2022-2023學(xué)年河南省鄭州市第十九高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河南省鄭州市第十九高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線(xiàn)l1與l2為兩條不重合的直線(xiàn)，則下列命題：①若l1∥l2，則斜率k1=k2；②若斜率k1=k2，則l1∥l2；③若傾斜角，則l1∥l2；④若l1∥l2，則傾斜角α1=α2.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】①若l1∥l2，則分當(dāng)斜率存在時(shí)、當(dāng)斜率不存在時(shí)兩種情況，判斷命題①錯(cuò)誤；②若斜率k1=k2，則l1∥l2，判斷命題②正確；③若傾斜角，則l1∥l2，判斷命題③正確；④若l1∥l2，則傾斜角，判斷命題④正確即可得到答案.【詳解】解：直線(xiàn)l1與l2為兩條不重合的直線(xiàn)：①若l1∥l2，當(dāng)斜率存在時(shí)，則斜率k1=k2，當(dāng)斜率不存在時(shí)，兩條直線(xiàn)都垂直與軸，所以命題①錯(cuò)誤；②若斜率k1=k2，則l1∥l2，所以命題②正確；③若傾斜角，則l1∥l2，所以命題③正確；④若l1∥l2，則傾斜角，所以命題④正確，所以正確的命題個(gè)數(shù)共3個(gè).故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題.2．設(shè)，向量，，，且，，則（

）A． B． C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)空間向量垂直與平行的坐標(biāo)表示，求得的值，得到向量，進(jìn)而求得，得到答案.【詳解】由題意，向量，，，因?yàn)?，可得，解得，即，又因?yàn)?，可得，解得，即，可得，所?故選：C.3．如圖，直三棱柱中，若，，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算求解．【詳解】因?yàn)槿庵侵比庵?，所以四邊形是平行四邊形，故，所以．故選：D．4．已知P為空間中任意一點(diǎn)，A、B、C、D四點(diǎn)滿(mǎn)足任意三點(diǎn)均不共線(xiàn)，但四點(diǎn)共面，且，則實(shí)數(shù)x的值為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，又∵P是空間任意一點(diǎn)，A、B、C、D四點(diǎn)滿(mǎn)足任三點(diǎn)均不共線(xiàn)，但四點(diǎn)共面，∴，解得x=，故選A．點(diǎn)睛：設(shè)是平面上任一點(diǎn)，是平面上的三點(diǎn)，（不共線(xiàn)），則三點(diǎn)共線(xiàn)，把此結(jié)論類(lèi)比到空間上就是：不共面，若，則四點(diǎn)共面．5．設(shè)圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：先把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心坐標(biāo)和半徑，求出圓心到直線(xiàn)的距離，此距離減去圓的半徑得最小值，加上半徑得最大值.詳解：由題意得，圓，即，圓心為，半徑，由圓心到直線(xiàn)的距離，圓上動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)的最小距離為，最大距離為，即的取值范圍是，故選B.點(diǎn)睛：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用，意在考查綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力，屬于中檔題.6．三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，則外接圓方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，借助斜率判斷形狀，再求出圓方程作答.【詳解】依題意，直線(xiàn)AC斜率，直線(xiàn)BC斜率，有，即，因此外接圓是以線(xiàn)段為直徑的圓，AB的中點(diǎn)為，半徑，所以外接圓方程是，即.故選：A7．已知圓的方程為，為圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用斜率的幾何意義求出取值范圍.【詳解】∵圓的方程為，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)方程，設(shè)切線(xiàn)方程為，即.則，解得：.則的取值范圍為.故選：C.8．過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線(xiàn)有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．無(wú)數(shù)多條【答案】C【分析】由題意分類(lèi)討論分為直線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則直接求出結(jié)果；直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可.【詳解】當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，則斜率為，所以直線(xiàn)方程為當(dāng)直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，由題意知直線(xiàn)方程為，將點(diǎn)代入，求得或，則直線(xiàn)方程為，綜上可知，滿(mǎn)足要求的直線(xiàn)有3條.故選:C.9．已知直線(xiàn)l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，l1∥l2，則m的值是()A．m＝3 B．m＝0C．m＝0或m＝3 D．m＝0或m＝－1【答案】D【詳解】當(dāng)m=0時(shí)，兩條直線(xiàn)分別化為：x+6=0，﹣2x=0，此時(shí)兩條直線(xiàn)平行，滿(mǎn)足條件，∴m=0．當(dāng)m≠0時(shí)，兩條直線(xiàn)分別化為：﹣，y=x﹣，∵兩條直線(xiàn)平行，∴=﹣，≠，解得m=﹣1．綜上可得：m=0或﹣1．故選D．10．設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為，，分別是，的中點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的中點(diǎn)公式表示和，然后利用向量的數(shù)量積公式運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)镋，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，，，又正四面體ABCD的棱長(zhǎng)都為，，．故選：A．11．已知空間中三點(diǎn)，，，則（

