一起甲胺磷農(nóng)藥中毒案例交流備課講稿

一起甲胺磷農(nóng)藥中毒案例交流二年級(jí)科學(xué)各種各樣的天氣教案二年級(jí)科學(xué)各種各樣的天氣教案

/二年級(jí)科學(xué)各種各樣的天氣教案《各種各樣的天氣》教學(xué)設(shè)計(jì)【教學(xué)目標(biāo)】科學(xué)概念目標(biāo):知道并會(huì)區(qū)分陰晴雨雪風(fēng)等天氣現(xiàn)象。會(huì)用語(yǔ)言描述天氣變化對(duì)動(dòng)植物和人類(lèi)生活的影響?？茖W(xué)探究目標(biāo)：能根據(jù)圖片所表現(xiàn)出的天氣特征正確地判斷天氣。能運(yùn)用恰當(dāng)詞語(yǔ)描述天氣特征?？茖W(xué)態(tài)度目標(biāo)：能對(duì)各種天氣現(xiàn)象產(chǎn)生探究興趣。愿意傾聽(tīng)他人的看法，樂(lè)于表達(dá)自己的觀點(diǎn)，樂(lè)于同學(xué)間的合作學(xué)習(xí)?？茖W(xué)、技術(shù)、社會(huì)與環(huán)境目標(biāo)：能根據(jù)天氣情況，合理安排學(xué)習(xí)和生活。有保護(hù)動(dòng)植物，熱愛(ài)自然的意識(shí)?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)：知道并會(huì)區(qū)分陰晴雨雪風(fēng)等天氣現(xiàn)象。教學(xué)難點(diǎn)：能結(jié)合自身經(jīng)歷，用自己的話描述天氣變化對(duì)動(dòng)植物和人類(lèi)生活的影響?！窘虒W(xué)準(zhǔn)備】教師準(zhǔn)備：各種天氣卡片5套、課件（圖片和視頻）學(xué)生準(zhǔn)備：科學(xué)活動(dòng)手冊(cè)【教學(xué)過(guò)程】激趣導(dǎo)入師：秋天的雨，帶給大地的是一曲豐收的歌，帶給小朋友的是一首歡樂(lè)的歌。一場(chǎng)秋雨一場(chǎng)寒，這兩天同學(xué)們要多穿點(diǎn)衣服。我們可以通過(guò)什么途徑知道其他地區(qū)的天氣？師：我們可以通過(guò)觀看天氣預(yù)報(bào)來(lái)了解全國(guó)各地的天氣，（播放天氣預(yù)報(bào)視頻）請(qǐng)同學(xué)注意觀看有哪些天氣情況。師：我們有時(shí)會(huì)看見(jiàn)太陽(yáng)高高地掛在天空、有時(shí)也會(huì)看到下雨或下雪的現(xiàn)象，它們都代表不同的天氣情況，那么天氣有哪些變化呢？這節(jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)《各種各樣的天氣》（板書(shū)課題）學(xué)習(xí)新知1、說(shuō)說(shuō)我們知道的天氣師：同學(xué)們都知道有哪些天氣呢？先同學(xué)間互相交流再指名回答（教師板書(shū)）2、區(qū)分不同的天氣師：不同的天氣表現(xiàn)出的現(xiàn)象是不同的，圖片展示不同天氣，分別介紹晴天，雨天，雷電，沙塵暴，下雪，臺(tái)風(fēng)這些基本天氣。師：同學(xué)們能根據(jù)各種現(xiàn)象來(lái)判斷不同的天氣嗎？下面我們就來(lái)試試吧?。ńo各組分發(fā)天氣卡片）A、學(xué)生分組活動(dòng)：根據(jù)卡片判斷天氣，并把天氣名稱(chēng)寫(xiě)在卡片的反面。B、全班交流：分別指名選擇卡片來(lái)說(shuō)說(shuō)是什么天氣，并說(shuō)明理由。（學(xué)生回答的同時(shí)教師把圖片貼在板書(shū)相應(yīng)位置）C、共同交流質(zhì)疑，補(bǔ)充板書(shū)：對(duì)于同學(xué)們有質(zhì)疑的圖片教師要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察比較，并加以明確和補(bǔ)充天氣名稱(chēng)。D、拓展練習(xí)：完成活動(dòng)手冊(cè)第五課“拓展活動(dòng)”學(xué)生獨(dú)立完成后再共同訂正。天氣對(duì)我們的影響師：天氣總是在不斷的變化，也時(shí)刻影響著我們的生活，下面我們就來(lái)了解一下不同的天氣給我們的生活都帶來(lái)了哪些影響。讓學(xué)生結(jié)合自身的生活經(jīng)歷說(shuō)說(shuō)天氣給我們帶來(lái)的影響。出示幻燈片（干死的秧苗、拔出地面的樹(shù)根、太陽(yáng)能集熱板和風(fēng)車(chē)）分別指名說(shuō)說(shuō)圖片中表現(xiàn)的是什么事物，是什么原因造成，它們反映出了不同天氣給動(dòng)植物和我們?nèi)祟?lèi)帶來(lái)的哪些不利和有利影響？教師小結(jié)：適宜的天氣會(huì)有助于動(dòng)植物的生長(zhǎng)和生存，有利于我們?nèi)祟?lèi)的生產(chǎn)和生活。但是，如果某一種天氣持續(xù)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)或強(qiáng)度過(guò)大，就會(huì)給動(dòng)植物和人類(lèi)帶來(lái)不利的影響。所以，我們也要根據(jù)天氣情況合理安排自己的生活。（板書(shū)：天氣影響動(dòng)植物和人類(lèi)）讓學(xué)生舉例說(shuō)說(shuō)自己是怎樣根據(jù)天氣情況來(lái)安排學(xué)習(xí)和生活的。研討師：風(fēng)、晴、雨、雪、風(fēng)對(duì)動(dòng)植物和人類(lèi)有哪些影響？學(xué)生活動(dòng)：四個(gè)學(xué)生一個(gè)小組進(jìn)行研討，小組選代表說(shuō)說(shuō)研討結(jié)果天氣在線活動(dòng)：模擬天氣預(yù)報(bào)播報(bào)小活動(dòng)知識(shí)拓展師：同學(xué)們知道什么是極端天氣嗎？它們的產(chǎn)生又會(huì)有什么后果呢？下面我們就來(lái)了解一下。向?qū)W生介紹什么是極端天氣。（出示投影：什么是極端天氣和相關(guān)天氣圖片）極端天氣通俗的說(shuō)就是指在一定地區(qū)，一定時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)的很少見(jiàn)的天氣現(xiàn)象，它發(fā)生的概率很小，但造成的影響很大。比如：狂風(fēng)、暴雨、暴雪、龍卷風(fēng)、臺(tái)風(fēng)、冰雹、強(qiáng)寒潮、高溫、長(zhǎng)期干旱等都屬于極端天氣。Ｂ、說(shuō)說(shuō)你知道的極端天氣造成嚴(yán)重后果的事件。C、小結(jié)：極端天氣具有很強(qiáng)的破壞性，會(huì)嚴(yán)重影響我們的生活，甚至造成生命和財(cái)產(chǎn)損失。梳理總結(jié)學(xué)生暢談收獲布置作業(yè)師：既然極端天氣具有很強(qiáng)的破壞性，所以我們是不是希望這樣的天氣情況出現(xiàn)的越少越好呢？課下請(qǐng)同學(xué)們查閱資料了解地球上的極端天氣和它們產(chǎn)生的后果。板書(shū)設(shè)計(jì)各種各樣的天氣晴圖片 陰圖片天氣影響動(dòng)植物和人類(lèi)雨圖片天氣雪圖片風(fēng)圖片霧圖片．．．

