239第三節(jié)卡方分布卡方分布是一種連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布，主要用于列聯(lián)表檢驗(yàn)。

1.數(shù)學(xué)形式設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…Xk，相互獨(dú)立，且都服從同一的正態(tài)分布N(μ，σ2)。那么，我們可以先把它們變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量Z1，Z2，…Zk，k個(gè)獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的平方和被定義為卡方分布（分布）的隨機(jī)變量（讀作卡方），且我們把隨機(jī)變量的概率分布稱為分布，其概率密度記作。其中k為卡方分布的自由度，它表示定義式中獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)。

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關(guān)于卡方分布的分布函數(shù)，附表7對(duì)不同的自由度k及不同的臨界概率α(0＜α＜1)，給出了滿足下面概率式的的值(參見(jiàn)圖)。注意寫(xiě)法的含義：它表示自由度為k的卡方分布，當(dāng)其分布函數(shù)

時(shí)，其隨機(jī)變量的臨界值(參見(jiàn)圖)。具體來(lái)說(shuō)，在假設(shè)檢驗(yàn)中，它表示在顯著性水平α上卡方分布隨機(jī)變量的臨界值。

1/13/202311[解]查卡方分布表(附表7)得

[例]試求下列各值：

[例]已知k＝5，＝15，求臨界概率α。

[解]查卡方分布表，在表中自由度為5的橫行中找到與15最接近的數(shù)值是15．086，得到α的近似值為0．01。由此可知≈0．01．

1/13/202312式中：σ2代表總體方差，自由度為n―l。

2.卡方分布的性質(zhì)

(1)恒為正值。

(2)卡方分布的期望值是自由度k，方差為2k?？ǚ椒植既Q于自由度k，每一個(gè)可能的自由度對(duì)應(yīng)一個(gè)具體的卡方分布?？ǚ椒植贾慌c自由度有關(guān)，這就給卡方分布的實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)很大方便。分布由正態(tài)分布導(dǎo)出，但它之所以與正態(tài)分布的參數(shù)μ和σ無(wú)關(guān)，是因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量Z與原來(lái)的參數(shù)無(wú)關(guān)。

(3)卡方分布具有可加性

(4)利用卡方分布可以推出樣本方差S2的分布1/13/202313所以，樣本方差S2落在3．3和8．7之間的概率約為90％。

3.樣本方差的抽樣分布

[例]由一正態(tài)總體抽出容量為25的一隨機(jī)樣本，已知σ2＝6，求樣本方差S2在3．3到8．7之間的概率。

[解]已知n＝25，σ2＝6，由得

1/13/202314第四節(jié)F分布

F分布是連續(xù)性隨機(jī)變量的另一種重要的小樣本分布，可用來(lái)檢驗(yàn)兩個(gè)總體的方差是否相等，多個(gè)總體的均值是否相等。還是方差分析和正交設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)。

1.數(shù)學(xué)形式設(shè)和相互獨(dú)立，那么隨機(jī)變量

服從自由度為(k1，k2)的F分布。其中，分子上的自由度k1叫做第一自由度，分母上的自由度k2叫做第二自由度。

1/13/202315我們把隨機(jī)變量F的概率分布稱為F分布，其概率密度記作。本書(shū)附表8，對(duì)不同自由度(k1，k2)及不同的臨界概率α(0＜α＜1)，給出滿足下列概率式的Fα(k1，k2)的值(參見(jiàn)圖)。注意寫(xiě)法的含義：它表示自由度為

(k1，k2)的F分布，當(dāng)其分布函數(shù)

時(shí)，其隨機(jī)變量F

的臨界值(參見(jiàn)圖)。具體來(lái)說(shuō)，在假設(shè)檢驗(yàn)中，它表示在顯著性水平α上F分布隨機(jī)變量F的臨界值。

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[例]試求下列各值：

如果和

是兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)樣本的方差，樣本來(lái)源于具有相同方差σ2的兩個(gè)正態(tài)總體，樣本容量分別為n1和n2，那么根據(jù)(8．22)式，隨機(jī)變量F

服從于自由度為(n1