數(shù)學(xué)物理方程2.12

2023/1/121第二章分離變量法和積分變換法

復(fù)習(xí)課陳有亮上海理工大學(xué)土木工程系2023/1/122分離變量法許多物理現(xiàn)象都具有疊加性：由幾種不同原因同時出現(xiàn)時所產(chǎn)生的效果，等于各個原因單獨(dú)出現(xiàn)時所產(chǎn)生的效果的疊加，這就是物理學(xué)中的疊加原理。在解決數(shù)學(xué)中的線性問題時，可應(yīng)用物理學(xué)中的疊加原理。分離變量法又稱Fourier方法，而在波動方程情形也稱為駐波法。它是解決數(shù)學(xué)物理方程定解問題中的一中基本方法，這個方法建立在疊加原理的基礎(chǔ)上，其基本出發(fā)點是物理學(xué)中的機(jī)械振動和電磁振動（總可分解為一些簡諧振動的疊加）2023/1/123分離變量法的解題步驟第一步第二步第三步令適合方程和邊界條件，從而定出所適合的常微分方程齊次邊值問題，以及適合的常微分方程。本征值問題求解該常微分方程齊次邊值問題，求出全部本征值和本征函數(shù)，并求出相應(yīng)的的表達(dá)式。將所有變量分離形式的特解疊加起來，并利用初始條件定出所有待定系數(shù)。2023/1/124物理意義(以有界弦自由振動問題為例)其中

對任意時刻這說明，任一時刻弦的形狀都是正弦波，其振幅隨不同的時間t0而不同。2023/1/125

對任意一點這表示在任意一點處都作簡諧振動。節(jié)點固有頻率2023/1/126例12023/1/127令是齊次方程和齊次邊界條件的非零解則有2023/1/128故有其中2023/1/1292023/1/1210例2矩形薄板的熱傳導(dǎo)方程利用分離變量法（2.1）（2.2）（2.3）2023/1/1211（2.6）（2.5）（2.4）再設(shè)（2.7）（2.8）（2.9）2023/1/1212由邊界條件2023/1/1213從而有且代入（2.4）可得2023/1/1214于是特解的疊加2023/1/1215系數(shù)的確定（二重Fourier級數(shù)展開式）若則2023/1/1216非齊次邊界條件的定解問題2023/1/1217對于非齊次邊界條件，無法應(yīng)用分離變量法。因為此時無法對因子不能引進(jìn)任何邊界條件。若能找到函數(shù)w(x,t),使之具備性質(zhì)在滿足條件的曲線中，最簡單的是直線容易確定A(t)和B(t)。2023/1/1218作函數(shù)變換邊界齊次化2023/1/1219例設(shè)代入，得適當(dāng)選取w，滿足2023/1/12202023/1/12212023/1/12222023/1/1223本征值理論

利用分離變量法求解定解問題必然導(dǎo)致本征值問題，即在一定的齊次邊界條件下，求一個含參數(shù)的齊次常微分方程的非零解的問題。

另外，在分離變量的過程中，主要涉及