高等代數(shù)北大版教案-第6章線性空間高等代數(shù)北大版教案-第6章線性空間

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高等代數(shù)北大版教案-第6章線性空間第六章線性空間§1集合映射一授課內(nèi)容:§1集合映射二教學(xué)目的:通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握集合映射的有關(guān)定義、運(yùn)算,求和號(hào)與乘積號(hào)的定義.三教學(xué)重點(diǎn):集合映射的有關(guān)定義.四教學(xué)難點(diǎn):集合映射的有關(guān)定義.五教學(xué)過(guò)程:1.集合的運(yùn)算,集合的映射(像與原像、單射、滿(mǎn)射、雙射)的概念定義:(集合的交、并、差)設(shè)是集合,與的公共元素所組成的集合成為與的交集,記作；把和B中的元素合并在一起組成的集合成為與的并集,記做；從集合中去掉屬于的那些元素之后剩下的元素組成的集合成為與B的差集,記做.定義:(集合的映射)設(shè)、為集合.如果存在法則,使得中任意元素在法則下對(duì)應(yīng)中唯一確定的元素(記做),則稱(chēng)是到的一個(gè)映射,記為如果,則稱(chēng)為在下的像,稱(chēng)為在下的原像.的所有元素在下的像構(gòu)成的的子集稱(chēng)為在下的像,記做,即.若都有則稱(chēng)為單射.若都存在,使得,則稱(chēng)為滿(mǎn)射.如果既是單射又是滿(mǎn)射,則稱(chēng)為雙射,或稱(chēng)一一對(duì)應(yīng).2.求和號(hào)與求積號(hào)(1)求和號(hào)與乘積號(hào)的定義為了把加法和乘法表達(dá)得更簡(jiǎn)練,我們引進(jìn)求和號(hào)和乘積號(hào).設(shè)給定某個(gè)數(shù)域上個(gè)數(shù),我們使用如下記號(hào):,.當(dāng)然也可以寫(xiě)成,.(2)求和號(hào)的性質(zhì)容易證明,,,.事實(shí)上,最后一條性質(zhì)的證明只需要把各個(gè)元素排成如下形狀:分別先按行和列求和,再求總和即可.§2線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)一授課內(nèi)容：§2線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)二教學(xué)目的：通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì).三教學(xué)重點(diǎn)：線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì).四教學(xué)難點(diǎn)：線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì).五教學(xué)過(guò)程：1.線性空間的定義(1)定義4.1(線性空間)設(shè)V是一個(gè)非空集合,且V上有一個(gè)二元運(yùn)算“+”,又設(shè)K為數(shù)域,V中的元素與K中的元素有運(yùn)算數(shù)量乘法“”,且“+”與“”滿(mǎn)足如下性質(zhì):加法交換律,有；加法結(jié)合律,有；存在“零元”,即存在,使得；存在負(fù)元,即,存在,使得；“1律”；數(shù)乘結(jié)合律,都有；分配律,都有；分配律,都有,則稱(chēng)V為K上的一個(gè)線性空間,我們把線性空間中的元素稱(chēng)為向量.注意:線性空間依賴(lài)于“+”和“”的定義,不光與集合V有關(guān).(2)零向量和負(fù)向量的唯一性,向量減法的定義,線性空間的加法和數(shù)乘運(yùn)算與通常數(shù)的加、乘法類(lèi)似的性質(zhì)命題4.1零元素唯一,任意元素的負(fù)元素唯一.證明:設(shè)與均是零元素,則由零元素的性質(zhì),有；,設(shè)都是的負(fù)向量,則,于是命題得證.由于負(fù)向量唯一,我們用代表的負(fù)向量.定義4.2(減法)我們定義二元運(yùn)算減法“-”如下:定義為.命題4.2線性空間中的加法和數(shù)乘滿(mǎn)足如下性質(zhì):加法滿(mǎn)足消去律；可移項(xiàng)；可以消因子且,則；.(3)線性空間的例子例4.1令V表示在上可微的函數(shù)所構(gòu)成的集合,令,V中加法的定義就是函數(shù)的加法,關(guān)于K的數(shù)乘就是實(shí)數(shù)遇函數(shù)的乘法,V構(gòu)成K上的線性空間.定義4.3(線性組合)給定V內(nèi)一個(gè)向量組,又給定數(shù)域K內(nèi)s個(gè)數(shù),稱(chēng)為向量組的一個(gè)線性組合.定義4.4(線性表出)給定V內(nèi)一個(gè)向量組,設(shè)是V內(nèi)的一個(gè)向量,如果存在K內(nèi)s個(gè)數(shù),使得,則稱(chēng)向量可以被向量組線性表出.定義4.5(向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān))給定V內(nèi)一個(gè)向量組,如果對(duì)V內(nèi)某一個(gè)向量,存在數(shù)域K內(nèi)不全為零的數(shù),使得,則稱(chēng)向量組線性相關(guān)；若由方程必定推出,則稱(chēng)向量組線性無(wú)關(guān).命題4.3設(shè),則下述兩條等價(jià):1)線性相關(guān)；2)某個(gè)可被其余向量線性表示.證明同向量空間.定義4.6(線性等價(jià))給定V內(nèi)兩個(gè)向量組(Ⅰ),(Ⅱ),如果(Ⅰ)中任一向量都能被(Ⅱ)線性表示,反過(guò)來(lái),(Ⅱ)中任一向量都能被(Ⅰ)線性表示,則稱(chēng)兩向量組線性等價(jià).定義4.7(極大線性無(wú)關(guān)部分組)給定V內(nèi)一個(gè)向量組,如果它有一個(gè)部分組滿(mǎn)足如下條件:(i)、線性無(wú)關(guān)；(ii)、原向量組中任一向量都能被線性表示,則稱(chēng)此部分組為原向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)部分組.由于在向量空間中我們證明的關(guān)于線性表示和線性等價(jià)的一些命題中并沒(méi)有用到的一些特有的性質(zhì),于是那些命題在線性空間中依然成立.定義4.8(向量組的秩)一個(gè)向量組的任一極大線性無(wú)關(guān)部分組中均包含相同數(shù)目的向量,其向量數(shù)目成為該向量組的秩.例4.2求證:向量組的秩等于2(其中).證明:方法一:設(shè)∈R,滿(mǎn)足,則,假若不全為零,不妨設(shè),則有,而由于,等號(hào)左邊為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),矛盾于等號(hào)右邊為常數(shù).于是.所以線性無(wú)關(guān),向量組的秩等于2.證畢.方法二:若在上,兩端求導(dǎo)數(shù),得,以代入,有而,于是.證畢.§3維數(shù)、基與坐標(biāo)一授課內(nèi)容:§3維數(shù)、基與坐標(biāo)二教學(xué)目的:通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握線性空間的基與維數(shù),向量的坐標(biāo)的有關(guān)定義及性質(zhì).三教學(xué)重點(diǎn):基與維數(shù)、向量坐標(biāo)的有關(guān)定義.四教學(xué)難點(diǎn):基與維數(shù)、向量坐標(biāo)的有關(guān)定義.五教學(xué)過(guò)程:1.線性空間的基與維數(shù),向量的坐標(biāo)設(shè)V是數(shù)域K上的線性空間,則有:定義4.9(基和維數(shù))如果在V中存在n個(gè)向量,滿(mǎn)足:1)線性無(wú)關(guān)；2)V中任一向量在K上可表成的線性組合,則稱(chēng)為V的一組基.基即是V的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)部分組.基的個(gè)數(shù)定義為線性空間的維數(shù).命題4.4設(shè)V是數(shù)域K上的n維線性空間,而.若V中任一向量皆可被線性表出,則是V的一組基.證明:由與V的一組基線性等價(jià)可以推出它們的秩相等.命題4.5設(shè)V為K上的n維線性空間,,則下述兩條等價(jià):1)線性無(wú)關(guān)；2)V中任一向量可被線性表出.定義4.10(向量的坐標(biāo))設(shè)V為K上的n維線性空間,是它的一組基.任給,由命題4.4,可唯一表示為的線性組合,即,使得,于是我們稱(chēng)為在基下的坐標(biāo).易見(jiàn),在某組基下的坐標(biāo)與V/K中的向量是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.§4基變換與坐標(biāo)變換一授課內(nèi)容:§4基變換與坐標(biāo)變換二教學(xué)目的:通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握基變換與過(guò)渡矩陣的定義、運(yùn)算,坐標(biāo)變換公式.三教學(xué)重點(diǎn):基變換與過(guò)渡矩陣的定義、運(yùn)算,坐標(biāo)變換公式.四教學(xué)難點(diǎn):坐標(biāo)變換公式的應(yīng)用.五教學(xué)過(guò)程:1.線性空間的基變換,基的過(guò)渡矩陣設(shè)V/K是n維線性空間,設(shè)和是兩組基,且將其寫(xiě)成矩陣形式.定義4.11我們稱(chēng)矩陣為從到的過(guò)渡矩陣.命題4.6設(shè)在n維線性空間V/K中給定一組基.T是K上一個(gè)n階方陣.命則有是V/K的一組基,當(dāng)且僅當(dāng)T可逆.證明:若是線性空間V/K的一組基,則線性無(wú)關(guān).考察同構(gòu)映射,構(gòu)造方程,其中,,線性無(wú)關(guān).構(gòu)成了過(guò)渡矩陣的列向量,所以過(guò)渡矩陣可逆；反過(guò)來(lái),若過(guò)渡矩陣可逆,則構(gòu)造方程,其中,兩邊用作用,得到,.證畢.2.向量的坐標(biāo)變換公式；中的兩組基的過(guò)渡矩陣(1)向量的坐標(biāo)變換公式設(shè)V/K有兩組基為和,又設(shè)在下的坐標(biāo)為,即,在下的坐標(biāo)為,即.現(xiàn)在設(shè)兩組基之間的過(guò)渡矩陣為T(mén),即記,,于是.于是,由坐標(biāo)的唯一性,可以知道,這就是坐標(biāo)變換公式.(2)中兩組基的過(guò)渡矩陣的求法我們?cè)O(shè)中兩組基分別為和而按定義,T的第i個(gè)列向量分別是在基下的坐標(biāo).將和看作列向量分別排成矩陣；,則有,將A和B拼成分塊矩陣,利用初等行變換將左邊矩陣A化為單位矩陣E,則右邊出來(lái)的就是過(guò)渡矩陣T,示意如下:.§5線性子空間一授課內(nèi)容:§5線性子空間二教學(xué)目的:通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握線性子空間的定義、判別定理.三教學(xué)重點(diǎn):線性子空間的定義、判別定理.四教學(xué)難點(diǎn):線性子空間的判別定理.五教學(xué)過(guò)程:1.線性空間的子空間的定義定義4.12(子空間)設(shè)V是數(shù)域K上的一個(gè)線性空間,M時(shí)V的一個(gè)非空子集.如果M關(guān)于V內(nèi)的加法與數(shù)乘運(yùn)算也組成數(shù)域K上的一個(gè)線性空間,則稱(chēng)為V的一個(gè)子空間.命題4.7設(shè)V是K上的線性空間,又設(shè)一個(gè)非空集合,則是子空間當(dāng)且僅當(dāng)下述兩條成立:i)對(duì)減法封閉；ii)對(duì)于K中元素作數(shù)乘封閉.證明:必要性由定義直接得出；充分性:各運(yùn)算律在V中已有,所以W滿(mǎn)足運(yùn)算律的條件.只需要證明且對(duì)于任意,,且對(duì)加法封閉即可.事實(shí)上,由于關(guān)于數(shù)乘封閉,則；,于是對(duì)于,,W關(guān)于加法封閉.于是W是V的一個(gè)子空間.證畢.事實(shí)上,W關(guān)于加法和數(shù)乘封閉也可以得出上述結(jié)論.命題4.8設(shè)W是V的一個(gè)有限維子空間,則W的任一組基可以擴(kuò)充為V的一組基.證明:設(shè),,,若,則命題為真；若,對(duì)作歸納:設(shè)為W的一組基,取,則線性無(wú)關(guān).于是令,易見(jiàn),W’是V的一個(gè)子空間,且,此時(shí),對(duì)其用歸納假設(shè)即可.§6子空間的交與和一授課內(nèi)容:§6子空間的交與和二教學(xué)目的:通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握子空間的交與和的定義、性質(zhì)及維數(shù)公式.三教學(xué)重點(diǎn):子空間的交與和的定義及維數(shù)公式.四教學(xué)難點(diǎn):子空間的交與和的性質(zhì)及維數(shù)公式..五教學(xué)過(guò)程:1.子空間的交與和,生成元集定義4.13設(shè),則是V的一個(gè)子空間,稱(chēng)為由生成的子空間,記為.易見(jiàn),生成的子空間的維數(shù)等于的秩.定義4.14(子空間的交與和)設(shè)為線性空間V/K的子空間,定義,稱(chēng)為子空間的交；,稱(chēng)為子空間的和.命題4.9和都是V的子空間.證明:由命題4.7,只需要證明和關(guān)于加法與數(shù)乘封閉即可.事實(shí)上,,則,.由于均是V的子空間,則,于是,關(guān)于加法封閉；,,,于是,關(guān)于數(shù)乘封閉.,則由的定義,,使得,而,則,關(guān)于加法封閉；,,使得,由于,則,關(guān)于數(shù)乘封閉.證畢.命題4.10設(shè)是V的子空間,則和均為V的子空間.2.維數(shù)公式.定理4.1設(shè)V為有限維線性空間,為子空間,則.這個(gè)定理中的公式被稱(chēng)為維數(shù)公式.證明:設(shè),,,,取的一組基(若=0,則,基為空集),將此基分別擴(kuò)充為的基,,只需要證明是的一組基即可.首先,易見(jiàn)中的任一向量都可以被線性表出.事實(shí)上,,則,其中,而

