計量經(jīng)濟學(xué)課件5講課教案

計量經(jīng)濟學(xué)課件5

采用普通最小二乘法，估計線性回歸模型的參數(shù)從而得到OLS估計量，要使估計量具有令人滿意的性質(zhì)，線性回歸模型必須滿足一組假設(shè)條件。在實踐中，如果某些假設(shè)條件不能滿足，則OLS法就不再適用于模型的估計。在這種情況下，分析方法就需要改變。2實踐中可能碰到的一些常見問題如下：l誤設(shè)定（Misspecification或specificationerror）l多重共線性（Multicollinearity）l異方差性（Heteroscedasticity）l自相關(guān)（Autocorrelation）本章將對上述問題作簡要討論，主要介紹問題的后果、檢測方法和解決途徑。3第一節(jié)誤設(shè)定采用OLS法估計模型時，實際上有一個隱含的假設(shè)，即模型是正確設(shè)定的。這包括兩方面的含義：函數(shù)形式設(shè)定正確和解釋變量選擇正確。但在實踐中這個假設(shè)卻不一定能實現(xiàn)?？赡芊赶铝腥齻€方面的錯誤：選擇錯誤的函數(shù)形式遺漏有關(guān)的解釋變量包括無關(guān)的解釋變量從而造成所謂的“誤設(shè)定”問題。4一.選擇錯誤的函數(shù)形式這類錯誤中比較常見的是將非線性關(guān)系作為線性關(guān)系處理。函數(shù)形式選擇錯誤，所建立的模型便無法反映所研究現(xiàn)象的實際情況，會產(chǎn)生很嚴重的后果。除了雙對數(shù)模型，下面再介紹幾種比較常見的非線性回歸模型。這幾種模型是：半對數(shù)模型，雙曲函數(shù)模型和多項式回歸模型。51.半對數(shù)模型因變量和解釋變量中一個為對數(shù)形式而另一個為線性的模型。因變量為對數(shù)形式的稱為對數(shù)-線性模型(log-linmodel)。解釋變量為對數(shù)形式的稱為線性-對數(shù)模型(lin-logmodel)。先介紹前者，其形式如下:對數(shù)-線性模型中,斜率的含義是Y的百分比變動,即解釋變量X變動一個單位引起的因變量Y的百分比變動。利用微分可以得出:6這表明，斜率度量的是解釋變量X的單位變動所引起的因變量Y的相對變動，即Y的增長率。由于對數(shù)-線性模型中斜率系數(shù)的這一含義，因而也叫增長模型(growthmodel)。增長模型通常用于測度所關(guān)心的經(jīng)濟變量（如GDP）的增長率。例如，可以通過估計下面的半對數(shù)模型得到一國GDP的年平均增長率的估計值，這里t為時間趨勢變量。7實例：1973-1987年間美國未償付消費者信貸的增長下表給出了1973-1987年間美國未償付消費者信貸的數(shù)據(jù)，Y單位為百萬美元表示未償付消費者信貸額，t表示年份數(shù)，試估計未償付消費者信貸的年增長率并進行分析。8年份Yt年份Yt1973190601119813665979197419936521982381115101975204963319834303821119762281624198451176812197726380851985592409131978308272619866460551419793475077198768554515198034938689要估計未償付消費者信貸的年增長率，即估計以下模型：lnYt=1+2t+ut根據(jù)以上數(shù)據(jù)得到回歸結(jié)果如下：10回歸系數(shù)均是統(tǒng)計顯著的，回歸方程顯著成立。對回歸結(jié)果解釋如下：回歸系數(shù)0.0946表示未償付消費者信貸Y的年增長率為9.46%.對截距12.007解釋如下，當t=0時，lnY0=12.007，即當t=0時，Y0≈163911.7，即1973年初未償付消費者信貸量為163911.7百萬美元。11線性-對數(shù)模型的形式如下：可用微分得到因此這表明上式表明，Y的絕對變動量等于乘以X的相對變動量。因此,線性-對數(shù)模型通常用于研究解釋變量每變動1%引起的因變量的絕對變動量是多少這類問題。12實例：1973-1987年美國GNP與貨幣供給間的關(guān)系下表給出了1973-1987年間美國GNP與貨幣供給的數(shù)據(jù)，Y表示GNP，X表示貨幣供給用M2度量單位均為億美元。試估計貨幣供給每增加一個百分點，GNP的絕對變動量。13年份YX年份YX19731359.3861.019813052.61795.519741472.8908.519823166.01954.019751598.41023.219833405.72185.219761782.81163.719843772.22363.619771990.51286.719854014.92562.619782249.71389.019864240.32807.719792508.21500.219874526.72901.019802723.01633.114根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計以下模型：Yt=1+2lnXt+ut得到回歸結(jié)果如下：15回歸系數(shù)均是統(tǒng)計顯著的，回歸方程顯著成立。對回歸結(jié)果解釋如下：回歸系數(shù)2584.8表示貨幣供給每增加一個百分點，GNP的絕對變化量為25.848億美元。162.雙曲函數(shù)模型雙曲函數(shù)模型的形式為：不難看出，這是一個僅存在變量非線性的模型，很容易用重新定義的方法將其線性化。雙曲函數(shù)模型的特點是，當X趨向無窮時，Y趨向0，反映到圖上，就是當X趨向無窮時，Y將無限靠近其漸近線（Y=0）。雙曲函數(shù)模型通常用于描述著名的恩格爾曲線和菲利普斯曲線。173.多項式回歸模型多項式回歸模型通常用于描述生產(chǎn)成本函數(shù)，其一般形式為：多項式回歸模型中，解釋變量X以不同冪次出現(xiàn)在方程的右端。這類模型也僅存在變量非線性，因而很容易線性化，可用OLS法估計模型。其中Y表示總成本，X表示產(chǎn)出，P為多項式的階數(shù)，一般不超過四階。18二.模型中遺漏有關(guān)的解釋變量模型中遺漏了對因變量有顯著影響的解釋變量的后果是：將使模型參數(shù)估計量不再是無偏估計量。下面用一個簡單例子說明：

