現(xiàn)代控制理論-劉豹第三版-第5章

編輯ppt5.1線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性5.2極點(diǎn)配置問(wèn)題5.3系統(tǒng)鎮(zhèn)定問(wèn)題5.4系統(tǒng)解耦問(wèn)題5.5狀態(tài)觀測(cè)器5.6利用狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的系統(tǒng)編輯ppt5.1線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性5.1.1狀態(tài)反饋

狀態(tài)反饋是將系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)，然后反饋到輸入端與參考輸入相加形成控制律，作為受控系統(tǒng)的控制輸入。下（圖一）是一個(gè)多輸入一多輸出系統(tǒng)狀態(tài)反饋的基本結(jié)構(gòu)。編輯ppt圖中受控系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：式中簡(jiǎn)記為

式中，v為維參考輸人；K為

維狀態(tài)反饋系數(shù)陣或狀態(tài)反饋增益陣。對(duì)單輸入系統(tǒng)，K為

維行矢量。（1）若D=0，則受控系統(tǒng)：（2）狀態(tài)線性反饋控制律為：（3）編輯ppt

把式(3)代人式(1)整理可得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式：簡(jiǎn)記為。閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣：

比較開(kāi)環(huán)系統(tǒng)與閉環(huán)系統(tǒng)可見(jiàn)，狀態(tài)反饋陣K的引入，并不增加系統(tǒng)的維數(shù)，但可通過(guò)K的選擇自由地改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而使系統(tǒng)獲得所要求的性能。（4）若D=O，則（5）（6）編輯ppt5.1.2輸出反饋

輸出反饋是采用輸出矢量y構(gòu)成線性反饋律。在經(jīng)典控制理論中主要討論這種反饋形式。（圖二）示出多輸入一多輸出系統(tǒng)輸出反饋的基本結(jié)構(gòu)。編輯ppt受控系統(tǒng)（7）或（8）輸出線性反饋控制律為：（9）

其中日為維輸出反饋增益陣。對(duì)單輸出系統(tǒng)，H為維列矢量。編輯ppt

閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式可由式(7)代入式(9)得：（10）整理得：（11）再把式(11)代入式(7)求得：（12）若D=0，則（13）編輯ppt

簡(jiǎn)記。由式(13)可見(jiàn)，通過(guò)選擇輸出反饋增益陣日也可以改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而改變系統(tǒng)的控制特性。

輸出反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為：若受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為：存在下列關(guān)系：（14）（15）（16）或（17）編輯ppt

從系統(tǒng)輸出到狀態(tài)矢量導(dǎo)數(shù)的線性反饋形式在狀態(tài)觀測(cè)器獲得應(yīng)用。（圖三）表示這種反饋結(jié)構(gòu)：

比較上述兩種基本形式的反饋可以看出，輸出反饋中的HC與狀態(tài)反饋中的K

相當(dāng)。但由于，所以H可供選擇的自由度遠(yuǎn)比K

小，因而輸出反饋只能相當(dāng)于一種部分狀態(tài)反饋一只有當(dāng)時(shí)，，才能等同于全狀態(tài)反饋。因此，在不增加補(bǔ)償器的條件下，輸出反饋的效果撮然不如狀態(tài)反饋系統(tǒng)好。但輸出反饋在技術(shù)實(shí)現(xiàn)上的方便性則足其突出優(yōu)點(diǎn)。5.1.3從輸出到狀態(tài)矢量導(dǎo)數(shù)反饋編輯ppt設(shè)受控系統(tǒng)：

加入從輸出y到狀態(tài)矢量導(dǎo)數(shù)的反饋增益陣，可得閉環(huán)系統(tǒng)：將式(19)中的y代入整理得：（18）（19）（20）編輯ppt記作。若D=0，則（21）閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣：（22）5.1.4動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器

上述三種反饋基本結(jié)構(gòu)的共同點(diǎn)是，不增加新的狀態(tài)變量，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)與閉環(huán)同維。其次，反饋增益陣都是常矩陣，反饋為線性反饋。在更復(fù)雜的情況下，常常要通過(guò)引入一個(gè)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)來(lái)改善系統(tǒng)性能，這種動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)，稱為動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器。編輯ppt

它與受控系統(tǒng)的連接方式如圖5．4所示，其中圖a為串聯(lián)連接，圖b為反饋連接。5.1.5閉環(huán)系統(tǒng)的能控性與能觀性定理5.1.1狀態(tài)反饋不改變受控系統(tǒng)的能控性。編輯ppt但不保證系統(tǒng)的能觀性不變。證明只證能控性不變。這只要證明它們的能控判別矩陣同秩即可。