）A．與是共線(xiàn)向量B．的單位向量是C．與夾角的余弦值是D．平面的一個(gè)法向量是【答案】D【分析】根據(jù)向量的相關(guān)性質(zhì)判斷.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，，，所以，則與不是共線(xiàn)向量，所以A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，所以的單位向量為，所以B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，向量，，所以，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)平面的法向量是，因?yàn)?，，所以，則，令，則平面的一個(gè)法向量為，所以D項(xiàng)正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查共線(xiàn)向量的判斷，單位向量的求法，夾角的求法，平面法向量的求法，屬于空間向量綜合題.12．阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，對(duì)圓錐曲線(xiàn)有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q，P的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，且，若點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)的軌跡方程可得，結(jié)合條件可得，即得.【詳解】設(shè)，，所以，又，所以．因?yàn)榍?，所以，整理可得，又?dòng)點(diǎn)M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，因?yàn)?，所以的最小值為．故選：C．二、填空題13．已知，且與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)____．【答案】【解析】利用去掉反向的情形即得．【詳解】由，，所以，解得若與反向，則則，所以所以與的夾角為鈍角則且綜上的范圍是．故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查向量的夾角與向量的數(shù)量積的關(guān)系，根據(jù)向量夾角求參數(shù)時(shí)，可由是兩個(gè)非零向量，則夾角是銳角時(shí)，，夾角是鈍角時(shí)，，反之要注意可能同向也可能反向．屬于中檔題.14．給出下列命題：①直線(xiàn)l的方向向量為=（1，﹣1，2），直線(xiàn)m的方向向量=（2，1，﹣），則l與m垂直；②直線(xiàn)l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），則l⊥α；③平面α、β的法向量分別為=（0，1，3），=（1，0，2），則α∥β；④平面α經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，則u+t=1.其中真命題的是______．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）【答案】①④【詳解】，，則則，直線(xiàn)與垂直，故①正確，，則則，或，故②錯(cuò)誤，，與不共線(xiàn)，不成立，故③錯(cuò)誤點(diǎn)，，，向量是平面的法向量，即，解得，故④正確綜上所述，其中真命題是①，④點(diǎn)睛：本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用．①求數(shù)量積，利用數(shù)量積進(jìn)行判斷，②求數(shù)量積，利用數(shù)量積進(jìn)行判斷，③求利用與的關(guān)系進(jìn)行判斷，④利用法向量的定義判斷，即可得到答案．15．直線(xiàn)xcosθ＋y＋2＝0的傾斜角的范圍是________．【答案】【詳解】由題知k＝－cosθ，故k∈，結(jié)合正切函數(shù)的圖象，當(dāng)k∈時(shí)，直線(xiàn)傾斜角α∈，當(dāng)k∈時(shí)，直線(xiàn)傾斜角α∈，故直線(xiàn)的傾斜角的范圍是∪.16．若圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則取值范圍為_(kāi)_________________【答案】【詳解】分析：先求出圓心和半徑，比較半徑和2，要求圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線(xiàn)l：x﹣y+b=0的距離為2，則圓心到直線(xiàn)的距離應(yīng)小于等于，用圓心到直線(xiàn)的距離公式，可求得結(jié)果．詳解：圓x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0整理為，∴圓心坐標(biāo)為（2，2），半徑為3，要求圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線(xiàn)l：x﹣y+b=0的距離為2，則圓心到直線(xiàn)的距離d=≤，∴﹣2≤b≤2，∴b的取值范圍是[﹣2，2]，故答案為[﹣2，2]．點(diǎn)睛：本題考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，圓心到直線(xiàn)的距離等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．三、解答題17．已知點(diǎn)，，．求：(1)BC邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程；(2)BC邊上的高所在直線(xiàn)方程．【答案】(1)x＝1；(2)4x＋y－7＝0．【分析】（1）求出邊中點(diǎn)坐標(biāo)，然后求得斜率得直線(xiàn)方程；（2）求出邊所在直線(xiàn)斜率，由垂直得高所在直線(xiàn)斜率，從而可得直線(xiàn)方程．【詳解】（1）∵，，，∴易知線(xiàn)段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，易知BC邊上的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)的斜率不存在，∴BC邊上的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為x＝1；（2）∵，∴BC邊上的高所在直線(xiàn)的斜率k＝－4，∴BC邊上的高所在直線(xiàn)的方程為：y－3＝－4（x－1），即4x＋y－7＝0．18．在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別是與的中點(diǎn).(1)求與截面所成角的正弦值；(2)求點(diǎn)到截面的距離．【答案】(1)；(2).【分析】(1)以為原點(diǎn)，DA、DC、分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求解；(2)根據(jù)(1)中空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求解.【詳解】（1）以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，0，，，，，，，，則，，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，即，取，則，2，，設(shè)與截面所成角為，則，∴與截面所成角正弦值為．（2）由(1)知，，，平面的一個(gè)法向量為，2，，∴點(diǎn)到截面的距離．19．如圖，平面，，，，，.（1）求證：平面；（2）若二面角的余弦值為，求線(xiàn)段的長(zhǎng).【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】(1)根據(jù)線(xiàn)面平行證明面面平行，得出線(xiàn)面平行；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)線(xiàn)段的長(zhǎng)為，根據(jù)二面角的余弦值，求出線(xiàn)段.【詳解】解：（1）∵，，平面，平面平面，平面，又∵，∴平面平面又∵平面，∴平面.（2）∵平面，,，，∴以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)第.易知，，，設(shè)，，則，，，，，設(shè)為平面的法向量，則：由得：，?。辉O(shè)為平面的法向量則由得得：，取.∴∵二面角的余弦值為.∴，解得：經(jīng)驗(yàn)證：時(shí)，符合題意故所求.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面平行定理和利用二面角的余弦值求參數(shù)問(wèn)題，屬于中檔題.20．已知圓，圓．（1）試判斷圓與圓是否相交，若相交，求兩圓公共弦所在直線(xiàn)的方程，若不相交，說(shuō)明理由；（2）若直線(xiàn)與圓交于A，B兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】（1）；（2）或．.【分析】（1）用圓心距與兩圓半徑的關(guān)系判斷兩圓位置關(guān)系；用兩圓方程相減消去二次項(xiàng)得相交弦所在直線(xiàn)方程；（2）聯(lián)立直線(xiàn)與圓的方程，根據(jù)韋達(dá)定理以及兩線(xiàn)垂直的向量關(guān)系列式可解得k．【詳解】（1），兩圓相交，兩圓做差得即公共弦所在直線(xiàn)為：（2）由題可知，設(shè)將代入得整理得，，由韋達(dá)定理得化簡(jiǎn)得，解得或．【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系及圓和圓的位置關(guān)系及其判定，屬中檔題．一般直線(xiàn)和圓的題很多情況下是利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決的，聯(lián)立的時(shí)候較少；在求圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)或者定點(diǎn)的距離時(shí)，一般是轉(zhuǎn)化為圓心到直線(xiàn)或者圓心到定點(diǎn)的距離，再加減半徑，分別得到最大值和最小值；涉及到圓的弦長(zhǎng)或者切線(xiàn)長(zhǎng)時(shí)，經(jīng)常用到垂徑定理．21．已知圓C：，直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)．（1）若直線(xiàn)l與圓C相切，求直線(xiàn)l的方程；（2）若直線(xiàn)l與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，求的面積的最大值，并求此時(shí)直線(xiàn)l的方程．【答案】（1）或【分析】（1）通過(guò)直線(xiàn)的斜率存在與不存在兩種情況，利用直線(xiàn)的方程與圓C相切，圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑即可求解直線(xiàn)的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)方程為，求出圓心到直線(xiàn)的距離、求得弦長(zhǎng)，得到的面積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)求出面積的最大值時(shí)的距離，然后求出直線(xiàn)的斜率，即可得到直線(xiàn)的方程.【詳解】（1）①若直線(xiàn)l1的斜率不存在，則直線(xiàn)l1：x＝1，符合題意.