于是可被線性表出.只要再證明向量組線性無(wú)關(guān)即可.設(shè),其中.則(*)于是,,于是,記為.則可被線性表示,設(shè),代入(*),有,由于是的一組基,所以線性無(wú)關(guān),則,代回(*),又有,于是向量組線性無(wú)關(guān).證畢.推論2.1設(shè)都是有限為線性空間V的子空間,則:.證明:對(duì)t作歸納.§7子空間的直和一授課內(nèi)容:§7子空間的直和二教學(xué)目的:通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握子空間的直和與補(bǔ)空間的定義及性質(zhì).三教學(xué)重點(diǎn):子空間的直和的四個(gè)等價(jià)定義.四教學(xué)難點(diǎn):子空間的直和的四個(gè)等價(jià)定義.五教學(xué)過(guò)程:1.子空間的直和與直和的四個(gè)等價(jià)定義定義設(shè)V是數(shù)域K上的線性空間,是V的有限為子空間.若對(duì)于中任一向量,表達(dá)式.是唯一的,則稱(chēng)為直和,記為或.定理設(shè)為數(shù)域K上的線性空間V上的有限為子空間,則下述四條等價(jià):1)是直和；2)零向量表示法唯一；3)；4).證明:顯然.設(shè)則.由2)知,零向量的表示法唯一,于是,即的表示法唯一.由直和的定義可知,是直和.假若存在某個(gè),使得,則存在向量且,于是存在,使得.由線性空間的定義,,則,與零向量的表示法唯一矛盾,于是.若2)不真,則有,其中且.于是,與3)矛盾,于是2)成立.對(duì)m作歸納.①=2時(shí),由維數(shù)公式得到.②設(shè)已證,則對(duì)于,而,都有；由歸納假設(shè),可以得到.,都有,于是.證畢.推論設(shè)為V的有限維子空間,則下述四條等價(jià):i)是直和；ii)零向量的表示法唯一；iii)；iv).2.直和因子的基與直和的基命題設(shè),則的基的并集為V的一組基.證明:設(shè)是的一組基,則V中任一向量可被線性表出.又,由命題4.5,它們線性無(wú)關(guān),于是它們是V的一組基.證畢.3.補(bǔ)空間的定義及存在性定義設(shè)為V的子空間,若子空間滿(mǎn)足,則稱(chēng)為的補(bǔ)空間.命題有限維線性空間的任一非平凡子空間都有補(bǔ)空間.證明:設(shè)為K上的n為線性空間V的非平凡子空間,取的一組基,將其擴(kuò)為V的一組基取,則有,且,于是,即是的補(bǔ)空間.證畢.§8線性空間的同構(gòu)一授課內(nèi)容:§1線性空間的同構(gòu)二教學(xué)目的:通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),掌握線性空間同構(gòu)的有關(guān)定義及線性空間同構(gòu)的判定.三教學(xué)重點(diǎn):線性空間同構(gòu)的判定.四教學(xué)難點(diǎn):線性空間同構(gòu)的判定.五教學(xué)過(guò)程:1.線性映射的定義定義設(shè)為數(shù)域上的線性空間,為映射,且滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件:i)；ii),則稱(chēng)為(由到的)線性映射.由數(shù)域上的線性空間到的線性映射的全體記為Hom,或簡(jiǎn)記為Hom.定義中的i)和ii)二條件可用下述一條代替:.例是上的線性空間,也是上線性空間,取定一個(gè)上的矩陣,定義映射則是由到的線性映射.例考慮區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的全體,它是R上的線性空間,令再令則是由到的一個(gè)線性映射.定義設(shè)是線性映射i)如果是單射,則稱(chēng)是單線性映射(monomorphism)；ii)如果是滿(mǎn)射,則稱(chēng)是滿(mǎn)線性映射(endmorphism)；iii)如果既單且滿(mǎn),則稱(chēng)為同構(gòu)映射(簡(jiǎn)稱(chēng)為同構(gòu),isomorphism),并說(shuō)與是同構(gòu)的,同構(gòu)映射也稱(chēng)為線性空間的同態(tài)(homomorphism),同構(gòu)映射的逆映射也是同構(gòu)映射；iv)的核(kernel)定義為；v)的像(image)定義為,也記為；命題和是的子空間.證明:容易證明它們關(guān)于加法和數(shù)乘封閉.vi)的余核定義為.命題線性映射是單的當(dāng)且僅當(dāng)ker,是滿(mǎn)的當(dāng)且僅當(dāng)coker.定理(同態(tài)基本定理)設(shè)是數(shù)域上的線性空間的滿(mǎn)線性映射,則映射是同構(gòu)映射.證明:首先證明是映射,即若,則.由于,存在,使得.于是,即.再證明是線性映射.,,有.易見(jiàn)是滿(mǎn)射,且有.只要再證明是單射即可,即證明.設(shè),則,于是,即有.證畢.命題設(shè)是線性映射,,則下述三條等價(jià):i)單；ii)將中任意線性無(wú)關(guān)組映為中的線性無(wú)關(guān)組；iii).證明:i)ii)若線性無(wú)關(guān),則令,由線性映射的定義,.單,于是,則,ii)成立；ii)iii)若取的一組基,則由已知,線性無(wú)關(guān),而中任意向量可以被線性表出,于是構(gòu)成的一組基,iii)成立；iii)i)由同態(tài)基本定理知,于是,即有.證畢.

