第三章 矩陣的相抵變換和秩 線性方程組

第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組§3.1消元法一.基本概念

§3.2

§3.3

§3.4

§3.5

§3.6

含有n個未知量,m個方程的線性方程組的一般形式如下a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=b2

…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm(3.1)(非)齊次線性方程組,解,相容第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.1消元法設(shè)A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn,b=b1b2…bm,a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=b2

…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm則線性方程組可以寫成Ax=b.x=x1x2…xn,解向量,解集,通解,同解§3.1消元法第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

稱A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn為(3.1)的系數(shù)矩陣,[A,b]=a11

a12…a1nb1a21

a22…a2nb2

……………am1

am2…amnbm為(3.1)的增廣矩陣.§3.1消元法第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

二.線性方程組的初等變換

2x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2x1+2x2

x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x2

3x3=1x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=22(1)x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=01/21換法變換倍法變換消法變換階梯形方程組§3.1消元法第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

x1

5x3=1x2+2x3=

2

0=0x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=0階梯形方程組(2)x1=5x3+1x2

=

2x32

x3

=

x3(任意)

最簡形方程組或?qū)懗上蛄啃问接纱丝傻迷匠探M的通解x=5c+12c2c

,其中c為任意數(shù).§3.1消元法第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

1.線性方程組的換法變換,倍法變換和消法變

換統(tǒng)稱為線性方程組的初等變換.值得注意的是倍法變換必須用非零的常數(shù)去乘某一個方程.2.階梯形線性方程組的有三中基本類型.例如2x1+3x2x3=1

2x2+x3=2

0=1x1x2+2x3=8

2x2+x3=

1

x3=5x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4=

3§3.1消元法第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

三.矩陣的初等變換

2x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2x1+2x2x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x23x3=1x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=22(1)x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=01/212

34

4121

32262輕裝上陣

121

32

34

411311/2121

30

12

201

222(1)121

3012200001增廣矩陣的初等變換§3.1消元法第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

1.下面三種變換稱為矩陣的初等行變換.把上述定義中的“行”換成“列”,即得到初等列變換的定義(相應(yīng)的記號是把“r”換成“c”).初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.(1)對調(diào)兩行(對調(diào)i,j兩行記為ri

rj),(2)以非零的數(shù)k乘某一行中的所有元素(第i行乘以k記為ri

k),(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行對應(yīng)的元素上去(第j行的k倍加到第i行記為ri+krj).§3.1消元法第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

2.階梯形矩陣與行簡化階梯陣則稱A為階梯形矩陣(簡稱階梯陣).這時稱A

中非零行的行數(shù)為A的階梯數(shù).例如如果矩陣A滿足如下條件若A有零行(元素全為零的行),則零行位于最下方,非零行的非零首元(自左至右第一個不為零的元)的列標(biāo)隨行標(biāo)的遞增而遞增,1100401022000230000411204013220002300000,§3.1消元法第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

則稱A為行簡化階梯陣.例如如果階梯陣A還滿足如下條件各非零首元全為1,非零行首元所在列的其余元素全為0,1

0

201013020001000000注:用數(shù)學(xué)歸納法可以證明:任何一個矩陣都可以經(jīng)過有限次初等行變換化為行簡化階梯陣.§3.1消元法第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

3.階梯陣的形狀與線性方程組的解.2x1+3x2x3=1

2x2+x3=2

0=1x1x2+2x3=8

2x2+x3=

1

x3=5x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4=

30=0無解有唯一解有無數(shù)解2

3

41

021

200012

128

021

1001512

1

1

2

0014300000解的數(shù)目Ax=bAx=b~~[A,b]~~[A,b]r2=r1+1r2=r1=n

§3.1消元法第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

例1.設(shè)有線性方程組問為何值時,此方程組(1)有唯一解;(2)無解;(3)有無窮多解?并在有無窮多解時求其通解.解:對其增廣矩陣[A,b]作初等行變換,化為階梯形.§3.1消元法第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

1+

11011+13111+

[A,b]=111+

11+131+

110(1)111+

0

3

1+

110111+

0

3

0

(2+)(1+)(1

)111+

0

3

00

(3+)(1)(3+)1§3.1消元法第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

111+

0

3

00

(3+)(1)(3+)(1)當(dāng)0且3時,方程組有唯一解;(2)當(dāng)=0時,方程組無解;(3)當(dāng)=3時,方程組有無窮多解.此時111+

