《圓柱圓錐圓臺的表面積和體積》設(shè)計

《圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積》教學(xué)設(shè)計【教學(xué)目標(biāo)】1.掌握圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積的求法．2．會求與圓柱、圓錐、圓臺有關(guān)的組合體的表面積與體積【教學(xué)重點】掌握圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積的求法．【教學(xué)難點】會求與圓柱、圓錐、圓臺有關(guān)的組合體的表面積與體積【課時安排】1課時【教學(xué)過程】新知初探1．圓柱、圓錐、圓臺的表面積圓柱底面積：S底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝2πrl表面積：S＝2πrl＋2πr2圓錐底面積：S底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝πrl表面積：S＝πrl＋πr2圓臺上底面面積：S上底＝πr′2下底面面積：S下底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝πl(wèi)(r＋r′)表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)2.圓柱、圓錐、圓臺的體積公式V圓柱＝πr2h(r是底面半徑，h是高)，V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h(r是底面半徑，h是高)，V圓臺＝eq\f(1,3)πh(r′2＋r′r＋r2)(r′、r分別是上、下底面半徑，h是高)．思考：圓柱、圓錐、圓臺的體積公式之間有什么關(guān)系？結(jié)合棱柱、棱錐、棱臺的體積公式，你能將它們統(tǒng)一成柱體、錐體、臺體的體積公式嗎？柱體、錐體、臺體的體積公式之間又有怎樣的關(guān)系？提示：V柱體＝Sh(S為底面積，h為柱體高)；V錐體＝eq\f(1,3)Sh(S為底面積，h為錐體高)；V臺體＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h(S′，S分別為上、下底面面積，h為臺體高)．當(dāng)S′＝S時，臺體變?yōu)橹w，合體的體積公式也就是柱體的體積公式；當(dāng)S′＝0時，臺體變?yōu)殄F體，臺體的體積公式也就是錐體的體積公式．小試牛刀1．若圓柱的軸截面為邊長為2的正方形，求圓柱的側(cè)面積()A．2πB．4πC．6πD．8πB解析：由軸截面的邊長為2可知r＝1，l＝2，∴S＝2πr·l＝4π.2.圓臺的上、下底面半徑分別為3和4，母線長為6，則其表面積等于()πππB解析：所求棱臺的體積V＝eq\f(1,3)×(4＋16＋eq\r(4×16))×3＝28.3.若圓錐的母線長為8，底面周長為6π，則其體積是()A．24πB．24C．3eq\r(55)πD．3eq\r(55)C解析：設(shè)圓錐的母線長為l，高為h，底面半徑為r，由底面周長為2πr＝6π，得r＝3，所以h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(82－32)＝eq\r(55).由圓錐的體積公式可得V＝eq\f(1,3)πr2h＝3eq\r(55)π.4．圓柱的側(cè)面展開圖是長12cm，寬8cm的矩形，則這個圓柱的體積為cm3eq\f(288,π)或eq\f(192,π)[圓柱的高為8cm時，V＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,2π)))eq\s\up20(2)×8＝eq\f(288,π)cm3，當(dāng)圓柱的高為12cm時，V＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2π)))eq\s\up20(2)×12＝eq\f(192,π)cm3.]圓柱、圓錐、圓臺的表面積【例1】(1)一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，這個圓柱的表面積與側(cè)面積的比是()\f(1＋2π,2π)\f(1＋4π,4π)\f(1＋2π,π)\f(1＋4π,2π)⑵圓臺的上、下底面半徑分別為10cm和20cm.它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°，則圓臺的表面積是(結(jié)果中保留π)(1)A[設(shè)圓柱底面半徑為r，則高為2πr，表面積∶側(cè)面積＝[(2πr)2＋2πr2]∶(2πr)2＝eq\f(1＋2π,2π).][解析]如圖所示，設(shè)圓臺的上底面周長為c，因為扇環(huán)的圓心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20，同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20，所以S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πreq\o\al(2,1)＋πreq\o\al(2,2)＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圓臺的表面積為1100πcm2.