經(jīng)典奧數(shù)時(shí)鐘問(wèn)題經(jīng)典奧數(shù)時(shí)鐘問(wèn)題

/經(jīng)典奧數(shù)時(shí)鐘問(wèn)題四、時(shí)鐘問(wèn)題解法與算法公式解題關(guān)鍵：時(shí)鐘問(wèn)題屬于行程問(wèn)題中的追及問(wèn)題。鐘面上按“時(shí)”分為12大格，按“分”分為60小格。每小時(shí)，時(shí)針走1大格合5小格，分針走12大格合60小格，時(shí)針的轉(zhuǎn)速是分針的，兩針?biāo)俣炔钍欠轴樀乃俣鹊模轴樏啃r(shí)可追及。1、二點(diǎn)到三點(diǎn)鐘之間，分針與時(shí)針什么時(shí)候重合？分析：兩點(diǎn)鐘的時(shí)候，分針指向12，時(shí)針指向2，分針在時(shí)針后5×2＝10（小格）。而分針每分鐘可追及1－＝（小格），要兩針重合，分針必須追上10小格，這樣所需要時(shí)間應(yīng)為（10÷）分鐘。解：（5×2）÷（1－）＝10÷＝10（分）答：2點(diǎn)10分時(shí)，兩針重合。2、在4點(diǎn)鐘至5點(diǎn)鐘之間，分針和時(shí)針在什么時(shí)候在同一條直線上？分析：分針與時(shí)針成一條直線時(shí)，兩針之間相差30小格。在4點(diǎn)鐘的時(shí)候，分針指向12，時(shí)針指向4，分針在時(shí)針后5×4＝20（小格）。因分針比時(shí)針?biāo)俣瓤?，要成直線，分針必須追上時(shí)針（20小格）并超過(guò)時(shí)針（30小格）后，才能成一條直線。因此，需追及（20＋30）小格。解：（5×4＋30）÷（1－）＝50÷＝54（分）答：在4點(diǎn)54分時(shí)，分針和時(shí)針在同一條直線上。3、在一點(diǎn)到二點(diǎn)之間，分針什么時(shí)候與時(shí)針構(gòu)成直角？分析：分針與時(shí)針成直角，相差15小格（或在前或在后），一點(diǎn)時(shí)分針在時(shí)針后5×1＝5小格，在成直角，分針必須追及并超過(guò)時(shí)針，才能構(gòu)成直角。所以分針需追及（5×1＋15）小格或追及（5×1＋45）小格。解：（5×1＋15）÷（1－）＝20÷＝21（分）或（5×1＋45）÷（1－）＝50÷＝54（分）答：在1點(diǎn)21分和1點(diǎn)54分時(shí)，兩針都成直角。4、星期天，小明在室內(nèi)陽(yáng)光下看書(shū)，看書(shū)之前，小明看了一眼掛鐘，發(fā)現(xiàn)時(shí)針與分針正好處在一條直線上?？赐陼?shū)之后，巧得很，時(shí)針與分針又恰好在同一條直線上?？磿?shū)期間，小明聽(tīng)到掛鐘一共敲過(guò)三下。（每整點(diǎn)，是幾點(diǎn)敲幾下；半點(diǎn)敲一下）請(qǐng)你算一算小明從幾點(diǎn)開(kāi)始看書(shū)？看到幾點(diǎn)結(jié)束的？分析：連半點(diǎn)敲聲在內(nèi)，一共敲了三下，說(shuō)明小明看書(shū)的時(shí)間是在中午12點(diǎn)以后。12點(diǎn)以后時(shí)針與分針：第一次成一條直線時(shí)刻是：（0＋30）÷（1－）＝30÷＝32（分）即12點(diǎn)32分。第二次成一條直線時(shí)刻是：（5×1＋30）÷（1－）＝35÷＝38（分）即1點(diǎn)38分。第三次成一條直線的時(shí)刻是：（5×2＋30）÷（1－）＝40÷＝43（分）即2點(diǎn)43分。如果從12點(diǎn)32分開(kāi)始，到1點(diǎn)38分，只敲2下，到2點(diǎn)43分，就共敲5下（不合題意）如果從1點(diǎn)38分開(kāi)始到2點(diǎn)43分，共敲3下。因此，小明應(yīng)從1點(diǎn)38分開(kāi)始看書(shū)，到2點(diǎn)43分時(shí)結(jié)束的。5、一只掛鐘，每小時(shí)慢5分鐘，標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間中午12點(diǎn)時(shí)，把鐘與標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間對(duì)準(zhǔn)?，F(xiàn)在是標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間下午5點(diǎn)30分，問(wèn)，再經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，該掛鐘才能走到5點(diǎn)30分？分析：1、這鐘每小時(shí)慢5分鐘，也就是當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)鐘走60分時(shí)，這掛鐘只能走60－5＝55（分），即速度是標(biāo)準(zhǔn)鐘速度的＝。2、因每小時(shí)慢5分，標(biāo)準(zhǔn)鐘從中午12點(diǎn)走到下午5點(diǎn)30分時(shí)，此掛鐘共慢了5×（17－12）＝27（分），也就是此掛鐘要差27分才到5點(diǎn)30分。3、此掛鐘走到5點(diǎn)30分，按標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間還要走27分，因它的速度是標(biāo)準(zhǔn)時(shí)鐘速度的，實(shí)際走完這27分所要時(shí)間應(yīng)是27÷。解：5×（17－12）＝27（分）27÷＝30（分）答：再經(jīng)過(guò)30分鐘，該掛鐘才能走到5點(diǎn)30分。時(shí)鐘是我們?nèi)粘Ｉ钪胁豢扇鄙俚挠?jì)時(shí)工具。生活中也時(shí)常會(huì)遇到與時(shí)鐘相關(guān)的問(wèn)題。關(guān)于時(shí)鐘的問(wèn)題有：求某一時(shí)刻時(shí)針與分針的夾角，兩針重合，兩針垂直，兩針成直線等類(lèi)型。要解答時(shí)鐘問(wèn)題就要了解、熟悉時(shí)針和分針的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和特點(diǎn)。一個(gè)鐘表一圈有60個(gè)小格，這里計(jì)算就以小格為單位。1分鐘時(shí)間，分針走1個(gè)小格，時(shí)針指走了1/60*5=1/12個(gè)小格，所以每分鐘分針比時(shí)針多走11/12個(gè)小格，以此作為后續(xù)計(jì)算的基礎(chǔ)，對(duì)于解決類(lèi)似經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)針、分針垂直或成直線的問(wèn)題非常方便、快捷。例1：從5時(shí)整開(kāi)始，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間后，時(shí)針與分針第一次成了直線?5時(shí)整時(shí)，分針指向正上方，時(shí)針指向右下方，此時(shí)兩者之間間隔為25個(gè)小格(表面上每個(gè)數(shù)字之間為5個(gè)小格)，如果要成直線，則分針要超過(guò)時(shí)針30個(gè)小格，所以在此時(shí)間段內(nèi)，分針一共比時(shí)針多走了55個(gè)小格。由每分鐘分針比時(shí)針都走11/12個(gè)小格可知，此段時(shí)間為55/(11/12)=60分鐘，也就是經(jīng)過(guò)60分鐘時(shí)針與分針第一次成了直線。例2：從6時(shí)整開(kāi)始，經(jīng)過(guò)多少分鐘后，時(shí)針與分針第一次重合?6時(shí)整時(shí)，分針指向正上方，時(shí)針指向正下方，兩者之間間隔為30個(gè)小格。如果要第一次重合，也就是兩者之間間隔變?yōu)?，那么分針要比時(shí)針多走30個(gè)小格，此段時(shí)間為30/(11/12)=360/11分鐘。例3：在8時(shí)多少分，時(shí)針與分針垂直?8時(shí)整時(shí)，分針指向正上方，時(shí)針指向左下方，兩者之間間隔為40個(gè)小格。如果要兩者垂直，有兩種情況，一個(gè)是第一次垂直，此時(shí)兩者間隔為15個(gè)小格(分針落后時(shí)針)，也就是分針比時(shí)針多走了25個(gè)小格，此段時(shí)間為25/(11/12)=300/11分鐘;另一次是第二次垂直，此時(shí)兩者間隔仍為15個(gè)小格(但分針超過(guò)時(shí)針)，也就是分針比時(shí)針多走了55個(gè)小格，此段時(shí)間為55/(11/12)=60分鐘，時(shí)間變?yōu)?時(shí)，超過(guò)了題意的8時(shí)多少分要求，所以在8時(shí)300/11分時(shí)，分針與時(shí)針垂直。由上面三個(gè)例題可以看出，求解此類(lèi)問(wèn)題(經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，分針與時(shí)間成多少夾角)時(shí)，采用上述方法是非常方便、簡(jiǎn)單、快捷的，解題過(guò)程形象易懂，結(jié)果正確率高，是一種非常好的方法。解決此類(lèi)問(wèn)題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)就是抓住分針比時(shí)針多走了多少個(gè)小格，而不論兩者分別走了多少個(gè)小格。下面再通過(guò)幾個(gè)例題來(lái)介紹這種方法的用法和要點(diǎn)。例4：從9點(diǎn)整開(kāi)始，經(jīng)過(guò)多少分，在幾點(diǎn)鐘，時(shí)針與分針第一次成直線?9時(shí)整時(shí)，分針指向正上方，時(shí)針指向正右方，兩者之間間隔為45個(gè)小格。如果要第一次成直線，也就是兩者之間間隔變?yōu)?0個(gè)小格，那么分針要比時(shí)針多走15個(gè)小格，此段時(shí)間為15/(11/12)=180/11分鐘。例5：一個(gè)指在九點(diǎn)鐘的時(shí)鐘，分針追上時(shí)針需要多少分鐘?9時(shí)整時(shí)，分針指向正上方，時(shí)針指向正右方，兩者之間間隔為45個(gè)小格。如果要分針追上時(shí)針，也就是兩者之間間隔變?yōu)?個(gè)小格，那么分針要比時(shí)針多走45個(gè)小格，此段時(shí)間為45/(11/12)=540/11分鐘。例6：時(shí)鐘的分針和時(shí)針現(xiàn)在恰好重合，那么經(jīng)過(guò)多少分鐘可以成一條直線?時(shí)針和分針重合，也就是兩者間隔為0個(gè)小格，如果要成一條直線，也就是兩者間隔變?yōu)?0個(gè)小格，那么分針要比時(shí)針多走30個(gè)小格，此段時(shí)間為30/(11/12)=360/11分鐘。【針對(duì)性練習(xí)】1.十點(diǎn)與11點(diǎn)之間，兩針在什么時(shí)刻成直線(不包括重合情況)？()A.10時(shí)21分B.10時(shí)22分C.10時(shí)21D.10時(shí)21分2現(xiàn)在是下午3點(diǎn)，從現(xiàn)在起時(shí)針和分針什么時(shí)候第一次重合？3。分針和時(shí)針每隔多少時(shí)間重合一次？一個(gè)鐘面上分針和時(shí)針一晝夜重合幾次？4。鐘面上5點(diǎn)零8分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是多少度？5。在4點(diǎn)與5點(diǎn)之間，時(shí)針與分針什么時(shí)候成直角？6.9點(diǎn)過(guò)多少分時(shí)，時(shí)針和分針離“9”的距離相等，并且在“9”的兩邊？【參考答案詳解】1.答案A滿(mǎn)足.分針：6度/分時(shí)針0.5度/分，十點(diǎn)時(shí)，兩針夾角為60度，設(shè)需要時(shí)間為x分，則如圖有60-0.5x=180-6x，x=分，即10時(shí)分兩針成直線。答案A滿(mǎn)足。2.現(xiàn)在是下午3點(diǎn)，從現(xiàn)在起時(shí)針和分針什么時(shí)候第一次重合？解析：分針：6度/分時(shí)針0.5度/分3點(diǎn)整，時(shí)針在分針前面15格，所以第一次重合時(shí)，分針應(yīng)該比時(shí)針多走15格，即90度，用追及問(wèn)題的處理方法解：90/(6-0.5)度/分=16分鐘，所以下午3點(diǎn)16分鐘，時(shí)針和分針第一次重合。3.分針和時(shí)針每隔多少時(shí)間重合一次？一個(gè)鐘面上分針和時(shí)針一晝夜重合幾次？解析：分針：6度/分時(shí)針0.5度/分當(dāng)兩針第一次重合到第二次重合，分針比時(shí)針多轉(zhuǎn)360度。所以?xún)舍樤俅沃睾闲枰臅r(shí)間為：360/(6-0.5)=720/11分，一晝夜有：24×60=1440分，所以?xún)舍樤谝粫円怪睾系拇螖?shù)：1440分/(720/11)分/次=22次4.鐘面上5點(diǎn)零8分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是多少度？解析：分針：6度/分時(shí)針0.5度/分5點(diǎn)零8分，時(shí)針成角：5×30+8×0.5=154度，分針成角：8×6=48度，所以?shī)A角是154-48=106度。5在4點(diǎn)與5點(diǎn)之間，時(shí)針與分針什么時(shí)候成直角？解析：整4點(diǎn)時(shí)，分針指向12，時(shí)針指向4。此時(shí)，時(shí)針領(lǐng)先分針20格。時(shí)，分兩針成直角，必須使時(shí)針領(lǐng)先分針15格，或分針領(lǐng)先時(shí)針15格。因此，在相同時(shí)間內(nèi)，分針將比時(shí)針多走(20-15)格或(20+15)格。