0

3

00

(3+)(1)(3+)112

3033

60000=112

301120000101

101120000(1)()13定理3.9§3.1消元法第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

101

101120000令x3=c,則x1x2x3(c為任意實數(shù)).1

11=c120+由此可得原方程組的通解x1=x31x2

=

x32

x3

=

x3(任意)

因而原方程組化為x1

x3=1x2

x3

=

2§3.1消元法第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

四.齊次線性方程組有非零解的一個充分條件

定理3.1.設(shè)ARmn.若m<n(方程的個數(shù)小于未知量的個數(shù)),則齊次線性方程組Ax=有非零解,且其通解中至少含nm個自由未知量.例2.解齊次線性方程組x1

x23x3+x4

=02x12x25x3+3x4

=0

4x14x2+3x3+19x4

=0x1

x22x3+2x4

=0見課本第110-111頁.§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩一.線性組合,線性表示1.給定向量組A:1,2,…,s,對于任意一組實數(shù)k1,k2,…,ks,我們把k11+k22+…+kss稱為向量組A的一個線性組合,k1,k2,…,ks稱為這個線性組合的組合系數(shù).第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩2.給定向量組1,2,…,s,和一個向量,若存在一組實數(shù)k1,k2,…,ks,使得=k11+k22+…+kss則稱向量能由向量組1,2,…,s線性表示.令A(yù)=[1,2,…,s],則向量能由向量組1,2,…,s線性表示的充分必要條件是線性方程組Ax=有解.例3.設(shè)1=[1+,1,1]T,2=[1,1+,1]T,3=[1,1,1+]T,=[0,3,]T.問為何值時,能由向量組1,2,3線性表示.第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩I:1,2,…,rII:1,2,…,s若II組中的每個向量都能由I組中的向量線性表示,則稱向量組II能由向量組I線性表示.若向量組II能由向量組I線性表示;同時向量組I能由向量組II線性表示,則稱這兩個向量組等價.3.給定兩個向量組第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩例4.設(shè)有兩個向量組I:1=[1,1],2=[1,1],3=[2,1],II:1=[1,0],2=[1,2].即I可以由II線性表示.則1=1+2,21212=12,23213=1+2,2321即II可以由I線性表示.1=1+2+03,21212=12+03,2321故向量組I與II等價.第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩注:向量組之間的等價關(guān)系具有以下三條性質(zhì):

①反身性:每個向量組都與它自身等價.

②對稱性:若向量組I與II等價,則II與I等價.③傳遞性:若向量組I與II等價,II與III等價,則I與III等價.數(shù)學(xué)中把具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價關(guān)系,例如方程組之間的同解關(guān)系也是一種等價關(guān)系.以后還會遇到類似的情形.第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩二.向量組的線性相關(guān)性1.定義:給定向量組1,2,…,sRn,則稱該向量組線性相關(guān).否則,稱之為線性無關(guān)的.k11+k22+…+kss=

k1=k2=…=ks=0若存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,ks,使得

k11+k22+…+kss=,若記矩陣A=[1,2,…,s],則1,2,…,s線性相關(guān)Ax=有非零解.第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩例5.Rn的基本向量組

e1=100···0,e2=010···0,…,en=00···01線性無關(guān)且Rn中任一向量都能由該向量組線性表示.例6.設(shè)1,2,3線性無關(guān),證明1=1+2+3,2=2+3,3=3也線性無關(guān).第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩2.特殊情形的幾何意義:(1)s=1:一個幾何向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)=.(2)s=2:兩個幾何向量1,2構(gòu)成的向量組

線性相關(guān)12.(3)s=3:三個幾何向量1,2,3構(gòu)成的向量組線性相關(guān)1,2,3共面.第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩3.幾個常用的結(jié)論:(1)含有零向量的向量組一定線性相關(guān).(3)兩個向量,構(gòu)成的向量組線性相關(guān)

與的分量成比例.(4)若1,2,…,s線性相關(guān),則1,2,…,s,s+1,…,t也線性相關(guān).(2)單個向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)

=.(5)任意n+1個n維向量線性相關(guān).反之,若1,2,…,s,s+1,…,t線性無關(guān),則1,2,…,s也線性無關(guān).第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩1122ss(6)如果向量組,,…,線性相關(guān),其中1,2,…,s是維數(shù)相同的列向量,1,2,…,s也是維數(shù)相同的列向量,則1,2,…,s也是線性相關(guān)的.反之,若1,2,…,s線性無關(guān),則也是線性無關(guān)的.,,…,1122ss