設(shè)正確模型為Y=0+1X1+2X2+u……(5.9)而實際估計的模型為Y=0+1X1+u…(5.10)也就是說忽略了對Y有重要影響的變量X2估計式(5.10)，得19而由式(5.9)有將式(5.12)代入式(5.11)，得取期望值，得20上式右邊第三項等于零，而第二項方括號中內(nèi)容可以看做回歸方程X2=+X1+u中斜率系數(shù)的估計量?？梢灶A(yù)期，X1和X2之間存在一定程度的相關(guān)，從而第二項不等于0，因此，是真實參數(shù)1的一個有偏估計量。遺漏有關(guān)的解釋變量將使參數(shù)估計量產(chǎn)生偏倚。21三.包括無關(guān)的解釋變量模型中包括無關(guān)的解釋變量，參數(shù)估計量仍無偏，但會增大估計量的方差，即增大誤差。設(shè)正確模型為Y=0+1X1+u…(5.13)而實際估計的模型為Y=0+1X1+2X2+u……(5.14)也就是說X2與Y無關(guān)，因而應(yīng)有2=0可以證明，即是真實參數(shù)1的無偏估計量。22其中r12是X1和X2的相關(guān)系數(shù)。故模型中包括無關(guān)的解釋變量，參數(shù)估計量仍無偏，但會增大估計量的方差，即增大誤差。23

四.解決解釋變量誤設(shè)定問題的原則在模型設(shè)定中的一般原則是盡量不漏掉有關(guān)的解釋變量。因為估計量有偏比增大誤差更嚴重。但如果方差很大，得到的無偏估計量也沒有多大意義，因此也不宜隨意亂增加解釋變量。在回歸實踐中，有時要準確判斷某個變量是否應(yīng)該作為解釋變量包括在方程中不是一件容易的事。下面給出一些判斷準則。243.：該變量加進方程中后，是否增大？選擇解釋變量的四條準則1.理論：從理論上看，該變量是否應(yīng)該作為解釋變量包括在方程中？2.t檢驗：該變量的系數(shù)是否顯著？4.偏倚：該變量加進方程中后，其它變量的系數(shù)估計值是否顯著變化？如果對四個問題的回答都是肯定的，則該變量應(yīng)該包括在方程中；如果對四個問題的回答都是“否”，則該變量是無關(guān)變量，可以安全地從方程中刪掉它。這是兩種容易決策的情形。25

但在很多情況下，這四項準則的判斷結(jié)果會出現(xiàn)不一致。例如，有可能某個變量加進方程后，增大，但該變量不顯著。在這種情況下，一般而言采用的辦法是將理論準則放在第一位，否則產(chǎn)生不正確結(jié)果的風險很大。26五.檢驗誤設(shè)定的RESET方法上面給出了選擇解釋變量的四條準則。但有時只憑這些準則并不能確定設(shè)定是最恰當?shù)?，這種情況下，可使用一些更正規(guī)的檢驗方法來檢驗誤設(shè)定。這類方法相當多，有一、二十種，這里僅介紹拉姆齊（J.B.Ramsey）的回歸設(shè)定誤差檢驗法（RESET法）。27