(20-15)/(1-1/12)=60/11,即4點(diǎn)5分，(20+15)/(1-1/12)=38分，即4點(diǎn)38分。6.9點(diǎn)過(guò)多少分時(shí)，時(shí)針和分針離“9”的距離相等，并且在“9”的兩邊？解析：設(shè)經(jīng)過(guò)X分，0.5×X=270-6×X,解得X=540/13分，所以答案是9點(diǎn)過(guò)41分。行測(cè)數(shù)學(xué)運(yùn)算：時(shí)鐘問(wèn)題作者:公務(wù)員考試網(wǎng)時(shí)間:2010-01-08|公務(wù)員考試論壇|來(lái)源:中國(guó)公務(wù)員考試信息網(wǎng)行測(cè)數(shù)學(xué)運(yùn)算：時(shí)鐘問(wèn)題基本知識(shí)點(diǎn)：1.設(shè)時(shí)鐘一圈分成了12格，則時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)1格，分針每小時(shí)轉(zhuǎn)12格。2.時(shí)針一晝夜（24小時(shí)）轉(zhuǎn)2圈，分針一晝夜轉(zhuǎn)24圈。3.鐘面上每?jī)筛裰g為30°，時(shí)針與分針成某個(gè)角度一般都有對(duì)稱(chēng)的兩種情況。4.時(shí)針與分針一晝夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次?！纠?】清晨5點(diǎn)時(shí)，時(shí)鐘的時(shí)針和分針的夾角是多少度？（）A.30度B.60度C.90度D.150度［答案］D［解析］清晨5點(diǎn)時(shí)，時(shí)針和分針相差5格，則5×30°＝150°?！纠?】中午12點(diǎn)整時(shí)，鐘面上時(shí)針與分針完全重合。那么到當(dāng)晚12點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針還要重合了多少次？（）A.10B.11C.12D.13［答案］B［解一］從中午12點(diǎn)到晚上12點(diǎn)，時(shí)針走了1圈，分針走了12圈，比時(shí)針多走了11圈。因此，時(shí)針與分針重合了11次。選擇B。［解二］根據(jù)基本知識(shí)點(diǎn)：由于時(shí)針和分針24小時(shí)內(nèi)重合22次，所以12小時(shí)內(nèi)重合11次?！纠?】小李開(kāi)了一個(gè)多小時(shí)會(huì)議，會(huì)議開(kāi)始時(shí)看了手表，會(huì)議結(jié)束時(shí)又看了手表，發(fā)現(xiàn)時(shí)針和分針恰好互換了位置。問(wèn)這次會(huì)議大約開(kāi)了1小時(shí)多少分？（）#中國(guó)公務(wù)員考試信息網(wǎng)A.51B.47C.45D.43［答案］A［解析］根據(jù)題意，會(huì)議開(kāi)了1個(gè)多小時(shí)，那么分針應(yīng)該轉(zhuǎn)了1圈多不到2圈，時(shí)針轉(zhuǎn)了1格多不到2格。由于“時(shí)針和分針恰好互換了位置”，所以時(shí)針和分針?biāo)D(zhuǎn)角度之和應(yīng)該是整整兩圈。假設(shè)這個(gè)過(guò)程經(jīng)過(guò)了T小時(shí)，時(shí)針12小時(shí)轉(zhuǎn)一圈，那么T小時(shí)應(yīng)該轉(zhuǎn)了T/12圈；分針1小時(shí)轉(zhuǎn)一圈，T小時(shí)應(yīng)該轉(zhuǎn)了T圈，那么T+T/12＝2，得到T＝24/13小時(shí)，約合1小時(shí)51分。【例4】某時(shí)刻鐘表時(shí)針在10點(diǎn)到11點(diǎn)之間，此時(shí)刻再過(guò)6分鐘后分針和此時(shí)刻3分鐘前的時(shí)針正好方向相反且在一條直線上，則此時(shí)刻為幾點(diǎn)幾分？（）A.10點(diǎn)15分B.10點(diǎn)19分C.10點(diǎn)20分D.10點(diǎn)25分［答案］A［解析］代入B、C、D，很明顯，這三個(gè)時(shí)刻的3分鐘之前都還是10點(diǎn)多，因此時(shí)針在鐘面上的“10”與“11”之間，而這三個(gè)時(shí)刻6分鐘之后已經(jīng)至少是25分了，即分針已經(jīng)在鐘面上的“5”上或者之后了。我們知道，鐘面上的“10”與“11”之間反過(guò)來(lái)對(duì)應(yīng)的是“4”與“5”之間，所以這三個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的時(shí)間與條件不符，所以選擇A。核心提示鐘面問(wèn)題很多本質(zhì)上是追及問(wèn)題，可選用公式T＝T0+111T0，其中：T為追及時(shí)間，即分針和時(shí)針要“達(dá)到條件要求”的真實(shí)時(shí)間。T0為靜態(tài)時(shí)間，即假設(shè)時(shí)針不動(dòng)，分針和時(shí)針“達(dá)到條件要求”的時(shí)間。例5從鐘表的12點(diǎn)整開(kāi)始，時(shí)針與分針的第一次垂直與再一次重疊中間相隔的時(shí)間是（）。A.43分鐘B.45分鐘C.49分鐘D.61分鐘［答案］C［解析］從12點(diǎn)整往后，時(shí)針與分針第一次垂直到再一次重疊的靜態(tài)時(shí)間T0＝45（分鐘），根據(jù)公式，其間隔時(shí)間T＝T0+T0/11≈49（分鐘）?！纠?】（國(guó)家2006一類(lèi)-45、國(guó)家2006二類(lèi)-45）從12時(shí)到13時(shí)，鐘的時(shí)針與分針可成直角的機(jī)會(huì)有多少次?（）A.1次B.2次C.3次D.4次［答案］B［解一］從12時(shí)到13時(shí)，時(shí)針旋轉(zhuǎn)了30°；分針旋轉(zhuǎn)了360°。分針與時(shí)針?biāo)傻慕嵌葟?°變化到330°（其中包括90°和270°），因此有2次成直角的機(jī)會(huì)。選擇B。［解二］根據(jù)公式：從12點(diǎn)開(kāi)始算，時(shí)針與分針成直角的“靜態(tài)時(shí)間”為15分鐘或45分鐘，追及時(shí)間為15+1511=16411、45+4511=49111分鐘，所以垂直兩次?！纠?】（廣東2008年）時(shí)針與分針在5點(diǎn)多少分第一次垂直？（）A.5點(diǎn)10分B.5點(diǎn)101011分C.5點(diǎn)11分D.5點(diǎn)12分［答案］B［解析］根據(jù)公式：時(shí)針與分針5點(diǎn)后第一次成直角的“靜態(tài)時(shí)間”為10分鐘，追及時(shí)間為10+1011=101011分鐘，所以選擇B。強(qiáng)華公務(wù)員【例8】時(shí)針與分針兩次垂直的間隔有多長(zhǎng)時(shí)間？（）A.32B.32811分C.33分D.34分［答案］B［解一］根據(jù)公式：時(shí)針與分針兩次垂直間隔的“靜態(tài)時(shí)間”為30分鐘，代入公式算得追及時(shí)間為30+3011=32811分鐘，所以選擇B。［解二］根據(jù)基本知識(shí)點(diǎn)：時(shí)針與分針24小時(shí)內(nèi)垂直44次，所以垂直間隔為：24×6044=32811分鐘。核心提示當(dāng)時(shí)鐘問(wèn)題涉及“壞表”時(shí)，其本質(zhì)是“比例問(wèn)題”。解題的關(guān)鍵是抓住“標(biāo)準(zhǔn)比”，按比例計(jì)算。【例9】（國(guó)家2005二類(lèi)-46）有一只鐘，每小時(shí)慢3分鐘，早晨4點(diǎn)30分的時(shí)候，把鐘對(duì)準(zhǔn)了標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，則鐘走到當(dāng)天上午10點(diǎn)50分的時(shí)候，標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是多少?（）A.11點(diǎn)整B.11點(diǎn)5分C.11點(diǎn)10分D.11點(diǎn)15分［答案］C［解析］標(biāo)準(zhǔn)比：標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間走60分鐘時(shí)，慢鐘走57分鐘。此時(shí)，慢鐘從4點(diǎn)30分走到10點(diǎn)50分，一共走了6小時(shí)20分，合380分鐘，假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間走了x分鐘，那么：x∶380=60∶57，可得：x＝400（分鐘）。說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間比慢鐘快400-380＝20分鐘，慢鐘走到了10點(diǎn)50分，實(shí)際上應(yīng)該是11點(diǎn)10分了。【例10】（國(guó)家2005一類(lèi)-46）一個(gè)快鐘每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快1分鐘，一個(gè)慢鐘每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間慢3分鐘。如將兩個(gè)鐘同時(shí)調(diào)到標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，結(jié)果在24小時(shí)內(nèi)，快鐘顯示10點(diǎn)整時(shí)，慢鐘恰好顯示9點(diǎn)整。則此時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是多少？（）A.9點(diǎn)15分B.9點(diǎn)30分C.9點(diǎn)35分D.9點(diǎn)45分［答案］D［解析］快鐘、慢鐘與標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間的差的標(biāo)準(zhǔn)比為1∶3。假設(shè)現(xiàn)在是9點(diǎn)x分（快鐘顯示10點(diǎn)整，慢鐘顯示9點(diǎn)整），那么（60-x）∶（x-0）＝1∶3，解得：x＝45。所以標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是9點(diǎn)45分。時(shí)鐘問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)：時(shí)針每小時(shí)走30度分針每分鐘走6度分針走一分鐘（轉(zhuǎn)6度）時(shí)，時(shí)針走0．5度，分針與時(shí)針的速度差為5．5度。請(qǐng)看例題：【例題1】從12時(shí)到13時(shí)，鐘的時(shí)針與分針可成直角的機(jī)會(huì)有：A．1次B．2次C．3次D．4次【解析】時(shí)針與分針成直角，即時(shí)針與分針的角度差為90度或者為270度，理論上講應(yīng)為２次，還要驗(yàn)證：根據(jù)角度差/速度差=分鐘數(shù)，可得90/5．5=16又4/11＜60，表示經(jīng)過(guò)16又4/11分鐘，時(shí)針與分針第一次垂直；同理，270/5．5=49又1/11＜60，表示經(jīng)過(guò)49又1/11分鐘，時(shí)針與分針第二次垂直。經(jīng)驗(yàn)證，選B可以?！纠}2】在某時(shí)刻，某鐘表時(shí)針在10點(diǎn)到11點(diǎn)之間，此時(shí)刻再過(guò)6分鐘后的分針和此時(shí)刻3分鐘前的時(shí)針正好方向相反且在一條直線上，則此時(shí)刻為A．10點(diǎn)15分B．10點(diǎn)19分C．10點(diǎn)20分D．10點(diǎn)25分【解法1】時(shí)針10—11點(diǎn)之間的刻度應(yīng)和分針20—25分鐘的刻度相對(duì)，所以要想時(shí)針與分針成一條直線，則分針必在這一范圍，而選項(xiàng)中加上6分鐘后在這一范圍的只有10點(diǎn)15分，所以答案為A?！窘夥?】常規(guī)方法設(shè)此時(shí)刻為X分鐘。則6分鐘后分針轉(zhuǎn)的角度為6（X+6）度，則此時(shí)刻3分鐘前的時(shí)針轉(zhuǎn)的角度為0．5（Ｘ＋3）度，以0點(diǎn)為起始來(lái)算此時(shí)時(shí)針的角度為0．5（Ｘ—3）+10×30度。所謂“時(shí)針與分針成一條直線”即0．5（Ｘ—3）+10×30—6（Ｘ+6）=180度，解得Ｘ=15分鐘。著名數(shù)學(xué)難題：時(shí)鐘的時(shí)針和分針由時(shí)鐘的時(shí)針與分針的特殊關(guān)系，產(chǎn)生了許多有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，下面介紹幾例，并研究它們的解法。例1在鐘表正常走動(dòng)的時(shí)候，有多少個(gè)時(shí)針和分針重合的位置？它們分別表示什么時(shí)刻？解：鐘表上把一個(gè)圓分成了60等分，假如時(shí)針從12點(diǎn)開(kāi)始走過(guò)了x個(gè)刻度，那么分針就要走過(guò)12x個(gè)刻度，即分針走了12x分鐘。兩針在12點(diǎn)重合后，當(dāng)分針比時(shí)針多走60個(gè)刻度時(shí)，出現(xiàn)第一次分針和時(shí)針重合；當(dāng)分針又比時(shí)針多走60個(gè)刻度時(shí)，出現(xiàn)第二次分針和時(shí)針重合；……直至回到12點(diǎn)兩針又重合后，又開(kāi)始重復(fù)出現(xiàn)以上情況。用數(shù)學(xué)式子來(lái)表示，即為：12x－x=60m，其中m=1，2，…．