第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩三.幾個重要的結(jié)論定理3.2.向量組1,2,…,s(s2)線性相關(guān)的充分必要條件是其中至少有某一個向量可由其余的向量線性表示.定理3.3(唯一表示定理).若向量組1,2,…,s線性無關(guān),而1,2,…,s,線性相關(guān),則一定能由1,2,…,s線性表示,并且表示的方式是唯一的.第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩定理3.4.若向量組I:1,2,…,s可由向量組II:1,2,…,t

線性表示,并且s>t,則向量組I是線性相關(guān)的.證明:設(shè)j=k1j1+k2j2+…+ktjt(j=1,…,s),并記矩陣A=[1,2,…,s],C=[kij]ts,B=[1,2,…,t],則A=BC.由s>t及定理3.1可得線性方程組Cx=

有非零解.因而線性方程組Ax=有非零解.所以向量組I是線性相關(guān)的.第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩定理3.4.若向量組I:1,2,…,s可由向量組II:1,2,…,t

線性表示,并且s>t,則向量組I是線性相關(guān)的.若向量組1,2,…,s線性無關(guān),且可由1,2,…,t線性表示,則若向量組1,2,…,s和1,2,…,t

都線性無關(guān),并且這兩個向量組等價,則推論b.st.s=t.推論a.第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩四.向量組的極大無關(guān)組1.定義如果向量組I的部分組I0滿足以下列條件,則稱I0為I的一個極大(線性)無關(guān)組:(i)向量組I0是線性無關(guān)的;(ii)I中任一向量都可由I0線性表示.I0中向量的個數(shù)稱為向量組I的秩.記為秩(I)或r(I).注:只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組,規(guī)定它的秩為0.第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩命題3.1.設(shè)I0:1,2,…,r是I:1,2,…,s

的一個極大無關(guān)組,則I0與I等價.證明:一方面,1=11+02+…+0s,2=01+12+03+…+0s,…,r=01+…+0r1+1r+0r+1+…+0s,可見I0可由I線性表示.另一方面由定義可知I可由I0線性表示.所以I0與I等價.第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩定理3.5.若向量組I:1,2,…,s可由向量組II:1,2,…,t

線性表示,則秩(I)秩(II);若這兩個向量組等價,則秩(I)=秩(II).例7.設(shè)1,2,3Rn.1=1+2+3,2=2+3,

3=3.證明:1,2,3線性無關(guān)1,2,

3線性無關(guān).例8.設(shè)1,2,…,nRn.證明:它們線性無關(guān)Rn中任一向量都能由它們線性表示.第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.3矩陣的秩§3.3矩陣的秩一.行秩與列秩1.定義一個矩陣的行向量組的秩稱為這個矩陣的行秩,列向量組的秩稱為它的列秩.2.性質(zhì)命題3.2.階梯形矩陣的行秩等于它的非零行數(shù)目.命題3.3.階梯形矩陣的行秩與列秩相等.第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.3矩陣的秩命題3.4.若矩陣A經(jīng)過(有限次)初等行變換變成B,則A,B的行向量組等價,從而A,

B的行秩相等.這就是說初等行變換不改變矩陣的行秩.命題3.5.初等行變換不改變矩陣的列秩.定理3.6.矩陣的行秩與列秩相等,并且在初等變換下不變.3.矩陣A的行秩和列秩統(tǒng)稱為矩陣A的秩.記為秩(A)或r(A).第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.3矩陣的秩3

=–1–2,5

=41+32–34.初等行變換解:故A的第1,2,4列為A的列向量組的一個最大無關(guān)組,例9.求矩陣組的一個最大無關(guān)組,并把其余列向量用這個最大無關(guān)組線性表示出來.的列向量第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.3矩陣的秩簡記為A

:1,2,…,s,C

:1,2,…,n.若j=b1j1

+b2j2

+…+bsjs,j=1,2,…,n,即=12n12s第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.3矩陣的秩簡記為B:1,2,…,s,C

:1,2,…,m.若i=ai11

+ai22

+…+aiss,i=1,2,…,m,即B:C:=12m12s第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.3矩陣的秩矩陣的乘積Cmn

=

AmsBsn,=行向量i=ai11

+ai22

+…+aiss,i=1,2,…,m.列向量j=b1j1

+b2j2

+…+bsjs,j=1,2,…,n,向量組的線性表示:命題3.6.秩(AB)min{秩(A),秩(B)}.