RESET檢驗法的思路

RESET檢驗法的思路是在要檢驗的回歸方程中加進等項作為解釋變量，然后看結(jié)果是否有顯著改善。如有，則可判斷原方程存在遺漏有關(guān)變量的問題或其它的誤設(shè)定問題。直觀地看，這些添加的項是任何可能的遺漏變量或錯誤的函數(shù)形式的替身，如果這些替身能夠通過F檢驗,表明它們改善了原方程的擬合狀況，則有理由說原方程存在誤設(shè)定問題。28等項形成多項式函數(shù)形式，多項式是一種強有力的曲線擬合工具，因而如果存在誤設(shè)定，則用這樣一個工具可以很好地代表它們。如果不存在誤設(shè)定，則可以預(yù)期，這些新添加項的系數(shù)不顯著異于0，因為不存在讓它們做替身的東西。29RESET檢驗法的步驟拉姆齊RESET檢驗的具體步驟是：(1)用OLS法估計要檢驗的方程，得到(2)由上一步得到的值（i=1,2,…,n），計算，然后用OLS法估計：(3)用F檢驗比較兩個方程的擬合情況（類似于上一章中聯(lián)合假設(shè)檢驗采用的方法），如果兩方程總體擬合情況顯著不同，則得出原方程可能存在誤設(shè)定的結(jié)論。30使用的檢驗統(tǒng)計量為：其中：RSSM為第一步中回歸（有約束回歸）的殘差平方和，RSS為第二步中回歸（無約束回歸）的殘差平方和，M為約束條件的個數(shù)，這里是M=3。拉姆齊RESET檢驗僅能檢驗誤設(shè)定的存在，而不能指出是哪一類的誤設(shè)定，即不能得到正確的模型是什么。另一方面，如果模型設(shè)定正確，RESET檢驗?zāi)軌蚺懦`設(shè)定的存在，轉(zhuǎn)而去查找其它方面的問題。31第二節(jié)多重共線性應(yīng)用OLS法的一個假設(shè)條件是：矩陣X的秩=K+1<N。即自變量之間不存在嚴格的線性關(guān)系，觀測值個數(shù)大于待估計的參數(shù)的個數(shù)。否則，OLS估計值的計算無法進行，估計過程由于數(shù)學(xué)原因而中斷，就象分母為0一樣。32這兩種情況都很罕見。但經(jīng)濟變量之間存在近似的線性關(guān)系是很常見的。當某些解釋變量高度相關(guān)時，盡管估計過程不會中斷，但會產(chǎn)生嚴重的估計問題，這種現(xiàn)象稱為多重共線性。解釋變量間存在嚴格線性相關(guān)關(guān)系時，稱為完全的多重共線性。33一、多重共線性的定義多重共線性是指解釋變量Xi(i=1,2,…,k)之間存在完全的或近似的線性關(guān)系?？煞譃橥耆筒煌耆嘀毓簿€性：完全多重共線性是指rank(X)＜k＋1，X矩陣的列向量線性相關(guān)，至少有一列向量可以由其它列向量線性表示。34例如：在回歸模型Y=b0+b1X1+b2X2+u中，X2=X1，為不為0的常數(shù)，這時X2與X1的相關(guān)系數(shù)為1，解釋變量X2對因變量Y的作用可由X1完全替代。不完全多重共線性是指解釋變量Xi之間存在著近似的線性關(guān)系。例如：X2=X1+，為隨機項，X2與X1的相關(guān)系數(shù)近似等于1。35二、多重共線性的原因產(chǎn)生多重共線性的原因主要有以下三個方面：361.有關(guān)經(jīng)濟變量存在相似變化趨勢時間序列樣本中，某些變量的行為方式相同，變化增量近似等比，出現(xiàn)同步增長或同步下降的趨勢。這些變量的樣本數(shù)據(jù)就會存在某些近似的比例關(guān)系，若把這些變量作解釋變量，就會產(chǎn)生多重共線性。橫截面數(shù)據(jù)也有可能產(chǎn)生多重共線性，例如在研究企業(yè)生產(chǎn)函數(shù)時，資本投入和勞動力投入幾乎是高度線性相關(guān)的。372.滯后變量的引入在經(jīng)濟計量模型中，需要用滯后變量來反映真實的經(jīng)濟關(guān)系，同一變量的前后期之值很可能是高度線性相關(guān)的。(關(guān)于滯后變量將在第六章介紹)383.樣本資料原因在(總體)理論模型中不存在多重共線性，但在特定的樣本數(shù)據(jù)中存在某種程度的多重共線性。(純粹是由樣本數(shù)據(jù)引起的.)39三、多重共線性的影響后果若完全多重共線性則無法估計模型參數(shù)，不完全多重共線性的影響后果如下：1.不改變參數(shù)估計量的無偏性。對于不完全多重共線性，參數(shù)OLS估計量仍為BLUE。2.各共線變量的參數(shù)的OLS估計量方差很大，即估計值精度很低。（BLUE表明在各線性無偏估計量中方差最小，但不等于方差的值很小。）40例如：Yt=0+1X1t+2X2t+ut其中r12是X1和X2的相關(guān)系數(shù)。當r12接近1時，將非常高。41

3.由于若干個X變量共變，它們各自對因變量的影響無法確定。4.各共線變量系數(shù)估計量的t值低，使得犯第Ⅱ類錯誤的可能性增加。由于各共線變量的參數(shù)的OLS估計量方差大，因而系數(shù)估計量的t值低，使得犯第Ⅱ類錯誤（接受錯誤的原假設(shè)H0:βj=0）的可能性增加，容易將本應(yīng)保留在模型中的解釋變量舍棄了。42三、多重共線性的判別和檢驗1．根據(jù)回歸結(jié)果判別判別是否存在多重共線性的最簡單方法是分析回歸結(jié)果。如果發(fā)現(xiàn):(1)系數(shù)估計值的符號不對；(2)某些重要的解釋變量t值低，而R2不低；(3)當一不太重要的解釋變量被刪除后，回歸結(jié)果顯著變化。則可能存在多重共線性。其中上述第二種現(xiàn)象是多重共線性存在的典型跡象。此方法簡便易行，因而是實踐中最常用的方法，缺點是無法確診。432．使用相關(guān)矩陣檢驗統(tǒng)計軟件一般提供各解釋變量兩兩之間的相關(guān)系數(shù)矩陣，如發(fā)現(xiàn)某些相關(guān)系數(shù)高（絕對值高于0.8或0.90），則表明多重共線性存在。但即使解釋變量兩兩之間的相關(guān)系數(shù)都低，也不能排除存在多重共線性的可能性。443.使用VIF檢驗VIF是方差膨脹因子的英文(varianceinflationfactors)縮寫,這是一種比較正規(guī)的檢驗方法。該方法通過檢查指定的解釋變量能夠被回歸方程中其它全部解釋變量所解釋的程度來檢測多重共線性。方程中每個解釋變量有一個VIF，該VIF是關(guān)于多重共線性使相應(yīng)的系數(shù)估計量的方差增大了多少的一個估計值。45VIF檢驗的具體步驟如下：設(shè)原方程為Y=0+1X1+2X2+…+kXk+u要計算k個不同的VIF，每個Xi一個，分三步：(1)Xi對原方程中其它全部解釋變量進行OLS回歸.例如，若i=1,則回歸下面的方程X1=0+2X2+3X3+…+kXk+v(2)計算的方差膨脹因子VIF。46(3)分析多重共線性的程度VIF越高，多重共線性的影響越嚴重。由于沒有VIF臨界值表，只能使用經(jīng)驗法則：若＞5則存在嚴重多重共線性。也有人建議用VIF＞10作為存在嚴重多重共線性的標準，特別是解釋變量多的情形應(yīng)當如此。需要指出的是，所有VIF值都低，并不能排除嚴重多重共線性的存在。474．通過條件指數(shù)檢驗