度為1小時(shí)，對(duì)分針來(lái)說(shuō)1個(gè)刻度就是1分鐘。所以，12點(diǎn)以后出現(xiàn)第

出現(xiàn)第四、五、六、七、八、九、十次重合的時(shí)間不難算出，它們?nèi)绻胢=11代入，解得x=60，出現(xiàn)第十一次重合的時(shí)間是12點(diǎn)，這樣就回到了開(kāi)始的時(shí)刻，可見(jiàn)，以上共有11次出現(xiàn)兩針重合的時(shí)間。例2已知：掛鐘比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間每小時(shí)慢2分鐘；臺(tái)鐘比掛鐘每小時(shí)快2分鐘，鬧鐘比臺(tái)鐘每小時(shí)慢2分鐘，手表比鬧鐘每小時(shí)要快2分鐘。試問(wèn)：手表走時(shí)是否標(biāo)準(zhǔn)，若不標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，判斷是快還是慢，快多少或慢多少？為什么？解：(1)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間走60分鐘時(shí)，掛鐘時(shí)間走58分。(2)因?yàn)榕_(tái)鐘比掛鐘每小時(shí)快2分鐘，所以掛鐘走60分鐘時(shí)，臺(tái)鐘走62分鐘。設(shè)當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間走60分時(shí)，即掛鐘走58分，臺(tái)鐘走x1分鐘，則

(3)因?yàn)轸[鐘比臺(tái)鐘每小時(shí)慢2分鐘，所以臺(tái)鐘走60分鐘時(shí)，鬧鐘走58分鐘。設(shè)當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間走60分，臺(tái)鐘走x1分時(shí)，鬧鐘走x2分，則

(4)因?yàn)槭直肀若[鐘每小時(shí)快2分鐘，所以鬧鐘走60分鐘時(shí)，手表走62分鐘。設(shè)當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間走60分時(shí)，鬧鐘走x2分，手表走x3分，則

答：手表走時(shí)不準(zhǔn)，走慢了，每小時(shí)慢0.133分，即大約慢8秒。例3一個(gè)指在九點(diǎn)鐘的時(shí)鐘，分針追上時(shí)針需多少分鐘？解：設(shè)在鐘盤(pán)面上時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)x格后，它與分針重疊，這時(shí)分針轉(zhuǎn)動(dòng)了(45＋x)分，由于分針轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是時(shí)針的12倍，所以有方程

例4時(shí)鐘的分針和時(shí)針在24小時(shí)中，形成過(guò)多少次直角？解：因?yàn)闀r(shí)針1小時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)30°，所以1分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)0.5°，分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)6°．設(shè)x分鐘后，時(shí)針與分針成直角，則有方程x(6°－0.5°)=90°．

針24小時(shí)會(huì)有多少次差90°的倍數(shù)呢？設(shè)有n次，則

由此解得n=88．在這88次中，時(shí)針與分針?biāo)山嵌确謩e為90°，180°，270°，360°，其中180°，360°不合要求，因此總共有44次直角。(注：我們用兩針重合的方法也可算出同樣的結(jié)果。)例5時(shí)鐘的分針和時(shí)針現(xiàn)在恰好重合，那么經(jīng)過(guò)多少分鐘后，可以成為一條直線？直線上。也可這樣解：設(shè)經(jīng)x分鐘后兩針在一直線上，這時(shí)分針轉(zhuǎn)動(dòng)了x分的刻度，而時(shí)

例6在早上不到6點(diǎn)時(shí)，某人看了一下手表，發(fā)現(xiàn)分針與時(shí)針很接近，還差3分鐘就重合了，問(wèn)此時(shí)是什么時(shí)間？解：設(shè)此時(shí)是5時(shí)x分，在手表面上，因?yàn)榉轴?分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)6°，時(shí)針1小時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)30°，則1分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)0.5°，時(shí)針從0點(diǎn)到5點(diǎn)x分轉(zhuǎn)動(dòng)了(150＋0.5x)度，分針從0分到x分轉(zhuǎn)動(dòng)了6x度。因?yàn)榇藭r(shí)分針還差3分鐘與時(shí)針重合，即還差3×6°=18°，所以有方程150＋0.5x－6x=18．解之，得x=24．所以，此時(shí)為5時(shí)24分。下面是關(guān)于時(shí)鐘的一個(gè)更精彩的算題。我們知道愛(ài)因斯坦是一位偉大的物理學(xué)家，他是相對(duì)論的奠基人，他的科學(xué)成就使人類(lèi)跨越了一個(gè)時(shí)空。有一次愛(ài)因斯坦臥病在床，他的一位朋友來(lái)探望他，為解除他的煩悶，他的朋友出了一個(gè)問(wèn)題讓他思考。設(shè)想鐘表的位置在12點(diǎn)整，這時(shí)把長(zhǎng)短針對(duì)調(diào)一下，它們的位置還是合理的。但是，在6點(diǎn)整時(shí)，如果把長(zhǎng)短針對(duì)調(diào)，就成了一個(gè)笑話，因?yàn)檫@時(shí)短針正指在12，而長(zhǎng)針正指在6，這種情況不可能發(fā)生。那么，鐘表的長(zhǎng)短針在什么位置，它們對(duì)調(diào)后能使得在新的位置上所指的仍是實(shí)際上可能的時(shí)間？愛(ài)因斯坦悠然地對(duì)他朋友說(shuō)，這個(gè)問(wèn)題對(duì)病床上的人確是一個(gè)很好的消遣，只可惜它消磨不了我太多時(shí)間。說(shuō)著他坐起身來(lái)，在紙上畫(huà)了一個(gè)草圖，然后寫(xiě)出了問(wèn)題的解答，所花的時(shí)間比你們聽(tīng)這個(gè)故事的時(shí)間還短。問(wèn)題是怎樣解決的呢？第一類(lèi)情況，當(dāng)時(shí)針與分針重合時(shí)，它們可以對(duì)調(diào)。這種情況在例1中已經(jīng)解決，總共在鐘面上有11個(gè)位置。除此以外還有沒(méi)有其他可能呢？設(shè)時(shí)鐘走了x個(gè)刻度，分針走了y個(gè)刻度，仿照例1有方程

當(dāng)兩針對(duì)調(diào)后，就變成時(shí)針走了y個(gè)刻度，分針走了x個(gè)刻度。如果設(shè)分針已在此之前走了n圈，又可得方程