第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.3矩陣的秩二.矩陣的秩與行列式的關(guān)系定理3.7.n階方陣A的秩等于n的充分必要條件是A的行列式|A|不等于零,即A是非退化的.1.設(shè)A為mn矩陣.若秩(A)=m,則稱A為行滿秩的;若秩(A)=n,則稱A為列滿秩的.特別地,若一個方陣的秩等于它的階數(shù)則稱之為滿秩的.注:由此可見,方陣A滿秩|A|0A非退化A可逆.

第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.3矩陣的秩2.在mn矩陣A中,任取k行與k列(km,kn),位于這些行列交叉處的k2個元素,不改變它們在A中所處的位置次序而得的k階行列式稱為矩陣A的一個k級子式.

這樣的子式共有

個.例10.A=2041

013240822,0,4,1,0,1,3,2,4,0,8,2.有34個1級子式:第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.3矩陣的秩2041

01324082的2級子式有36個:0413,0112,4132,2001,2403,2102,0408,0102,4182,20

40,24

48,21

42,0140,

3282.0348,0242,1308,1202,3級子式有14個:204

013408201

012402241

032482041132082====0.第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.3矩陣的秩性質(zhì)1.若A有一個k級子式不等于零,則秩(A)

k.a11

a21

…

ak1

ak+1,1

…am1

a12

a22

…

ak2

ak+1,2

…am2

………

…

………a1k

a2k

…

akk

ak+1,k

…amk

a1,k+1a2,k+1

…ak,k+1

ak+1,k+1

…am,k+1…………………a1n

a2n…aknak+1,n

…amn

定理3.7

§3.2二.3.(6)

第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.3矩陣的秩性質(zhì)2.若A的所有k級子式都等于零,則秩(A)

<k.a11

a21

…

ak1

ak+1,1

…am1

a12

a22

…

ak2

ak+1,2

…am2

………

…

………a1k

a2k

…

akk

ak+1,k

…amk

a1,k+1a2,k+1

…ak,k+1

ak+1,k+1

…am,k+1…………………a1n

a2n…aknak+1,n

…amn

第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.3矩陣的秩定理3.8.矩陣A的秩等于r的充分必要條件是A中至少有一個r級子式不等于零,而當(dāng)k>r時,A的任一k級子式(如果還有的話)都為零.2級子式2001=20,而A的所有3級子式如例10中的矩陣A=2041

01324082有一個都等于0,所以秩(A)=2.第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)一.線性方程組的相容性

回憶§3.1.三.3.一般地,我們有如下結(jié)論:定理3.9.設(shè)ARmn,bRm,則(1)Ax=b有解秩([A,b])=秩(A);

(2)當(dāng)秩([A,b])=秩(A)=n時,Ax=b有唯一解;(3)當(dāng)秩([A,b])=秩(A)<n時,Ax=b有無窮多解,且通解中含有n秩(A)

個自由未知量.例1第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

二.齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)

1.解向量的性質(zhì)事實上,A

=A(k)=k(A)=.性質(zhì)1.若,都是Ax=的解向量,則+也是Ax=的解向量.事實上,A

=,A

=A(+)=A+A=.性質(zhì)2.若是Ax=的解向量,kR,則k也是Ax=的解向量.綜上所述,若,都是Ax=的解向量,k1,k2R,則k1

+k2也是Ax=的解向量.§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

2.如果齊次線性方程組Ax=的一組解1,2,…,s

滿足下列條件,那么就稱這組解為該

齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系:(1)1,2,…,s線性無關(guān);(2)Ax=的任一解都可以由1,2,…,s線性表示.3.如果1,2,…,s是齊次線性方程組Ax=的一個基礎(chǔ)解系,那么該方程組的通解就可以表示成

=k11+k22+…+kss,其中k1,k2,…,

ks為常數(shù).這種形式的通解稱為Ax=的結(jié)構(gòu)

式通解.§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理3.10.設(shè)ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,則Ax=沒有基礎(chǔ)解系;(2)若r<n,則Ax=確有基礎(chǔ)解系,且任一基礎(chǔ)解系中均含有nr個解向量.x1=c1,r+1xr+1

+c1,r+2xr+2

+…+c1nxn

x2=c2,r+1xr+1

+c2,r+2xr+2

+…+c2nxn

………xr=cr,r+1xr+1

+cr,r+2xr+2

+…+crnxn

xr+1=

xr+1

xr+2=

xr+2

xn=

xn

………第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理3.10.設(shè)ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,則Ax=沒有基礎(chǔ)解系;(2)若r<n,則Ax=確有基礎(chǔ)解系,且任一基礎(chǔ)解系中均含有nr個解向量.=xr+1

