2022-2023學(xué)年安徽省宣城市普通高校對口單招高等數(shù)學(xué)一自考模擬考試(含答案)

2022-2023學(xué)年安徽省宣城市普通高校對口單招高等數(shù)學(xué)一自考模擬考試(含答案)學(xué)校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.微分方程y"+y'=0的通解為

A.y=Ce-x

B.y=e-x+C

C.y=C1e-x+C2

D.y=e-x

2.

3.

4.下列級數(shù)中發(fā)散的是（）

A.

B.

C.

D.

5.設(shè)函數(shù)z=sin(xy2)，則等于()。A.cos(xy2)

B.xy2cos(xy2)

C.2xyeos(xy2)

D.y2cos(xy2)

6.設(shè)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則a等于()．A.A.0B.1/2C.1D.2

7.

A.f(x)

B.f(x)+C

C.f/(x)

D.f/(x)+C

8.

9.A.A.連續(xù)點

B.

C.

D.

10.。A.2B.1C.-1/2D.0

11.

12.下列關(guān)系式正確的是()A.A.

B.

C.

D.

13.A.A.e2/3

B.e

C.e3/2

D.e6

14.

A.x=-2B.x=2C.y=1D.y=-2

15.設(shè)函數(shù)f(x)=2sinx，則f'(x)等于()．A.A.2sinxB.2cosxC.-2sinxD.-2cosx．

16.方程2x2-y2=1表示的二次曲面是（）。A.球面B.柱面C.旋轉(zhuǎn)拋物面D.圓錐面

17.

等于()．

18.函數(shù)等于()．

A.0B.1C.2D.不存在

19.

20.設(shè)f(x)=e3x，則在x=0處的二階導(dǎo)數(shù)f"(0)=A.A.3B.6C.9D.9e

二、填空題(20題)21.

22.

23.過點(1，-1，0)且與直線平行的直線方程為______。

24.

25.

26.設(shè)y=cosx，則y'=______

27.

28.

29.

30.

31.

32.設(shè)f(x)=x(x-1)，則f'(1)=__________。

33.

34.

35.

36.微分方程y''+6y'+13y=0的通解為______.

37.設(shè)f(x)=1+cos2x，則f'(1)=__________。

38.

39.

40.級數(shù)的收斂區(qū)間為______．

三、計算題(20題)41.

42.研究級數(shù)的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數(shù)a>0．

43.當(dāng)x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

44.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當(dāng)p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

45.

46.

47.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值．

48.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．

49.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質(zhì)量m．

50.

51.

52.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

53.

54.

55.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

56.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

57.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi)，以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設(shè)梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達(dá)式；

(2)求S(x)的最大值．

58.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數(shù)．

59.證明：

60.求微分方程的通解．

四、解答題(10題)61.

62.

63.將展開為x的冪級數(shù)．

64.求由曲線y=3-x2與y=2x，y軸所圍成的平面圖形的面積及該封閉圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積．

65.設(shè)函數(shù)y=xlnx,求y''.

66.求

67.

68.

69.

70.設(shè)y=x2=lnx，求dy。

五、高等數(shù)學(xué)(0題)71.

六、解答題(0題)72.將f(x)=ln(1+x2)展開為x的冪級數(shù)．

參考答案

1.C解析：y"+y'=0，特征方程為r2+r=0，特征根為r1=0，r2=-1；方程的通解為y=C1e-x+C1，可知選C。

2.B

3.B

4.D

5.D本題考查的知識點為偏導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算。由z=sin(xy2)，知可知應(yīng)選D。

6.C本題考查的知識點為函數(shù)連續(xù)性的概念．

由函數(shù)連續(xù)性的定義可知，若f(x)在x=0處連續(xù)，則有，由題設(shè)f(0)=a，

可知應(yīng)有a=1，故應(yīng)選C．

7.A由不定積分的性質(zhì)“先積分后求導(dǎo)，作用抵消”可知應(yīng)選A．

8.B

9.C解析：

10.A

11.A

12.C

13.D

14.C解析：

15.B本題考查的知識點為導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．

f(x)=2sinx，

f'(x)=2(sinx)'=2cosx，

可知應(yīng)選B．

16.B

17.D解析：本題考查的知識點為牛頓一萊布尼茨公式和定積分的換元法．

因此選D．

18.C解析：

19.A

20.Cf(x)=e3x，f'(x)=3e3x，f"(x)=9e3x，f"(0)=9，因此選C。

21.

解析：

22.

23.本題考查的知識點為直線的方程和直線與直線的關(guān)系。由于兩條直線平行的充分必要條件為它們的方向向量平行，因此可取所求直線的方向向量為(2，1，-1)．由直線的點向式方程可知所求直線方程為

24.

解析：

25.

本題考查的知識點為重要極限公式．

26.-sinx

27.

28.坐標(biāo)原點坐標(biāo)原點

29.

30.0

31.3yx3y-1

32.

33.0．

本題考查的知識點為冪級數(shù)的收斂半徑．

所給冪級數(shù)為不缺項情形

因此收斂半徑為0．

34.(1/2)x2-2x+ln｜x｜+C

35.1本題考查了收斂半徑的知識點。

36.y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x)微分方程y''+6y'+13y=0的特征方程為r2+6r+13=0，特征根為所以微分方程的通解為y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x).

37.-2sin2

38.

39.(-33)(-3,3)解析：

40.(-1，1)本題考查的知識點為求冪級數(shù)的收斂區(qū)間．

所給級數(shù)為不缺項情形．

可知收斂半徑，因此收斂區(qū)間為

(-1，1)．

注：《綱》中指出，收斂區(qū)間為(-R，R)，不包括端點．

本題一些考生填1，這是誤將收斂區(qū)間看作收斂半徑，多數(shù)是由于考試時過于緊張而導(dǎo)致的錯誤．

41.

42.

43.由等價無窮小量的定義可知

44.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當(dāng)P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當(dāng)P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

45.

46.由一階線性微分方程通解公式有

47.函數(shù)的定義域為

注意

48.

列表：

說明

49.由二重積分物理意義知

50.

51.

則

52.

53.

54.

55.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0．

如果函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

56.解：原方程對應(yīng)的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

；本題考查的知識點為將初等函數(shù)展開為x的冪級數(shù)．

如果題目中沒有限定展開方法，一律要利用間接展開法．這要求考生記住幾個標(biāo)準(zhǔn)展開式：，ex，sinx，cosx，ln(1+x)對于x的冪級數(shù)展開式．

64.所給曲線圍成的平面圖形如圖1-3所示．

解法1利用定積分求平面圖形的面積．由于的解為x=1，y=2，可得

解法2利用二重積分求平面圖形面積．由于

的解為x=1，y=2，

求旋轉(zhuǎn)體體積與解法1同．本題考查的知識點有兩個：利用定積分求平面圖形的面積；用定積分求繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積．

本題也可以利用二重積分求平面圖形的面積．

65.

66.

本題考查的知識點為極限的四則運(yùn)算法則．

由于分母中含有根式，可以先將分子、分母同乘以

67.

68.

69.

70.

71.

72