受控系統(tǒng)∑0和狀態(tài)反饋系統(tǒng)∑0的能控判別陣為：（23）（24）實(shí)際上，受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：（25）將∑0的能控標(biāo)準(zhǔn)I型代入上式，得：編輯ppt（26）引入狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：（27）編輯ppt定理5.1.2輸出反饋不改變受控系統(tǒng)的能控性和能觀性。證明關(guān)于能控性不變。因?yàn)椋?8）

若把(HC)看成等效的狀態(tài)反饋陣K，那么狀態(tài)反饋便保持受控系統(tǒng)的能控性不變。關(guān)于能觀性不變。由能觀判別矩陣（29）和（30）編輯ppt

定理5.2.1采用狀態(tài)反饋對(duì)系統(tǒng)任意配置極點(diǎn)的充要條件是∑0完全能控。5.2極點(diǎn)配置問(wèn)題5.2.1采用狀態(tài)反饋?zhàn)C明只證充分性。若∑0完全能控，通過(guò)狀態(tài)反饋必成立式中，為期望特征多項(xiàng)式。（31）（32）編輯ppt

式中，為期望的閉環(huán)極點(diǎn)(實(shí)數(shù)極點(diǎn)或共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn))。1)若∑0完全能控，必存在非奇異變換：能將∑0化成能控標(biāo)準(zhǔn)I型：（33）式中編輯ppt受控系統(tǒng)∑0的傳遞函數(shù)為：（34）2)加入狀態(tài)反饋增益陣：（35）可求得對(duì)的閉環(huán)狀態(tài)空間表達(dá)式：（36）編輯ppt閉環(huán)特征多項(xiàng)式為：式中（37）閉環(huán)傳遞函數(shù)為：編輯ppt3)使閉環(huán)極點(diǎn)與給定的期望極點(diǎn)相符，必須滿足：（38）由等式兩邊同次冪系數(shù)對(duì)應(yīng)相等．可解出反饋陣各系數(shù)：于是得：（39）編輯ppt4)最后，把對(duì)應(yīng)于的，通過(guò)如下變換，得到對(duì)應(yīng)于狀態(tài)的：這是由于的緣故。5.2.2采用輸出反饋

定理5.2.2對(duì)完全能控的單輸入一單輸出系統(tǒng)，不能采用輸出線性反饋來(lái)實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的任意配置。

證明對(duì)單輸入一單輸出反饋系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)為：（40）編輯ppt

定理5.2.3對(duì)完全能控的單輸入—單輸出系統(tǒng)通過(guò)帶動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的輸出反饋實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)任意配置的充要條件是：1)完全能觀。2)動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的階數(shù)為n—l。

5.2.3采用從輸出到反饋

定理5.2.4對(duì)系統(tǒng)采用從輸出到的線性反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)任意配置的充要條件是∑0完全能觀。證明根據(jù)對(duì)偶原理，如果能觀．則必能控，因而可以任意配置的特征值，，而的特征值和的特征值相同，又因?yàn)榫庉媝pt

因此，對(duì)任意配置極點(diǎn)就等價(jià)于對(duì)A+Gc任意配置極點(diǎn)。于是設(shè)計(jì)輸出反饋陣G的問(wèn)題便轉(zhuǎn)化成對(duì)其對(duì)偶系統(tǒng)設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋陣K的問(wèn)題。具體步驟如下：將系統(tǒng)化成能觀標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型：式中，為能將系統(tǒng)化成能觀標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型的變換矩陣。

(1)取線性變換：（41）（42）編輯ppt(2)引入反饋陣后，得閉環(huán)系統(tǒng)矩陣：式中編輯ppt（43）和閉環(huán)特征多項(xiàng)式：(3)由期望極點(diǎn)得期望特征多項(xiàng)式：（44）編輯ppt(4)比較各對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，可解出：即（45）（46）(5)將在求得的G

變換到狀態(tài)下便得：

和求狀態(tài)反饋陣K的情況類似，當(dāng)系統(tǒng)的維數(shù)較低時(shí)，只要系統(tǒng)能觀，也可以不化成能觀標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型，通過(guò)直接比較特征多項(xiàng)式系數(shù)米確定G矩陣。編輯ppt5.3系統(tǒng)鎮(zhèn)定問(wèn)題

定理5.3.1對(duì)系統(tǒng)，采用狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的允要條件是其不能控子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。

證明(1)設(shè)系統(tǒng)不完全能控，因此通過(guò)線性變換可將其按能控性分解為：（1）

式中，為能控子系統(tǒng)；為不能控子系統(tǒng)。(2)由于線性變換不改變系統(tǒng)的特征值，所以有：編輯ppt

(3)由于在能控性和穩(wěn)定性上等價(jià)?？紤]對(duì)引人狀態(tài)反饋陣：（2）（3）于是得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣：（4）編輯ppt和閉環(huán)特征多項(xiàng)式：（5）