條件指數(shù)（Conditionindex）是X′X矩陣的最大和最小特征根之比的平方根，條件指數(shù)高，表明存在多重共線性。至于什么程度算高，也沒有一個絕對的標準。通常認為大于10即存在多重共線性，大于30表明存在嚴重多重共線性。大多數(shù)統(tǒng)計軟件提供此檢驗值。48四解決多重共線性的方法思路：加入額外信息。具體方法有以下幾種1．增加數(shù)據(jù)多重共線性實質(zhì)上是數(shù)據(jù)問題，因此，增加數(shù)據(jù)就有可能消除或減緩多重共線性，具體方法包括增加觀測值、利用不同的數(shù)據(jù)集或采用新的樣本。49例5.1需求函數(shù)Yt=β1+β2Xt+β3Pt+ut在時間序列數(shù)據(jù)中，收入X和價格P往往高度相關(guān)，會產(chǎn)生多重共線性。但在橫截面數(shù)據(jù)中，則不存在這個問題，因為某個特定時點P為常數(shù)。如果取一橫截面樣本（如從5000個家庭取得的數(shù)據(jù)），則可用來估計模型Yi=α1+α2Xi+ui

然后將得到的估計值作為一個約束條件（β2=）施加于時間序列數(shù)據(jù)的回歸計算中，即估計Yt

-Xt=β1+β3Pt+ut，得到，。50

2．對模型施加某些約束條件在存在多重共線性的模型中，依據(jù)經(jīng)濟理論施加某些約束條件，將減小系數(shù)估計量的方差。如在Cobb—Douglas生產(chǎn)函數(shù)中加進規(guī)模效益不變的約束，可解決資本和勞動的高度相關(guān)而引起的多重共線性問題。51

3．刪除一個或幾個共線變量這樣做，實際上就是利用給定數(shù)據(jù)估計較少的參數(shù)，從而降低對觀測信息的需求，以解決多重共線性問題。刪除哪些變量，可根據(jù)假設(shè)檢驗的結(jié)果確定。應(yīng)注意的是，這種做法可能會使得到的系數(shù)估計量產(chǎn)生偏倚，因而需要權(quán)衡利弊。524．將模型適當變形例5.2某商品的需求函數(shù)為：其中：Q=需求量，X=收入，P=該商品的價格，P*=替代商品的價格，在實際數(shù)據(jù)中，P和P*往往呈同方向變動，高度相關(guān)，模型存在多重共線性。如果僅要求在知道兩種商品的相對價格變動時，對需求量進行預(yù)測，則可將需求函數(shù)變?yōu)椋壕涂梢越鉀Q多重共線性問題。53例5.3有滯后變量的情形Yt=β1+β2Xt+β3Xt-1+ut一般而言，Xt和Xt–1往往高度相關(guān)，將模型變換為：Yt=β1+β2（Xt

-Xt–1）+β3′Xt-1+ut其中β3′=β3+β2

經(jīng)驗表明：△Xt和Xt–1的相關(guān)程度要遠遠小于和Xt和Xt–1的相關(guān)程度，因而這種變換有可能消除或減緩多重共線性。545．主成分法可將共線變量組合在一起形成一個綜合變量，用它來代表這組變量。

構(gòu)造綜合變量的最常用方法是主成分法，作法是對全部解釋變量運用主成分分析以得到主成分，每個主成分是全部解釋變量的線性組合，如C1=1X1+2X2+…+kXk

55各主成分之間互不相關(guān)，用很少幾個主成分就可以解釋全部X變量的絕大部分方差，因而在出現(xiàn)多重共線性時，可以用主成分替代原有解釋變量進行回歸計算，然后再將所得到的系數(shù)還原成原模型中的參數(shù)估計值。56五.處理多重共線性問題的原則1.多重共線性是普遍存在的，輕微的多重共線性問題可不采取措施。2.嚴重的多重共線性問題，一般可根據(jù)經(jīng)驗或通過分析回歸結(jié)果發(fā)現(xiàn)。如影響系數(shù)的符號，重要的解釋變量t值很低。要根據(jù)不同情況采取必要措施。3.如果模型僅用于預(yù)測，則只要擬合程度好，可不處理多重共線性問題，存在多重共線性的模型用于預(yù)測時，往往不影響預(yù)測結(jié)果。57第三節(jié)異方差性上面討論了誤設(shè)定和多重共線性問題?；仡檻?yīng)用OLS法所需假設(shè)條件，其中大部分是有關(guān)擾動項的統(tǒng)計假設(shè)，它們是：（1）E(ut)=0,t=1,2,…,n.擾動項均值為0（2）Cov(ui,uj)=0,i≠j.擾動項相互獨立（3）Var(ut)=2