②若直線(xiàn)l1斜率存在，設(shè)直線(xiàn)l1的方程為，即．由題意知，圓心（3，4）到已知直線(xiàn)l1的距離等于半徑2，即：，解之得.

所求直線(xiàn)l1的方程是或.(2)直線(xiàn)與圓相交，斜率必定存在，且不為0,設(shè)直線(xiàn)方程為，則圓心到直線(xiàn)l1的距離

又∵△CPQ的面積

＝∴當(dāng)d＝時(shí)，S取得最大值2.

∴＝

∴k＝1或k＝7所求直線(xiàn)l1方程為x－y－1＝0或7x－y－7＝0.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中涉及到直線(xiàn)與圓相切，圓的弦長(zhǎng)公式，以及三角形的面積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，其中熟記直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，合理準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題.22．如圖，且AD＝2BC＝2，，平面平面ABCD，四邊形ADGE為矩形，且CD＝2FG＝2．(1)若M為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：平面CDE；(2)若CF與平面ABCD所成角的正切值為2，求直線(xiàn)AD到平面EBC的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法證明線(xiàn)面平行，即證與平面的法向量的數(shù)量積為0，再由線(xiàn)面平行的判定定理得結(jié)論；（2）由空間向量法求得A點(diǎn)到平面的距離即得．【詳解】（1）平面平面ABCD，平面平面ABCD=，,平面，所以平面，