定理5.3.2系統(tǒng)通過(guò)輸出反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是∑0結(jié)構(gòu)分解中的能控且能觀子系統(tǒng)是輸出反饋能鎮(zhèn)定的，其余子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。證明(1)對(duì)進(jìn)行能控性能觀性結(jié)構(gòu)分解，有：

比較式(5)與式(2)可見(jiàn)，引入狀態(tài)反饋陣，只能通過(guò)選擇使的特征值均具有負(fù)實(shí)部，從而使，這個(gè)子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。但的選擇并不能影響的特征值分布。因此，僅當(dāng)?shù)奶卣髦稻哂胸?fù)實(shí)部，即不能控子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)的此時(shí)整個(gè)系統(tǒng)才是狀態(tài)能鎮(zhèn)定的。編輯ppt（6）

(2)因?yàn)槟芸匦院湍苡^性和能鎮(zhèn)定性上完全等價(jià)，所以對(duì)引入輸出反饋陣H，可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣：編輯ppt（7）和閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式：（8）

式(8)表明，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)奶卣髦稻哓?fù)實(shí)部時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)才為漸近穩(wěn)定。定理得證。編輯ppt

定理5.3.3對(duì)系統(tǒng)采用從輸出到反饋實(shí)現(xiàn)鎮(zhèn)定的充要條件是∑0的不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。證明(1)將系統(tǒng)進(jìn)行能觀性分解，得：

式中，為能觀子系統(tǒng)；為不能觀子系統(tǒng)。（9）開(kāi)環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為：（10）編輯ppt

(2)由于在能控性和穩(wěn)定性上等價(jià)，考慮對(duì)引入從輸出到的反饋陣，于是有：（11）和（12）

式(12)表明，引入反饋陣，只影響的特征值。編輯ppt5.4系統(tǒng)解耦問(wèn)題

解耦問(wèn)題是多輸入一多輸出系統(tǒng)綜合理論中的重要組成部分?其沒(méi)汁目的是尋求適當(dāng)?shù)目刂埔?guī)律，使輸入輸出相互關(guān)聯(lián)的多變量系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)每一個(gè)輸出僅受相應(yīng)的一個(gè)輸入所控制，每一個(gè)輸入也僅能控制相應(yīng)應(yīng)的一個(gè)輸出，這樣的問(wèn)題稱為解耦問(wèn)題。設(shè)是一個(gè)維輸入、維輸出的受控系統(tǒng)，即（1）若其傳遞函數(shù)矩陣：（2）編輯ppt實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)解耦，目前主要有兩種方法：(1)前饋補(bǔ)償器解耦(2)狀態(tài)反饋解耦5.4.1前饋補(bǔ)償器解耦前饋補(bǔ)償器解耦的框圖如下圖所示。編輯ppt根據(jù)串聯(lián)組合系統(tǒng)可寫(xiě)出整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣：（3）式中，為串接補(bǔ)償器后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。（4）顯然，只要存在，則串聯(lián)補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)矩陣為：（5）編輯ppt5.4.2狀態(tài)反饋解耦

1.狀態(tài)反饋解耦中的幾個(gè)特征量狀態(tài)反饋解耦系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下圖所示：為了便于討論狀態(tài)反饋解耦的條件，首先定義幾個(gè)特征量。編輯ppt1)定義，是滿足不等式：且介于0到之間的一個(gè)最小整數(shù)l。(6)

式中，為系統(tǒng)輸出矩陣c中的第i行向量，因此，的下標(biāo)i表示行數(shù)。

2.能解耦性判據(jù)

定理5.4.1受控系統(tǒng)采用狀態(tài)反饋能解耦的充要條件是維矩陣E為非奇異。即×（7）編輯ppt

3.積分型解耦系統(tǒng)

定理5.4.2若系統(tǒng)是狀態(tài)反饋能解耦的，則閉環(huán)系統(tǒng)是一個(gè)積分型解耦系統(tǒng)。其中狀態(tài)反饋矩陣為：（8）（9）輸入變換矩陣為：（10）編輯ppt閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：（11）

式(11)表明，用式(9)和式(10)實(shí)現(xiàn)(K，F(xiàn))解耦的系統(tǒng)，其每個(gè)子系統(tǒng)都是相當(dāng)于一個(gè)階積分器的獨(dú)立子系統(tǒng)。4．能解耦標(biāo)準(zhǔn)形

定理5.4.3狀態(tài)反饋使系統(tǒng)解耦并任意配置極點(diǎn)的充要條件是，它們具有以下形式：編輯ppt式中，（12）5.狀態(tài)反饋解耦的設(shè)計(jì)步驟綜上所述，用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)解耦的設(shè)計(jì)步驟可歸納如下：