+xr+2

+…+xn

x1

x2

…xr

xr+1xr+2

…xn

c1,r+1

c2,r+1

…cr,r+1

10…0c1,r+2

c2,r+2

…cr,r+2

01…0c1n

c2n

…crn

00…1第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理3.10.設(shè)ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,則Ax=沒有基礎(chǔ)解系;(2)若r<n,則Ax=確有基礎(chǔ)解系,且任一基礎(chǔ)解系中均含有nr個解向量.=xr+1

+xr+2

+…+xn

x1

x2

…xr

xr+1xr+2

…xn

c1,r+1

c2,r+1

…cr,r+1

10…0c1,r+2

c2,r+2

…cr,r+2

01…0c1n

c2n

…crn

00…1第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理3.10.設(shè)ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,則Ax=沒有基礎(chǔ)解系;(2)若r<n,則Ax=確有基礎(chǔ)解系,且任一基礎(chǔ)解系中均含有nr個解向量.1=,c1,r+1

c2,r+1

…cr,r+1

10…0c1,r+2

c2,r+2

…cr,r+2

01…0c1n

c2n

…crn

00…12=,nr=.第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)1.與基礎(chǔ)解系等價的線性無關(guān)向量組也是基礎(chǔ)解系.例11.證明秩(ATA)=秩(A).證明:設(shè)A為mn的矩陣,x為n維列向量.

注意到Ax

=(ATA)x

=

xT(ATA)x

=(Ax)T(Ax)

=Ax

=.故Ax

=與(ATA)x

=同解,因此n–秩(ATA)=n–秩(A).進(jìn)而得秩(ATA)=秩(A).第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)4.解齊次線性方程組Amnx=的一般步驟A初等行變換行階梯形秩(A)<n?行最簡形解最簡方程只有零解N初等行變換Y性質(zhì)2.若ARmn,秩(A)=

r,則Ax=

的任意

nr個線性無關(guān)的解向量都是Ax=的基礎(chǔ)解系.第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)例12.求的基礎(chǔ)解系與通解.解:初等行變換該方程組的基礎(chǔ)解系可取為通解為第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)注:若依次取則于是得基礎(chǔ)解系通解容易驗證1,2與1,2等價.第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)另解:初等行變換該方程組的基礎(chǔ)解系可取為通解為故原方程化為第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)三.非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)

1.齊次線性方程組Ax

=稱為非齊次線性方程組Ax

=b的導(dǎo)出組.性質(zhì)1.設(shè)1,2都是Ax

=b的解,則1–2是

Ax

=的解.性質(zhì)2.是Ax

=b的解,是Ax

=的解,則

+是Ax

=b的解.2.非齊次線性方程組的解向量的性質(zhì)第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理3.11.設(shè)*是Ax

=b的一個解,1,…,nr是Ax

=的基礎(chǔ)解系,則Ax

=b的結(jié)

構(gòu)式通解為

x=k11

+…+knrnr+*.稱*為Ax

=b的一個特解.3.解非齊次線性方程組Amnx=b的一般步驟[Ab]初等行變換行階梯形秩(A)=秩([Ab])?行最簡形解最簡方程無解N初等行變換Y第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)解:初等行變換可見原方程組有解,且例13.求方程組的通解.第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)由此可得原方程組的結(jié)構(gòu)式通解可見原方程組有解,且第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)四.直線平面的相對位置

1.兩直線的相對位置A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0L1:L2:A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0記A=A1

B1

C1A2

B2

C2A3

B3

C3A4

B4

C4,A=A1

B1

C1

D1A2

B2

C2

D2A3

B3

C3

D3A4

B4

C4

D4.~第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)2.三平面的相對位置1:A1x+B1y+C1z+D1=02:A2x+B2y+C2z+D2=03:A3x+B3y+C3z+D3=0記A=A1

B1

C1A2

B2

C2A3

B3

C3,A=A1

B1

C1

D1A2

B2

C2

D2A3

B3

C3

D3.~第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計算§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計算一.初等變換和初等矩陣1.由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.按定義,初等矩陣共有如下3類:Iri

rjPij

Ici

cjPij

IrikPi(k)IcikPi(k)Iri+krjPij(k)Ici+kcjPji(k)(1)(2)(3)第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計算Pij=第i行110………11………01111………………第j行第i列第j列第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計算Pi(k)=第i行1k