方法總結(jié)解決圓柱、圓錐、圓臺的表面積問題,要利用好旋轉(zhuǎn)體的軸截面及側(cè)面展開圖,借助于平面幾何知識,求得所需幾何要素,代入公式求解即可,基本步驟如下:(1)得到空間幾何體的平面展開圖;(2)依次求出各個平面圖形的面積;(3)將各平面圖形的面積相加.當(dāng)堂練習(xí)1⑴軸截面是正三角形的圓錐稱作等邊圓錐，則等邊圓錐的側(cè)面積是底面積的()A．4倍B．3倍\r(2)倍D．2倍(2)已知圓臺的上、下底面半徑分別是2,6，且側(cè)面面積等于兩底面面積之和．①求圓臺的母線長．②求圓臺的表面積．(1)A[設(shè)圓柱底面半徑為r，則高為2πr，表面積∶側(cè)面積＝[(2πr)2＋2πr2]∶(2πr)2＝eq\f(1＋2π,2π).](2)[解]①設(shè)圓臺的母線長為l，則由題意得π(2＋6)l＝π×22＋π×62，∴8πl(wèi)＝40π，∴l(xiāng)＝5，∴該圓臺的母線長為5.②由①可得圓臺的表面積為S＝π×(2＋6)×5＋π·22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝80π.圓柱、圓錐、圓臺的體積【例2】圓錐的過高的中點且與底面平行的截面把圓錐分成兩部分的體積之比是()A．1∶1B．1∶6C．1∶7 D．1∶8C[如圖，設(shè)圓錐底半徑OB＝R，高PO＝h，∵O′為PO中點，∴PO′＝eq\f(h,2)，∵eq\f(O′A,OB)＝eq\f(PO′,PO)＝eq\f(1,2)，∴O′A＝eq\f(R,2)，∴V圓錐PO′＝eq\f(1,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up20(2)·eq\f(h,2)＝eq\f(1,24)πR2h.V圓臺O′O＝eq\f(π,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up20(2)＋R2＋\f(R,2)·R))·eq\f(h,2)＝eq\f(7,24)πR2h.∴eq\f(V圓錐PO′,V圓臺O′O)＝eq\f(1,7)，故選C.]方法總結(jié)求幾何體體積的常用方法當(dāng)堂練習(xí)2用半徑為4的半圓形鐵皮卷成一個圓錐的側(cè)面,則此圓錐的體積為解析:半圓的弧長為12×2π×4=4π,∴4π=2πR,得圓錐的底面半徑R=2.圓錐的高h=42-22∴圓錐的體積V=13×π×22×23=與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體的表面積與體積【例3】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD內(nèi)過點C作l⊥CB，以l為軸旋轉(zhuǎn)一周．求旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積．[解]如題圖，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝eq\f(BC－AD,cos60°)＝2a，AB＝CDsin60°＝eq\r(3)a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝eq\f(1,2)DD′＝a.由于以l為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體為圓柱中挖去一個倒放的與圓柱等高的圓錐．由上述計算知，圓柱母線長eq\r(3)a，底面半徑2a，圓錐的母線長2a，底面半徑a.∴圓柱的側(cè)面積S1＝2π·2a·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa2，圓錐的側(cè)面積S2＝π·a·2a＝2πa2，圓柱的底面積S3＝π(2a)2＝4πa2，圓錐的底面積S4＝πa2，∴組合體上底面積S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋轉(zhuǎn)體的表面積S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4eq\r(3)＋9)πa2.又由題意知形成的幾何體的體積為一個圓柱的體積減去一個圓錐的體積．V柱＝Sh＝π·(2a)2·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa3，V錐＝eq\f(1,3)S′h＝eq\f(1,3)·π·a2·eq\r(3)a＝eq\f(\r(3),3)πa3，∴V＝V柱－V錐＝4eq\r(3)πa3－eq\f(\r(3),3)πa3＝eq\f(11\r(3),3)πa3.如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，C到AB與AD的距離分別為1和2，若將ABCD繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的體積．[解析]旋轉(zhuǎn)得到一個圓錐和圓臺的組合體，V圓錐＝eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(8,3)π，V圓臺＝eq\f(1,3)π×1×(22＋12＋2×1)＝eq\f(7,3)π，所以V＝V圓錐＋V圓臺＝5π.解析：這個幾何體可看成是正方體ABCD－A1B1C1D1與直三棱柱B1C1Q－A1D1P的組合體．由PA1＝PD1＝eq\r(2)，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求幾何體的表面積S＝5×22＋2×2×eq\r(2)＋2×eq\f(1,2)×(eq\r(2))2＝(22＋4eq\r(2)