,t=1,2,…,n.常數(shù)方差（4）ut

～N(0,2).正態(tài)性58對于(1)，可論證其合理性。而第(4)條，也沒有多大問題。大樣本即可假定擾動項服從正態(tài)分布。而對于(2)，(3)兩條，則無法論證其合理性。

實際問題中，這兩條不成立的情況比比皆是。下面將討論異方差性和自相關(guān)的情形。59

一、異方差性及其后果1．定義若Var(ut)=2=常數(shù)的假設(shè)不成立，即

Var(ut)=t2≠常數(shù)，則稱擾動項具有異方差性。2．可能產(chǎn)生異方差的場合解釋變量取值變動幅度大時。異方差主要發(fā)生在橫截面數(shù)據(jù)的情況，時間序列中一般不會發(fā)生，除非時間跨度過大。60例5.4Yi=α+βXi+ui

其中：Y為指定規(guī)模和組成的家庭每月消費支出,X為這樣的家庭的每月可支配收入.在X的N個觀測值橫截面樣本中，某些家庭接近于勉強維持生存的水平，另一些家庭則有很高的收入。61低收入家庭的消費支出不大可能離開他們的均值E(Y)過遠，太高無法支持，太低則消費將處于維持生存的水平之下。因此，低收入家庭消費支出額的波動應(yīng)當較小，因而擾動項具有較小的方差。而高收入家庭則沒有這種限制，其擾動項可能有較大的方差。這就意味著異方差性。623．異方差性的后果（1）參數(shù)OLS估計量不再具有最小方差.異方差性不破壞OLS估計量的無偏性，但不再是有效的，也不具有漸近有效性。（2）系數(shù)的顯著性檢驗失去意義在異方差性情況下，矩陣主對角元素不再是OLS估計量真實方差的無偏估計量，從而導(dǎo)致系數(shù)的置信區(qū)間和假設(shè)檢驗結(jié)果不可信賴。63二、異方差性的檢驗

常用的檢驗方法有：

斯皮爾曼等級相關(guān)檢驗法(SpearmanRankRelationtest)

戈德弗爾德—匡特檢驗法(GoldfeldQuandttest)

格里瑟檢驗法（Glesjertest）

帕克檢驗法（Parktest）

懷特檢驗法(White’sGeneralHeteroscedasticitytest)64

1．斯皮爾曼等級相關(guān)檢驗法思路：對異方差性的研究轉(zhuǎn)化為對ut與Xt的相關(guān)程度的研究。由于擾動項無法觀測，因而用殘差代替之，轉(zhuǎn)化為對et與Xt的相關(guān)程度的研究，若et與Xt高度相關(guān)，則可推斷異方差性存在。65在此無法用相關(guān)系數(shù)來檢驗，因為et與Xt的相關(guān)系數(shù)恒等于0：因而改用Xt和et的等級相關(guān)系數(shù)檢驗et和Xt的相關(guān)程度。66等級相關(guān)系數(shù)的計算步驟（1）將兩變量的相應(yīng)觀測值分別按升序（或降序）排序，所得到的序號即為等級。（2）計算兩變量各對觀測值相應(yīng)的等級之差dt.（3）計算等級相關(guān)系數(shù)67例5.5等級相關(guān)系數(shù)的計算假設(shè)有Xt和et如下：Xt：25，40，52，58，65et：1.6，-2.9，-10.7，–14.8，5.7有et:1.6，2.9，10.7，14.8，5.7Xt的等級︱et︳的等級dt

1 1 0 2 2 0 3 4 -1 4 5 -1 5 32r=1–(6×6)/(5×24)=1-0.3=0.768計算出等級相關(guān)系數(shù)后，就可判斷異方差性是否存在。若相關(guān)系數(shù)絕對值高，則存在異方差性。對于多個解釋變量的情況，可分別計算et與各解釋變量的等級相關(guān)系數(shù)進行檢驗。692.戈德弗爾德——匡特檢驗法基本思路：假定t2隨Yt的數(shù)值大小變動。檢驗步驟：（1）將數(shù)據(jù)分為三組：小Yt值組，中Yt值組，大Yt值組（數(shù)據(jù)項大致相等）（2）對小Yt值組估計模型，給出（3）對大Yt值組估計模型，給出70（4）檢驗假設(shè)H0：H1：（或）檢驗統(tǒng)計量為

F0=～F（n3-k-1,n1-k-1）若F0＞Fc，則拒絕H0，存在異方差性。71例5.6S=α+βY+u其中：S=儲蓄Y=收入設(shè)1951—60年，=0.016251970—79年，

=0.9725F0=0.9725/0.01625=59.9查表得:d.f.為（8，8）時，5%Fc=3.44∵F0＞Fc因而拒絕H0。結(jié)論：存在異方差性。72三、消除異方差性的思路基本思路：變換原模型，使經(jīng)過變換后的模型具有同方差性，然后再用OLS法進行估計。對于模型Yt=β0+β1X1t+…+βkXkt+ut（5.15）若擾動項滿足E(ut)=0，E(uiuj)=0,i≠j，但E(ut2)=t2≠常數(shù).73設(shè)擾動項異方差形式如下：