把m，n看成已知數(shù)解這個(gè)方程組，得

由0≤x，y≤60，m，n為正整數(shù)，可知m，n只能取從0到11，總共有144組解。其中當(dāng)m=0，n=0與m=11，n=11時(shí)，兩針都是在12這個(gè)位置,當(dāng)m=n時(shí)，就是第一類(lèi)情況中的11個(gè)重合的位置。當(dāng)m≠n時(shí)，可求出其余的兩針不重合時(shí)的另外的132個(gè)位置。對(duì)一個(gè)臥病之人，愛(ài)因斯坦的思維仍這樣敏捷，不禁使后人為這位巨匠的天賦而驚嘆。行測(cè)試題精選解答：時(shí)鐘問(wèn)題常見(jiàn)種類(lèi)與解法時(shí)鐘是我們?nèi)粘Ｉ钪胁豢扇鄙俚挠?jì)時(shí)工具,生活中也時(shí)常會(huì)遇到與時(shí)鐘相關(guān)的問(wèn)題。關(guān)于時(shí)鐘的問(wèn)題有：求時(shí)間差：例：從上午五點(diǎn)十五分到下午兩點(diǎn)四十五分之間，共有多少時(shí)間？A.8小時(shí)B.8小時(shí)30分C.9小時(shí)30分D.9小時(shí)50分解析：這種屬于最簡(jiǎn)單的時(shí)鐘問(wèn)題。答案是14.45-5.15=9.30C求慢（快）表在幾小時(shí)后顯示什么時(shí)間？例：有一只鐘，每小時(shí)慢3分鐘，早晨4點(diǎn)30分的時(shí)候，把鐘對(duì)準(zhǔn)了標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，則鐘走到當(dāng)天上午10點(diǎn)50分的時(shí)候，標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是()。A．11點(diǎn)整B．11點(diǎn)5分c．1l點(diǎn)1O分D．11點(diǎn)15分解析：慢表顯示經(jīng)過(guò)的時(shí)間是：10：50-4：30=6小時(shí)20分鐘=380分鐘，實(shí)際經(jīng)過(guò)的時(shí)間應(yīng)該是：380÷[（60-3）/60]=400分鐘=6小時(shí)40分鐘，答案為C：4：30+6：40=11：10。例：一個(gè)快鐘每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快1分鐘，一個(gè)慢鐘每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間慢3分鐘。如將兩個(gè)鐘同時(shí)調(diào)到標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，結(jié)果在24小時(shí)內(nèi)，快鐘顯示10點(diǎn)整時(shí)，慢鐘恰好顯示9點(diǎn)整。則此時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是()。A．9點(diǎn)15分B9點(diǎn)30分c．9點(diǎn)35分D9點(diǎn)45分解析：這是2個(gè)不準(zhǔn)確的時(shí)鐘問(wèn)題，也是這種問(wèn)題的一個(gè)延伸。我們可以看到，在一個(gè)小時(shí)內(nèi)，快鐘與慢鐘有4分鐘的差距，而4分鐘里面，1分鐘時(shí)快走造成的，3分鐘時(shí)慢走造成的。所以當(dāng)它們（快慢鐘）的差距有60分鐘時(shí)，那么一樣，1/4的時(shí)間=15分鐘時(shí)快走造成的，3/4的時(shí)間（45分鐘）時(shí)慢走造成的。所以標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間為9點(diǎn)45分，答案為D。戴曉東總結(jié)：其實(shí)這種類(lèi)型題是較為簡(jiǎn)單的，關(guān)鍵把握一點(diǎn)，就是不準(zhǔn)確的時(shí)鐘與標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間的比例關(guān)系，也就是常說(shuō)的一小時(shí)慢（快）多少，然后再推廣到幾個(gè)小時(shí)后，而這種比例是不變的。延伸：通過(guò)第二道例題，大家可以多少感覺(jué)到，有點(diǎn)像路程問(wèn)題，其實(shí)這正是解決時(shí)鐘問(wèn)題中較困難問(wèn)題的一個(gè)核心思想。下面，我們繼續(xù)往下看，來(lái)看看時(shí)鐘問(wèn)題中較為困難的類(lèi)型。求某一時(shí)刻時(shí)針與分針的夾角，兩針重合，兩針垂直，兩針成直線等類(lèi)型。例：中午12點(diǎn)，時(shí)針與分針完全重合，那么到下次12點(diǎn)，時(shí)針與分針重合多少次？萬(wàn)學(xué)金路戴曉東強(qiáng)調(diào)要解答時(shí)鐘問(wèn)題就要了解、熟悉時(shí)針和分針的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和特點(diǎn)。一個(gè)鐘表一圈有60個(gè)小格，這里計(jì)算就以小格為單位。1小時(shí)時(shí)間，分針走60個(gè)小格，時(shí)針只走了5個(gè)小格，所以每小時(shí)分針比時(shí)針多走55個(gè)小格。解析：就此題而言，可以看作是跑道同向相遇問(wèn)題：時(shí)針:v1=5格/小時(shí)分針：v2=60格/小時(shí)n*60=（v2-v1）*12即：重合一次，多走60個(gè)格，假設(shè)重合了N次，所以多走了n*60；再有，一小時(shí)多走（60-5）個(gè)格，總共走了12小時(shí)，所以多走了（60-5）*12個(gè)格。解出：n=11例：從6時(shí)整開(kāi)始，經(jīng)過(guò)多少分鐘后，時(shí)針與分針第一次重合？解析：6時(shí)整時(shí)，分針指向正上方，時(shí)針指向正下方，兩者之間間隔為30個(gè)小格。如果要第一次重合，也就是兩者之間間隔變?yōu)?，那么分針要比時(shí)針多走30個(gè)小格，此段時(shí)間為30/55=6/11小時(shí)=360/11分鐘。例：一個(gè)指在九點(diǎn)鐘的時(shí)鐘，多少分鐘后時(shí)針與分針第一次重合？解析：9時(shí)整時(shí)，分針指向正上方，時(shí)針指向正右方，兩者之間間隔為45個(gè)小格。如果要分針與時(shí)針重合，也就是兩者之間間隔變?yōu)?個(gè)小格，那么分針要比時(shí)針多走45個(gè)小格，此段時(shí)間為45/55小時(shí)=540/11分鐘?？偨Y(jié)：這類(lèi)題型其本質(zhì)就是追擊問(wèn)題。我們知道在追擊問(wèn)題中，關(guān)鍵是要知道路程差，速度差。而在時(shí)針與分針重合問(wèn)題中，路程差就是時(shí)針?lè)轴樦g有多少個(gè)小格，速度差就是一小時(shí)差55格（前面已經(jīng)分析過(guò)）。所以本著這兩點(diǎn)，這類(lèi)問(wèn)題可以迎刃而解。大家可以看看下面這兩個(gè)問(wèn)題：供大家思考，也是對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的延伸。例：爺爺家的老式鐘的時(shí)針與分針每隔66分鐘重合一次,這只鐘每晝夜慢多少分鐘?解析：正常的鐘每隔(12/11)小時(shí)=(720/11)分鐘重合一次，爺爺家的老式鐘是726/11分鐘重合一次，慢了6/11分鐘。每小時(shí)這個(gè)鐘就會(huì)慢【(6/11)/(720/11)】*60=1/2分鐘。一晝夜共慢了1/2*24=12分鐘。時(shí)針?lè)轴樣懻摿瞬簧?，我們稍微換一換，看看分針和秒針的問(wèn)題。例：1個(gè)小時(shí)內(nèi)分針和秒針共重疊（）次。A.60B.59C.61D.55這個(gè)題目很多人認(rèn)為是61次，我們來(lái)討論一下：首先，從一個(gè)理想狀態(tài)來(lái)研究，因?yàn)槔硐霠顟B(tài)也是其中的符合條件的情況，比如正點(diǎn)時(shí)刻分針和秒針都是在12上0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，。。。。。。。58，59，60我們來(lái)仔細(xì)分析當(dāng)0分鐘時(shí)刻，分針秒針都是在一起，算1次重疊。但是在0～1之間卻是沒(méi)有重合的，因?yàn)楫?dāng)秒針從12轉(zhuǎn)一圈之后回到12，此時(shí)的分針已經(jīng)偏離12，1格子的角度了。從1～2分鐘時(shí)刻開(kāi)始，秒針和分針就開(kāi)始在其每分鐘的間隙之間重疊了。當(dāng)?shù)搅?9～60分鐘之間，最后是分針和秒針同時(shí)到達(dá)12上，形成了最后一次重復(fù)。在59～60間隙里面也是沒(méi)有重合的。這樣我們就可以把開(kāi)始0位置上的重合看作是0～1上的重合，60上的重合看作是59～60之間的重合，整個(gè)過(guò)程就發(fā)現(xiàn)就是60次。其次：如果不是理想狀態(tài)。這個(gè)題目就出現(xiàn)了2個(gè)結(jié)果。就是看間隔。59個(gè)間隔至少有59次相遇。第一次的間隔沒(méi)有。這里有一個(gè)問(wèn)題，很多人認(rèn)為當(dāng)出現(xiàn)整點(diǎn)到整點(diǎn)時(shí)刻是不是不包含兩端的端點(diǎn)時(shí)刻。如果題目沒(méi)有交代的情況下是包涵的，跟植樹(shù)問(wèn)題是樣的。如果交代了，自然按照題目交代的情況來(lái)做。時(shí)鐘問(wèn)題經(jīng)典例題詳解例：現(xiàn)在是2點(diǎn)，什么時(shí)候時(shí)針與分針第一次重合？析：2點(diǎn)時(shí)候，時(shí)針處在第10格位置，分針處于第0格，相差10格，則需經(jīng)過(guò)10/11/12分鐘的時(shí)間。例：中午12點(diǎn)，時(shí)針與分針完全重合，那么到下次12點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針重合多少次？析：時(shí)針與分針重合后再追隨上，只可能分針追及了60格，則分針追趕時(shí)針一次，耗時(shí)60/11/12＝720/11分鐘，而12小時(shí)能追隨及12*60分鐘/720/11分鐘/次=11次，第11次時(shí)，時(shí)針與分針又完全重合在12點(diǎn)。如果不算中午12點(diǎn)第一次重合的次數(shù)，應(yīng)為11次。如果題目是到下次12點(diǎn)之前，重合幾次，應(yīng)為11-1次，因?yàn)椴凰阕詈笠淮沃睾系拇螖?shù)。2.分針與秒針秒針每秒鐘走一格，分針每60秒鐘走一格，則分針每秒鐘走1/60格，每秒鐘秒針比分針多走59/60格例：中午12點(diǎn)，秒針與分針完全重合，那么到下午1點(diǎn)時(shí)，兩針重合多少次？析：秒針與分針重合，秒針走比分針快，重合后再追上，只可能秒針追趕了60格，則秒針追分針一次耗時(shí)，60格/59/60格/秒=3600/59秒。而到1點(diǎn)時(shí)，總共有時(shí)間3600秒，則能追趕，3600秒/3600/59秒/次=59次。第59次時(shí)，共追趕了，59次*3600/59秒/次=3600秒，分針走了60格，即經(jīng)過(guò)1小時(shí)后，兩針又重合在12點(diǎn)。則重合了59次。3.時(shí)針與秒針秒針每秒走一格，時(shí)針3600秒走5格，則時(shí)針每秒走1/720格，每秒鐘秒針比時(shí)針多走719/720格。例：中午12點(diǎn)，秒針與時(shí)針完全重合，那么到下次12點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與秒針重合了多少次?析：重合后再追上，只可能是秒針追趕了時(shí)針60格，每秒鐘追719/720格，則要一次要追60/719/720=43200/719秒。而12個(gè)小時(shí)有12*3600秒時(shí)間，則可以追12*3600/43200/719＝710次。