概率的基本性質(zhì)

3.1.3概率的基本性質(zhì)

3.1隨機(jī)事件的概率1問題提出1.兩個集合之間存在著包含與相等的關(guān)系，集合可以進(jìn)行交、并、補(bǔ)運(yùn)算，你還記得子集、等集、交集、并集和補(bǔ)集的含義及其符號表示嗎？

2.我們可以把一次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果看成一個集合（如連續(xù)拋擲兩枚硬幣），那么必然事件對應(yīng)全集，隨機(jī)事件對應(yīng)子集，不可能事件對應(yīng)空集，從而可以類比集合的關(guān)系與運(yùn)算，分析事件之間的關(guān)系與運(yùn)算，使我們對概率有進(jìn)一步的理解和認(rèn)識．

2概率的基本性質(zhì)3知識探究（一）：事件的關(guān)系與運(yùn)算

在擲骰子試驗(yàn)中，我們用集合形式定義如下事件：C1＝｛出現(xiàn)1點(diǎn)｝，C2＝｛出現(xiàn)2點(diǎn)｝，C3＝｛出現(xiàn)3點(diǎn)｝，C4＝｛出現(xiàn)4點(diǎn)｝，C5＝｛出現(xiàn)5點(diǎn)｝，C6＝｛出現(xiàn)6點(diǎn)｝，D1＝｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1｝，D2＝｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于4｝，D3＝｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于6｝，E＝｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7｝，F(xiàn)＝｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6｝，G＝｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)｝，H＝｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)｝，等等.4思考1：上述事件中哪些是必然事件？哪些是隨機(jī)事件？哪些是不可能事件?思考2：如果事件C1發(fā)生，則一定有哪些事件發(fā)生？在集合中，集合C1與這些集合之間的關(guān)系怎樣描述？

5思考3：一般地，對于事件A與事件B，如何理解事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）？特別地，不可能事件用Ф表示，它與任何事件的關(guān)系怎樣約定？

如果當(dāng)事件A發(fā)生時，事件B一定發(fā)生，則BA(或AB)；任何事件都包含不可能事件.6思考4：分析事件C1與事件D1之間的包含關(guān)系，按集合觀點(diǎn)這兩個事件之間的關(guān)系應(yīng)怎樣描述？

思考5：一般地，當(dāng)兩個事件A、B滿足什么條件時，稱事件A與事件B相等？

思考6：如果事件C5發(fā)生或C6發(fā)生，就意味著哪個事件發(fā)生？反之成立嗎？

若BA，且AB，則稱事件A與事件B相等，記作A=B.

7思考7：事件D2稱為事件C5與事件C6的并事件（或和事件），一般地，事件A與事件B的并事件（或和事件）是什么含義？

當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生時，事件C發(fā)生，則稱事件C為事件A與事件B的并事件(或和事件)，記作C=A∪B(或A+B).

8思考8：類似地，當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生時，事件C發(fā)生，則稱事件C為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作C=A∩B（或AB），在上述事件中能找出這樣的例子嗎？

9思考9：兩個集合的交可能為空集，兩個事件的交事件也可能為不可能事件，即A∩B＝Ф，此時，稱事件A與事件B互斥，那么在一次試驗(yàn)中，事件A與事件B互斥的含義怎樣理解？在上述事件中能找出這樣的例子嗎？

事件A與事件B不會同時發(fā)生.10思考10：若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，則稱事件A與事件B互為對立事件，那么在一次試驗(yàn)中，事件A與事件B互為對立事件的含義怎樣理解？在上述事件中能找出這樣的例子嗎？

事件A與事件B有且只有一個發(fā)生.11思考11：事件A與事件B的和事件、積事件，分別對應(yīng)兩個集合的并、交，那么事件A與事件B互為對立事件，對應(yīng)的集合A、B是什么關(guān)系？集合A與集合B互為補(bǔ)集.思考12：若事件A與事件B相互對立，那么事件A與事件B互斥嗎？反之，若事件A與事件B互斥，那么事件A與事件B相互對立嗎？12知識探究（二）：概率的幾個基本性質(zhì)

思考1：概率的取值范圍是什么？必然事件、不可能事件的概率分別是多少？

思考2：如果事件A與事件B互斥，則事件A∪B發(fā)生的頻數(shù)與事件A、B發(fā)生的頻數(shù)有什么關(guān)系？fn(A∪B)與fn(A)、fn(B)有什么關(guān)系？進(jìn)一步得到P(A∪B)與P(A)、P(B)有什么關(guān)系？

13若事件A與事件B互斥，則A∪B發(fā)生的頻數(shù)等于事件A發(fā)生的頻數(shù)與事件B發(fā)生的頻數(shù)之和，且P（A∪B）＝P（A）＋P（B），這就是概率的加法公式.思考3：如果事件A與事件B互為對立事件，則P(A∪B)的值為多少？P(A∪B)與P(A)、P(B)有什么關(guān)系？由此可得什么結(jié)論？

若事件A與事件B互為對立事件，則P（A）＋P（B）＝1.14思考4：如果事件A與事件B互斥，那么P（A）＋P（B）與1的大小關(guān)系如何？

P（A）＋P（B）≤1.

15思考5：如果事件A1，A2，…，An中任何兩個都互斥，那么事件（A1+A2+…+An）的含義如何？P（A1+A2+…+An）與P（A1），P（A2），…，P（An）有什么關(guān)系？

事件（A1+A2+…+An）表示事件A1，A2，…，An中有一個發(fā)生；P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）.16思考6：對于任意兩個事件A、B，P（A∪B）一定比P（A）或P（B）大嗎？P（A∩B）一定比P（A）或P（B）小嗎？17知識遷移

例1某射手進(jìn)行一次射擊，試判斷下列事件哪些是互斥事件？哪些是對立事件？事件A：命中環(huán)數(shù)大于7環(huán)；事件B：命中環(huán)數(shù)為10環(huán)；事件C：命中環(huán)數(shù)小于6環(huán)；事件D：命中環(huán)數(shù)為6、7、8、9、10環(huán)．事件A與事件C互斥，事件B與事件C互斥，事件C與事件D互斥且對立.

18例2一個人打靶時連續(xù)射擊兩次事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 （）至多有一次中靶B.兩次都中靶C.只有一次中靶D.兩次都不中靶D19

例3把紅、藍(lán)、黑、白4張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙、丁四人，每人分得一張，那么事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是()A.對立事件B.互斥但不對立事件C.必然事件D.不可能事件B20P（C）=P（A∪B）=P（A）＋P（B）=0.5，P（D）=1-P（C）=0.5.

例4如果從不包括大小王的52張撲克牌中隨機(jī)抽取一張，那么取到紅心（事件A）的概率是，取到方片（事件B）的概率是，問：（l）取到紅色牌（事件C）的概率是多少？（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？21例5袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，已知得到紅球的概率是，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率也是，試求得到黑球、黃球、綠球的概率分別是多少？22小結(jié)作業(yè)1.事件的各種關(guān)系與運(yùn)算，可以類比集合的關(guān)系與運(yùn)算，互斥事件與對立事件的概念的外延具有包含關(guān)系，即{對立事件}{互斥事件}.2.在一次試驗(yàn)中，兩個互斥事件不能同時發(fā)生，它包括一個事件發(fā)生而另一個事件不發(fā)生，或者兩個事件都不發(fā)生，兩個對立事件有且僅有一個發(fā)生.2