Var(ut)=t2=2t2，t=1，2，…，n其中2為一未知常數(shù)，t2表示一組已知數(shù)值，則用t去除模型各項，得變換模型:

74所以變換后的擾動項方差為常數(shù)，可用OLS法進行估計，得到的參數(shù)估計量為BLUE。但這是變換后模型（5.16）的OLS估計量。對原模型而言，它已不是OLS估計量，稱為廣義最小二乘估計量（GLS估計量）。75四、廣義最小二乘法(Generalizedleastsquares)下面用矩陣形式的模型來推導(dǎo)出GLS估計量的一般計算形式。設(shè)GLS模型為Y=Xβ+u（5.17）滿足E(u)=0，E(uu′)=2，X非隨機，X的秩=K+1＜n,其中Ω為正定矩陣。（注:正定矩陣是和單位矩陣合同的矩陣；正定矩陣<=>所有順序主子式均大于0。）

76

根據(jù)矩陣代數(shù)知識可知，對于任一正定矩陣Ω，存在著一個滿秩（非退化，非奇異）矩陣P，使得Ω=PP′，Ω-1=(P-1)′P-1

用P-1左乘原模型（5.17）（對原模型進行變換）：P-1Y=P-1Xβ+P-1u令Y*=

P-1Y

，X*=P-1X，u*=P-1u，得到

Y*=X*β+u*

（5.18）模型（5.18）的擾動項u*滿足OLS法的基本假設(shè)條件。7778可直接用OLS估計模型（5.18），參數(shù)估計量向量這就是的廣義最小二乘估計量（GLS估計量）的公式，該估計量是BLUE。只要Ω為正定矩陣就可用GLS法估計模型(5.17)。79如果只存在異方差，則其中顯然有8081五、廣義最小二乘法的應(yīng)用1．根據(jù)實際問題確定Ω矩陣應(yīng)用GLS法的關(guān)鍵是確定Ω矩陣。對于僅存在異方差的實際問題，Ω矩陣是一個對角矩陣，即82例5.7Yt=β1+β2Xt+utt=1,2,…,n.其中，Y=家庭消費支出，X=家庭可支配收入高收入家庭有較大的擾動項方差，假定擾動項方差與可支配收入成正比，即Var(ut)=δXt,t=1,2,…,n.式中δ是一未知常數(shù)，由于Xt為已知，相當于t2，而δ相當于2，因此應(yīng)用GLS法，即可得出β的GLS估計量。832．根據(jù)格里瑟檢驗法（Glesjertest）確定異方差形式Glesjer檢驗法不僅可檢驗異方差是否存在，還可確定異方差形式，對于確定Ω矩陣很有用。84

格里瑟檢驗法的思路是假定擾動項方差與解釋變量之間存在冪次關(guān)系，

方法是用et對被認為與擾動項方差有關(guān)的解釋變量回歸，確定et和該解釋變量的關(guān)系。需要用該解釋變量的不同冪次進行試驗，選擇出最佳擬合形式。85具體步驟如下：(1)因變量Y對所有解釋變量回歸，計算殘差et

（t=1,2,…,n）(2)et對所選擇解釋變量的各種形式回歸，如

然后利用決定系數(shù)，選擇擬合最佳的函數(shù)形式。(3)對β1進行顯著性檢驗，若顯著異于0，則表明存在異方差性，否則再試其它形式。86

格里瑟檢驗法的最大優(yōu)點是能夠提供有關(guān)異方差性形式的信息，為GLS法提供Ω矩陣。缺點是太繁瑣。一般用其它方法檢驗異方差是否存在，然后再用格里瑟法確定異方差的具體形式，進而應(yīng)用GLS法。87例5.8Yt=β1+β2X1t+…+βkXkt+ut假設(shè)根據(jù)經(jīng)驗知道擾動項方差與Xjt有關(guān)，并用格里瑟法試驗，得出：883.加權(quán)最小二乘法WLS法對于僅存在異方差性的問題，Ω矩陣是一個對角矩陣，即在這種情況下應(yīng)用廣義最小二乘法，也就是在原模型Y=Xβ+u兩端左乘矩陣89變換原模型，再對變換后的模型應(yīng)用普通最小二乘法進行估計。這種做法實際上等價于在代數(shù)形式的原模型Yt=β0+β1X1t+…+βkXkt+ut的兩端除以t,得變換模型90此變換模型擾動項同方差，可用OLS法估計。這種做法相當于在回歸中給因變量和解釋變量的每個觀測值都賦予一個與相應(yīng)擾動項的方差相聯(lián)系的權(quán)數(shù)(1/t，t=1,2,…,n)，然后再對這些變換后的數(shù)據(jù)進行回歸，這種做法稱為加權(quán)最小二乘法WLS法，是廣義最小二乘法的特例。91例5.9Yi=β1+β2Xi+ui…(5.19)式中Y為R&D支出，X為銷售額。采用美國1988年18個行業(yè)的數(shù)據(jù)估計上述方程，結(jié)果如下(括號中數(shù)值為t值)這里是橫截面數(shù)據(jù)，由于行業(yè)之間的差別，可能存在異方差。應(yīng)用格里瑟法試驗，得到異方差形式為i2=Xi，將原模型的兩端除以92用OLS法估計(5.20)，結(jié)果如下(括號中數(shù)值為t值)與式(5.19)的結(jié)果比較，兩個方程斜率系數(shù)的估計值相差不大，但采用WLS法估計的β比直接用OLS法估計的系數(shù)更為顯著，這表明OLS法高估了X的系數(shù)估計量的標準誤差。93第四節(jié)自相關(guān)一、定義若Cov(ui,uj)=E(uiuj)=0,i≠j不成立，即線性回歸模型擾動項的方差—協(xié)方差矩陣的非主對角線元素不全為0，則稱為擾動項自相關(guān)，或序列相關(guān)（SerialCorrelation）。94二、自相關(guān)的原因及后果1．原因：自相關(guān)主要發(fā)生在時間序列數(shù)據(jù)的情形.主要有以下兩種原因：（1）隨機沖擊的延期影響(慣性)時間序列情況下，隨機擾動的影響往往持續(xù)不止一個時期。例如，地震、洪水、罷工或戰(zhàn)爭等將在發(fā)生時期的后續(xù)若干期中影響經(jīng)濟運行。95

