高等數(shù)學(xué) 函數(shù)的單調(diào)性與極值

第三章第三講函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)1編輯ppt一、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系導(dǎo)數(shù)大于零f

(x)>0

，函數(shù)f(x)單調(diào)增加導(dǎo)數(shù)小于零f

(x)<0

，函數(shù)f(x)單調(diào)減少。f

(x)>0f

(x)<0f

(x)>0f

(x)>0f

(x)>0f

(x)<0f

(x)<0f

(x)<0xyOx0f

(x)=0【復(fù)習(xí)與思考】2編輯ppt練習(xí)４.列表分析

解3編輯ppt

列表可使問題明朗化4編輯ppt二、導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用【復(fù)習(xí)與思考】5編輯ppt

３。求函數(shù)的最大最小值問題。十七世紀(jì)初期，伽利略斷定，在真空中以角發(fā)射炮彈時，射程最大。研究行星運(yùn)動也涉及最大最小值問題。6編輯ppt極大值點極小值點稱f(x2)為極大值極小值f(x１)

稱為極值點【函數(shù)極值】一、函數(shù)極值的定義7編輯ppt函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.極值定義請同學(xué)們自己看書.函數(shù)極值怎么定義？有誰來說一說.8編輯ppt

設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=x0及其附近有定義，(1)如果在x=x0處的函數(shù)值比它附近所有各點的函數(shù)值都大，即f(x)<f(x0)，則稱f(x0)是函數(shù)

y=f(x)的一個極大值。記作:y極大值=f(x0)【函數(shù)極值的定義】(2)如果在x=x0處的函數(shù)值比它附近所有各點的函數(shù)值都小，即f(x)>f(x0)，則稱f(x0)是函數(shù)

y=f(x)的一個極小值。記作:y極小值=f(x0)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，x0叫做函數(shù)的極值點。9編輯pptyOxabx1x2x3x4

觀察上述圖象，試指出該函數(shù)的極值點與極值，并說出哪些是極大值點，哪些是極小值點。10編輯ppt(1)函數(shù)的極值點一定在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點;(2)極值點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值;(3)函數(shù)的極大(小)值可能不止一個,而且函數(shù)的極大值未必大于極小值;【關(guān)于極值概念的幾點說明】(4)極值是一個局部概念,反映了函數(shù)在某一點附近的大小情況。11編輯ppt【問題探究】問題:函數(shù)y=f(x)在極值點的導(dǎo)數(shù)值為多少?yOxabx1x2x3x412編輯ppt(是極值點情形)(不是極值點情形)問題:f

(x)全部零點或不可導(dǎo)點一定是極值點嗎？【問題探究】問題:函數(shù)y=f(x)在極值點的導(dǎo)數(shù)值為多少?13編輯ppt觀察與思考：如何找極值點？找單調(diào)上升，下降分界點f

(x)全部零點(駐點)或不可導(dǎo)點導(dǎo)數(shù)等于零的點和不可導(dǎo)點.判斷

極值可疑點14編輯ppt三.求函數(shù)y=f(x)極值的一般步驟是：(3)找出所給函數(shù)的駐點和導(dǎo)數(shù)不存在的點；(4)順次將函數(shù)的定義域分成若干個開區(qū)間，并列成表格,考察上述點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號，確定極值點；(5)求出極值點處的函數(shù)值，得到極值.請同學(xué)總結(jié)求極值的步驟（1）確定函數(shù)的定義域15編輯ppt４.極大值極小值解5.極值四、例題講解例116編輯pptxf

(x)f(x)

例２

確定函數(shù)f(x)2x39x212x3的極值

解

(1)函數(shù)的定義域為(

)

(2)f

(x)6x218x126(x1)(x2)

(3)導(dǎo)數(shù)為零的點為x11、x22

(4)列表分析

(5)函數(shù)f(x)(1)(12)(2

)↗↘↗＋－＋y2x39x212x3１12００極大值極小值17編輯ppt練習(xí)：見習(xí)題冊2.132．13、求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間．

解極大值f(1)=1,單調(diào)增加區(qū)間單調(diào)減少區(qū)間0(0,1)1(1,2)2不存在

0

不存在

18編輯ppt

２1５

確定函數(shù)f(x)

的單調(diào)區(qū)間和極值

x？？？？f

(x)f(x)

解

(1)函數(shù)的定義域為

(2)f

(x)

(3)導(dǎo)數(shù)為零的點

,不可導(dǎo)點為

(4)列表分析

(5)函數(shù)f(x)在區(qū)間(

]單調(diào)減少在區(qū)間[

)上單調(diào)增加

練習(xí)19編輯pptxf

(x)f(x)

解

(1)函數(shù)的定義域為(

)

(2)f

(x)x2e–x(3x)

(3)導(dǎo)數(shù)為零的點為x10

，x２3,

(4)列表分析

(5)函數(shù)f(x)在[３

)區(qū)間單調(diào)減少在區(qū)間(

３]上單調(diào)增加

(

０)(０

3)(3

)－０3↘↗＋↗極大值