最短路徑問題課件

最短路徑問題

探究最短路徑的實質(zhì)：“化彎為直”

如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最近？你的理由是什么？

兩點之間,線段最短①②③(Ⅰ)兩點在一條直線異側已知：如圖，A，B在直線L的兩側，在L上求一點P，使得PA+PB最小。

P連接AB,線段AB與直線L的交點P，就是所求。問題1

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？探索新知BAl精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題．這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”．你能將這個問題抽象為數(shù)學問題嗎？探索新知BAl將A，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線．B··Al問題2

如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最?。緽·lA·作法：（1）作點B關于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點C．則點C即為所求．如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最??？B·lA·B′C你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′C證明：如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質(zhì)知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC

=AC+B′C=AB′，AC′+BC′

=AC′+B′C′．

你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′B·lA·B′CC′

在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．一點在兩相交直線內(nèi)部已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小.BCDE分析：當AB、BC和AC三條邊的長度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時，三角形的周長最小

已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小.分別作點A關于OM，ON的對稱點A′，A″；連接A′，A″，分別交OM，ON于點B、點C，則點B、點C即為所求

1.如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

A·BMNE作法：1.將點B沿垂直與河岸的方向平移一個河寬到E，

2.連接AE交河對岸與點M,

則點M為建橋的位置，MN為所建的橋。證明：由平移的性質(zhì)，得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A.B兩地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在CD處，連接AC.CD.DB.CE,則AB兩地的距離為：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