又如一個工廠的產(chǎn)量，由于某種外部隨機因素的影響(如某種原材料的供應(yīng)出了問題)，該廠某周產(chǎn)量低于正常水平。則隨后的一周或幾周中，由于這種影響繼續(xù)延續(xù)，產(chǎn)量也很可能低于正常水平(即擾動項為負)?？梢钥闯?，觀測的周期越長，這種延期影響就越小，因此，年度數(shù)據(jù)比季度數(shù)據(jù)序列相關(guān)可能性要小。96（2）誤設(shè)定如果忽略了一個有關(guān)的解釋變量，而該變量是自相關(guān)的，則將使擾動項自相關(guān)，不正確的函數(shù)形式也將導(dǎo)致同樣后果。在這些情況下，解決的方法是糾正誤設(shè)定。本章后面將介紹的糾正自相關(guān)的方法都不適用于這種情況的自相關(guān)。972．后果自相關(guān)的后果與異方差類似。（1）在擾動項自相關(guān)的情況下，OLS估計量仍為無偏估計量，但不再具有最小方差,即不是BLUE。（2）OLS估計量的標準誤差不再是真實標準誤差的無偏估計量，回歸參數(shù)的置信區(qū)間和假設(shè)檢驗結(jié)果不可相信。98三、自相關(guān)的檢驗1．一階自相關(guān)的檢驗德賓—沃森檢驗法(Durbin—Watsontest)（1）一階自相關(guān)ut=ρut-1+εt,t=1,2,…,n.

ρ稱為自相關(guān)系數(shù)（-1≤ρ≤1），這種擾動項的自相關(guān)稱為一階自相關(guān)，即擾動項僅與其前一期的值有關(guān)。ρ>0正自相關(guān)ρ<0負自相關(guān)ρ=0無自相關(guān)99在一階自相關(guān)模式中，假定εt具有以下性質(zhì)：E(εt)=0,E(εt2)=σ2=常數(shù)，E(εiεj)=0,i≠j,εt服從正態(tài)分布。在計量經(jīng)濟學(xué)中，具有上述性質(zhì)的變量稱為白噪聲（Whitenoise），表示為εt=Whitenoise或εt=白噪聲100（2）德賓—沃森檢驗法(DW法)DW法要檢驗的原假設(shè)是：H0：=0，若H0為真，則ut=t，所檢驗的模型不存在擾動項自相關(guān)；若拒絕原假設(shè)，則存在自相關(guān)。檢驗統(tǒng)計量DW根據(jù)OLS回歸的殘差計算：101DW檢驗的原理：DW檢驗量的分子是即殘差變動的平方和。如果相鄰兩期的擾動項存在正自相關(guān)，則它們值的符號一般相同，所以應(yīng)該很小。極端的情況是=1，這時ut=ut-1，102由于et可作為ut的估計值，故也應(yīng)該約等于0，即DW約等于0

。另一方面，如果相鄰兩期的擾動項存在負自相關(guān)，則它們值的符號一般相反，所以應(yīng)該增大。極端的情況是=-1，這時ut=-ut-1，103所以DW=則104將DW檢驗量的分子展開，有105故當n充分大時，最后一項可以認為是約等于0，因此有106另一方面，用OLS法估計et=et-1+t，t=2,3,…,n得出式中，為一階自相關(guān)系數(shù)的估計值。107所以DW和一階自相關(guān)系數(shù)ρ的估計值之間存在以下近似關(guān)系：DW≈2-2由于-1≤ρ≤1，因而0≤DW≤4。DW檢驗的原理是：當DW值接近2時，則無自相關(guān)，DW值離2越遠，則自相關(guān)存在的可能性越大。108DW檢驗的缺陷DW統(tǒng)計量的概率分布不僅與樣本容量n和解釋變量個數(shù)k有關(guān)，還依賴于解釋變量的具體觀測值(即依賴于X矩陣)。不象t、F檢驗?zāi)菢樱鶕?jù)n,k就可以確定其分布，并給出一張臨界值表。德賓和沃森證明，只給定n,k，雖然DW統(tǒng)計量的真實分布不確定，但卻位于兩個極限分布之間，分別稱為下分布和上分布，如下圖所示：109每個分布的95%臨界水平用A，B，C，D表示0ABCDDW值圖5-1

概率密度下分布上分布95%95%110如果DW的值在A左邊或在D右邊，則不管DW統(tǒng)計量服從何種分布(上，下或中間)，無自相關(guān)的原假設(shè)被拒絕。若DW的值在B和C之間，則接受原假設(shè)。而當DW的值在A和B之間或C和D之間時，則無法得出結(jié)論。上述分析可以概括為：