1)檢驗(yàn)系統(tǒng)是否滿足式(7)所述充要條件。

2)按照式(9)和式(10)計(jì)算狀態(tài)反饋矩陣K和輸入變換陣F，將系統(tǒng)化成積分型解耦形式。3)按照式(12)對(duì)各獨(dú)立子系統(tǒng)采用附加狀態(tài)反饋，將其極點(diǎn)配置為期望值。編輯ppt3)的輸出應(yīng)以足夠快的速度漸近于，即應(yīng)有足夠?qū)挼念l帶。但從抑制干擾角度看，又希望頻帶不要太寬。因此，要根據(jù)具體情況予以兼顧。5.5狀態(tài)觀測(cè)器5.5.1狀態(tài)觀測(cè)器定義

設(shè)線性定常系統(tǒng)∑0=(A，B，C)的狀態(tài)矢量工不能直接檢測(cè)。如果動(dòng)態(tài)系統(tǒng)以∑0，的輸入和輸出作為其輸入量，能產(chǎn)生一組輸出主漸近于則稱的一個(gè)狀態(tài)觀測(cè)器。根據(jù)上述定義，可得構(gòu)造觀測(cè)器的原則是：

1)觀測(cè)器應(yīng)以∑0的輸入和輸出為其輸入量。2)為滿足必須完全能觀，或其不能觀子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。編輯ppt4)在結(jié)構(gòu)上應(yīng)盡量簡(jiǎn)單。即具有盡可能低的維數(shù)，以便于物理實(shí)現(xiàn)：5.5.2狀態(tài)觀測(cè)器的存在性

定理5.5.1對(duì)線性定常系統(tǒng)∑0=(A，B，C)，狀態(tài)觀測(cè)器存在的充要條件是∑0，的不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。

證明(1)設(shè)∑0=(A，B，C)不完全能觀，可進(jìn)行能觀性結(jié)構(gòu)分解。這里，不妨設(shè)∑0=(A，B，C)已具有能觀性分解形式。即（13）

(2)構(gòu)造狀態(tài)觀測(cè)器為狀態(tài)的估值，為調(diào)節(jié)漸近于的速度的反饋增益矩陣。于是得觀測(cè)器方程：編輯ppt或（14）定義為狀態(tài)誤差矢量，可導(dǎo)出狀態(tài)誤差方程：（15）編輯ppt

由式(16)可知，通過(guò)適當(dāng)選擇G1，，可使的特征值均具負(fù)實(shí)部，因而有：(3)確定使?jié)u近于的條件。由上式，得：（16）（17）（18）同理，由式（17)可得其解為：（19）編輯ppt成立時(shí)，才對(duì)任意，有：由于，因此僅當(dāng)（20）

而特征值均具有負(fù)實(shí)部等價(jià)。只有當(dāng)∑0=(A，B，C)的不能觀子系統(tǒng)漸近穩(wěn)定時(shí)，才能使。定理得證。（21）5.5.3狀態(tài)觀測(cè)器的實(shí)現(xiàn)

定理5.5.2若線性定常系統(tǒng)∑0=(A，B，c)完全能觀，則其狀態(tài)矢量可由輸出和輸入進(jìn)行重構(gòu)。編輯ppt證明將輸出方程t逐次求導(dǎo)，代以狀態(tài)方程并整理可得：（22）將各式等號(hào)左邊用矢量z表示，則有：（23）編輯ppt若系統(tǒng)完全能觀，rankN=n，則有：（24）根據(jù)下圖可得狀態(tài)觀測(cè)器方程：（25）即編輯ppt5.5.4反饋矩陣G的設(shè)計(jì)為了討論狀態(tài)估值主趨近于狀態(tài)真值工的漸近速度，引入狀態(tài)誤差矢量：（26）可得狀態(tài)誤差方程：（27）即（28）式(28)是一個(gè)關(guān)于的齊次微分方程，其解為：（29）編輯ppt5.5.5降維觀測(cè)器

以上介紹的觀測(cè)器是建立在對(duì)原系統(tǒng)模擬基礎(chǔ)上的，其維數(shù)和受控系統(tǒng)維數(shù)相同，稱全維觀測(cè)器。實(shí)際上，系統(tǒng)的輸出矢量y總是能夠測(cè)量的。因此，可以利用系統(tǒng)的輸出矢量y來(lái)直接產(chǎn)生部分狀態(tài)變量，從而降低觀測(cè)器的維數(shù)。

降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)分兩步進(jìn)行。第一，通過(guò)線性變換把狀態(tài)按能檢測(cè)性分解成，其中維，需要重構(gòu)，而m維可由y直接獲得。第二，對(duì)