11第i列1第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計算Pij(k)=第i行1……k1

1……第j行第i列第j列1第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計算2.初等矩陣的性質(zhì)命題.初等矩陣都可逆,且Pij1=Pij,(Pi(k))1=Pi(1/k),(Pij(k))1=Pij(k).定理3.12.對mn矩陣A進(jìn)行一次初等行變換相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的初等矩陣;對A施行一次初等列變換相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的初等矩陣.第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計算010100001abcxyz123,=xyzabc123010100001a

x

1b

y

2c

z3,=x

a

1y

b

2z

c31k0010001abcxyz123,=a+kxb+kyc+kzxyz1231k0010001a

x

1b

y

2c

z3.=a

ak+x

1b

bk+y

2c

ck+z310001000kabcxyz123,=a

bcx

yzk

2k

3k10001000ka

x

1b

y

2c

z3,=a

x

kb

y

2kc

z

3k第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計算二.相抵標(biāo)準(zhǔn)形2.性質(zhì)(1)反身性:A≈A.

(2)對稱性:A≈B

B≈A.(3)傳遞性:A≈B,B≈C

A≈C.1.若矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B,就稱矩陣A與矩陣B是相抵的(有的書上稱為等價).記為A≈B.這就是說,矩陣間的相抵關(guān)系是一種等價關(guān)系.第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計算相抵標(biāo)準(zhǔn)形.Ir

Or(nr)O(mr)r

O(mr)(nr)3.記,若mn矩陣A與相抵,則稱為A的1

00022

003000423

05460初等行變換初等行變換1

00001

003000001

05420初等列變換1

00001

00001

0000000002111623463331042

614513

9例如,第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計算初等行變換行階梯形Amn

行最簡形相抵標(biāo)準(zhǔn)形Ir

Or(nr)O(mr)r

O(mr)(nr)一般地,初等行變換初等列變換定理3.13.mn矩陣A,B相抵秩(A)=秩(B).證明:()因為初等變換不改變矩陣的秩.則A≈,由相抵的傳遞性可得A≈B.()設(shè)秩(A)=秩(B)=r.且B≈,第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計算品名:矩陣規(guī)格:mn

數(shù)量:

產(chǎn)地:SEU

小心輕放堆碼層數(shù)向上怕濕防潮

………………………包裝說明:內(nèi)有無數(shù)mn矩陣,按秩的不同共分為min{m,n}+1包.第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

4.矩陣相抵與向量組等價初等行變換矩陣A與B的行向量組等價B的行向量組能由A的行向量組線性表示A的行向量組能由B的行向量組線性表示初等行變換§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計算第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計算矩陣A與B的列向量組等價B的列向量組能由A的列向量組線性表示A的列向量組能由B的列向量組線性表示初等列變換初等列變換第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計算注:初等行變換(1)無法通過初等列變換實現(xiàn)矩陣A與B的行向量組等價,但列向量組不等價.初等列變換(1)無法通過初等行變換實現(xiàn)矩陣C與B的列向量組等價,但行向量組不等價.第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計算三.逆矩陣的計算定理3.13.n階方陣A可逆存在初等矩陣P1,P2,…,Pl使A=P1P2…Pl.證明:A可逆秩(A)

=nA≈I

I可以經(jīng)過有限次初等變換變成A

存在有限個初等矩陣P1,P2,…,Pl使P1P2…PrIPr+1Pr+2…Pl=A

A=P1P2…PlA可逆.第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計算推論a.mn矩陣A,B相抵存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q使得PAQ=B.證明:A,B相抵A可以經(jīng)過有限次初等變換變成B

存在m階初等矩陣P1,P2,…,Ps及n階初等矩陣Q1,Q2,…,Qt使P1P2…PsAQ1Q2…Qt=B

存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q

使得PAQ=B.第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計算推論b.設(shè)A是mn矩陣,P和Q分別是m階、n

階可逆矩陣,則秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ).推論c.設(shè)A是mn矩陣,秩(A)=r,則存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q使得

A=PQ.第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計算設(shè)A可逆,則A可以經(jīng)過有限次初等行變換化為行最簡形——單位矩陣I.A…I

(A

I)…(I

?)P1(A

I)P2P1(A

I)Pl-1…P2P1(A

I)PlPl-1…P2P1(A

I)P1AP2P1APl-1…P2P1APlPl-1…P2P1A(PlPl-1…P2P1A,PlPl-1…P2P1)?=A1第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組