DW<A或DW>D存在自相關(guān)B<DW<C無自相關(guān)A<DW<B或C<DW<D無結(jié)論區(qū)111

無結(jié)論區(qū)的存在是DW法的最大缺陷。德賓和沃森根據(jù)上下限分布給出了一個下臨界值dL和一個上臨界值du來檢驗自相關(guān)，dL和du僅依賴于觀測值的數(shù)目n、解釋變量k，以及顯著性水平，而不依賴于解釋變量所取的值。（請參閱DW表）112檢驗程序如下：a.用OLS法對原模型進行回歸，得殘差et(t=1,2,…,n)。b.計算DW值（回歸軟件給出DW值）。c.用n，k和查表得dL，du。d.判別

實際的檢驗程序可用下面的示意圖說明。正自相關(guān)無結(jié)論區(qū)無自相關(guān)無結(jié)論區(qū)負自相關(guān)0dL

du 24-du4-dL4113①若0＜DW＜dL，則ut存在一階正自相關(guān)②若4-dL＜DW＜4，則ut存在一階負自相關(guān)③若du＜DW＜4-du則ut不存在自相關(guān)④若dL＜DW＜du或4-du＜DW＜4-dL，則不能確定ut是否存在自相關(guān)

例：DW=3.5，查表（n=30,k=2,=5%）得：dL=1.284，du=1.567。因為4-dL=2.716＜DW=3.5＜4結(jié)論：ut存在一階負自相關(guān)。1142．其它檢驗自相關(guān)的方法DW檢驗法只能檢驗一階自相關(guān)，且方程中不包括滯后因變量(如Yt-1,Yt-2等)。下面列出其它幾種檢驗方法及其適用環(huán)境。檢驗方法適用環(huán)境Durbin’sh檢驗法一階自相關(guān)，方程中有Yt-1Box-Pierce檢驗法一般自相關(guān)（K階）拉格朗日乘數(shù)LM檢驗法一般自相關(guān)（K階）115四、消除自相關(guān)的方法1．一階自相關(guān)如果是一階自相關(guān)，只要知道ρ，就可以完全消除自相關(guān)，下面用雙變量模型來說明(同樣適用于多個解釋變量模型)。設(shè)Yt=α+βXt+ut…（5.25）

ut=ρut-1+εt其中εt是白噪聲，且ρ≠0。

（5.25）式兩端取一期滯后，得

Yt-1=α+βXt-1+ut-1…（5.26）（5.26）式兩端乘以ρ，得

ρYt-1=αρ+βρXt-1+ρut-1…（5.27）116（5.25）-（5.27），得：

Yt-ρYt-1=α(1-ρ)+β(Xt-ρXt-1)+(ut-ρut-1)…（5.28）（5.28）式中的擾動項為ut-ρut–1=εt，從而滿足標準假設(shè)條件。令Yt′=Yt-ρYt-1Xt′=Xt-ρXt-1(廣義差分變換)α′=α(1-ρ)，有

Yt′=α′+βXt′+εt…（5.29）若ρ為已知，就可用OLS法直接估計（5.29）式，否則需要先估計ρ。在ρ未知的情況下，通常用下列兩種方法。117（1）科克倫—奧克特法（Cochrane—Orcutt）它是一個迭代過程，步驟如下：①用OLS法估計原模型(5.25)式，計算殘差et。②et對et-1回歸，即估計et=ρet-1+εt，得到ρ的估計值③用計算然后估計Yt′=α′+βXt′+εt，得到α和β的估計值和。④把參數(shù)估計值代入原模型重新計算殘差，返回第②步。此過程不斷修改，和，直至收斂。118（2）希爾德雷斯—盧法（Hildreth—lu）這是一種格點搜索法,即在ρ的預(yù)先指定范圍(如-1至1)內(nèi)指定搜索間隔（如0.01），然后用這樣產(chǎn)生的全部ρ值（-1.00，-0.99，…，1.00）產(chǎn)生Yt′=Yt–ρYt-1Xt′=Xt-ρXt-1估計Yt′=α′+βXt′+εt

產(chǎn)生擾動項最小標準誤差的ρ值即作為ρ的估計值，用該ρ值得到的和即為原模型的系數(shù)估計值。1192．一般自相關(guān)對于一般自相關(guān)問題，可采用廣義最小二乘法處理。自相關(guān)意味著擾動項u的方差—協(xié)方差矩陣E(u12）E(u1u2）…E(u1un）E(uu′)=E(u2u1)E(u22)…E(u2un）……E(unu1)E(unu2)…E(un2）中某些E(uiuj)≠0,i≠j.即E(uu′)=2Ω，其中Ω為對稱正定矩陣。因而可應(yīng)用GLS法。此方法可用于任何類型的自相關(guān)。120第五章小結(jié)一、誤設(shè)定誤設(shè)定包括函數(shù)形式的誤設(shè)定和解釋變量的誤設(shè)定。重點介紹了兩種類型的誤設(shè)定。1、模型中忽略了有關(guān)的解釋變量其后果是使參數(shù)估計量產(chǎn)生偏倚，即OLS估計量不再是無偏估計量。2、模型中包括了無關(guān)的解釋變量其后果是增大了估計量的方差，但估計量仍無偏。121

在實際工作中，可用拉姆齊RESET檢驗法檢驗?zāi)Ｐ褪欠裾`設(shè)定，但仍無