此時(shí)重合在12點(diǎn)位置上，即重合了719次。4.成角度問(wèn)題例：在時(shí)鐘盤(pán)面上，1點(diǎn)45分時(shí)的時(shí)針與分針之間的夾角是多少？析：一點(diǎn)時(shí)，時(shí)針?lè)轴槻?格，到45分時(shí)，分針比時(shí)針多走了11/12*45＝41.25格，則分針此時(shí)在時(shí)針的右邊36.25格，一格是360/60＝6度，則成夾角是,36.25*6=217.5度。5.相遇問(wèn)題例：3點(diǎn)過(guò)多少分時(shí)，時(shí)針和分針離“3”的距離相等，并且在“3”的兩邊？析：作圖，此題轉(zhuǎn)化為時(shí)針以每分1/12速度的速度，分針以每分1格的速度相向而行，當(dāng)時(shí)針和分針離3距離相等，兩針相遇，行程15格，則耗時(shí)15/1+1/12=180/13分。例：小明做作業(yè)的時(shí)間不足1時(shí)，他發(fā)現(xiàn)結(jié)束時(shí)手表上時(shí)針、分針的位置正好與開(kāi)始時(shí)時(shí)針、分針的位置交換了一下。小明做作業(yè)用了多少時(shí)間？析：只可能是這個(gè)圖形的情形，則分針走了大弧B-A，時(shí)針走了小弧A-B，即這段時(shí)間時(shí)針和分針共走了60格，而時(shí)針每分鐘1/12格，分針1格，則總共走了60/(1/12+1)=720/13分鐘，即花了720/13分鐘。鐘表上的追及問(wèn)題新課標(biāo)提倡，數(shù)學(xué)走進(jìn)生活，教科書(shū)中出現(xiàn)了與日常生活密切相關(guān)的鐘表問(wèn)題。例如：在3點(diǎn)和4點(diǎn)之間的哪個(gè)時(shí)刻，鐘表的時(shí)針與分針：（1）重合；（2）成平角；（3）成直角。許多同學(xué)面對(duì)此題，束手無(wú)策，不知如何解決。實(shí)際上，因?yàn)榉轴樞D(zhuǎn)的速度快，時(shí)針旋轉(zhuǎn)的速度慢，而旋轉(zhuǎn)的方向卻是一致的。因此上面這類(lèi)問(wèn)題也可看做追及問(wèn)題。通常有以下兩種解法：一.格數(shù)法鐘表面的外周長(zhǎng)被分為60個(gè)“分格”，時(shí)針1小時(shí)走5個(gè)分格，所以時(shí)針一分鐘轉(zhuǎn)分格，分針一分鐘轉(zhuǎn)1個(gè)分格。因此可以利用時(shí)針與分針旋轉(zhuǎn)的“分格”數(shù)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。解析（1）設(shè)3點(diǎn)x分時(shí)，時(shí)針與分針重合，則分針走x個(gè)分格，時(shí)針走個(gè)分格。因?yàn)樵?點(diǎn)這一時(shí)刻，時(shí)針在分針前15分格處，所以當(dāng)分針與時(shí)針在3點(diǎn)與4點(diǎn)之間重合時(shí)，分針比時(shí)針多走15個(gè)分格，于是得方程，解得。所以3點(diǎn)16分時(shí)，時(shí)針與分針重合。（2）設(shè)3點(diǎn)x分時(shí)，時(shí)針與分針成平角。因?yàn)樵?點(diǎn)這一時(shí)刻，時(shí)針在分針前15分格處，而在3點(diǎn)到4點(diǎn)之間，時(shí)針與分針成一平角時(shí)，分針在時(shí)針前30分格處，此時(shí)分針比時(shí)針多走了45分格，于是得方程，解得。所以3點(diǎn)分時(shí)，時(shí)針與分針成平角。（3）設(shè)3點(diǎn)x分時(shí)，時(shí)針與分針成直角。此時(shí)分針在時(shí)針前15分格處，所以在3點(diǎn)到4點(diǎn)之間，時(shí)針與分針成直角時(shí)，分針比時(shí)針多走了30分格，于是得方程，解得。所以3點(diǎn)分時(shí)，時(shí)針與分針成直角。二.度數(shù)法對(duì)鐘表而言，時(shí)針12小時(shí)旋轉(zhuǎn)一圈，分針1小時(shí)旋轉(zhuǎn)一圈，轉(zhuǎn)過(guò)的角度都是360°，所以時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角度是0.5°，分針1分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角度是6°。故也可以利用時(shí)針與分針轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)來(lái)解決這道題。解析（1）設(shè)3點(diǎn)x分時(shí)，時(shí)針與分針重合，則時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度是0.5x°，分針旋轉(zhuǎn)的角度是6x°。整3點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是90°，當(dāng)兩針重合時(shí)，分針比時(shí)針多轉(zhuǎn)了90°，于是得方程，解得。（2）設(shè)3點(diǎn)x分時(shí)，時(shí)針與分針成平角。此時(shí)分針比時(shí)針多轉(zhuǎn)了90°+180°=270°，于是得方程，解得。（3）設(shè)3點(diǎn)x分時(shí)，時(shí)針與分針成直角。此時(shí)分針比時(shí)針多轉(zhuǎn)了，于是得方程，解得。練一練1.鐘表上9點(diǎn)到10點(diǎn)之間，什么時(shí)刻時(shí)針與分針重合？2.鐘表上5點(diǎn)到6點(diǎn)之間，什么時(shí)刻時(shí)針與分針互相垂直？3.鐘表上3點(diǎn)到4點(diǎn)之間，什么時(shí)刻時(shí)針與分針成40°的角？4.鐘表上2點(diǎn)到3點(diǎn)之間，什么時(shí)刻時(shí)針與分針成一直線？（參考答案：1.9點(diǎn)49分； 2.5點(diǎn)43或5點(diǎn)10分；3.3點(diǎn)9分或3點(diǎn)23分； 4.2點(diǎn)43分。）1、鐘表指針重疊問(wèn)題時(shí)鐘問(wèn)題詳細(xì)講解我只是在論壇看到相關(guān)內(nèi)容，并加以整理：一、重合問(wèn)題1、鐘表指針重疊問(wèn)題中午12點(diǎn)，時(shí)針與分針完全重合，那么到下次12點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針重合多少次？（2006國(guó)家考題）A、10B、11C、12D、13答案B2、中午12點(diǎn)，秒針與分針完全重合，那么到下午1點(diǎn)時(shí)，兩針重合多少次？A、60B、59C、61D、62答案B講講第2題，如果第2題弄懂了第1題也就懂了！給大家介紹我認(rèn)為網(wǎng)友比較經(jīng)典的解法：考友1.其實(shí)這個(gè)題目就是追擊問(wèn)題，我們現(xiàn)在以鐘表上的每一刻度為一個(gè)單位，這時(shí)秒針的速度就是是分針?biāo)俣鹊?0倍，秒針和分針一起從12點(diǎn)的刻度開(kāi)始走，多久分針追上時(shí)針呢？我們列個(gè)方程就可以了，設(shè)分針的速度為1格/秒，那么秒針的速度就是60格/秒，設(shè)追上的時(shí)候路程是S，時(shí)間是t，方程為(1+60)t＝S即61t＝S，中午12點(diǎn)到下午1點(diǎn)，秒針一共走了3600格，即S的范圍是0<S<3600，那么t的范圍就是0<t<3600/61,即0<t<59.02，因?yàn)閠只能取整數(shù)，所以t為1～59，也就是他們相遇59次。第1題跟這個(gè)思路是一樣的，大家可以算算！給大家一個(gè)公式吧61T＝S（S為題目中最小的單位在題目所要求的時(shí)間內(nèi)所走的格數(shù)，確定S后算出T的最大值就知道相遇多少次了）如第1題，題目中最小單位為分針，題目所要求的時(shí)間為12小時(shí)，也就是說(shuō)分針走了720格T(max)=720/61.8，取整數(shù)就是11。1、鐘表指針重疊問(wèn)題中午12點(diǎn)，時(shí)針與分針完全重合，那么到下次12點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針重合多少次？A、10B、11C、12D、13考友2.這道題我是這么解,大家比較一下:解:可以看做追及問(wèn)題,時(shí)針的速度是:1/12格/分分針的速度是:1格/分.追上一次的時(shí)間=路程差/速度差=60/(1-1/12)=720/11分從12點(diǎn)到12點(diǎn)的總時(shí)間是720分鐘,所以重合次數(shù)n=總時(shí)間/追上一次的時(shí)間=720/720/11次二、關(guān)于成角度的問(wèn)題，我推薦個(gè)公式及變式給你：設(shè)X時(shí)時(shí)，夾角為30X，Y分時(shí)，分針追時(shí)針5.5，設(shè)夾角為A.（請(qǐng)大家掌握）鐘面分12大格60小格每一大格為360除以12等于30度，每過(guò)一分鐘分針走6度，時(shí)針走0.5度，能追5.5度。1.【30X－5.5Y】或是360－【30X-5.5Y】【】表示絕對(duì)值的意義（求角度公式）變式與應(yīng)用2.【30X－5.5Y】=A或是360－【30X-5.5Y】=A（已知角度或時(shí)針或分針求其中一個(gè)的公式。30×〔(X-Y/5)＋Y/60]=A或30×｛〔（X+12)-Y/5]＋Y/60}=A說(shuō)明變式3.實(shí)質(zhì)上完全等同變式2.例題3〔2000年國(guó)家考題〕某時(shí)刻鐘表時(shí)間在10點(diǎn)到11點(diǎn)之間，此時(shí)刻再過(guò)6分鐘后的分針和此時(shí)刻3分鐘前的時(shí)刻正好方向相反且在一條直線上，則從時(shí)刻為（）A.10點(diǎn)15分B.10點(diǎn)19分C.10點(diǎn)20分D.10點(diǎn)25分思路1.設(shè)時(shí)刻正好方向相反且在一條直線上的分針為Y,用變式2解出30×10－5.5Y=180解出Y=21又9/11分，Y-6=15又9/11分,本題最接近A.(說(shuō)明此國(guó)考題不夠嚴(yán)謹(jǐn)！）思路2.根據(jù)鐘表的特點(diǎn)：首先看時(shí)針在10點(diǎn)到11點(diǎn)之間，那么根據(jù)“正好方向相反且在一條直線上”分針必在4點(diǎn)到5點(diǎn)之間（相對(duì)時(shí)針而言），那么在6分鐘以前分針必在3點(diǎn)附近（相對(duì)時(shí)針而言），運(yùn)用排除法選A(說(shuō)明到這里基本規(guī)律已完畢，在考題中已經(jīng)可以應(yīng)付了，后面的講解作為大家了解，我也是從網(wǎng)絡(luò)搜索的，只是前面知識(shí)的運(yùn)用而已！)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)時(shí)鐘是我們?nèi)粘Ｉ钪胁豢扇鄙俚挠?jì)時(shí)工具。生活中也時(shí)常會(huì)遇到與時(shí)鐘相關(guān)的問(wèn)題。關(guān)于時(shí)鐘的問(wèn)題有：求某一時(shí)刻時(shí)針與分針的夾角，兩針重合，兩針垂直，兩針成直線等類(lèi)型。要解答時(shí)鐘問(wèn)題就要了解、熟悉時(shí)針和分針的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和特點(diǎn)。時(shí)鐘盤(pán)面被等分為12個(gè)大格，那么每個(gè)大格之間的夾角為360°÷12=30°。每個(gè)大格又被分成5個(gè)小格，每個(gè)小格之間的夾角為30°÷5=6°。在鐘表上時(shí)針與分針是同時(shí)運(yùn)動(dòng)的，它們的關(guān)系是：時(shí)針走1小時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)30°，分針轉(zhuǎn)過(guò)360°，恰為一個(gè)圓周。重點(diǎn)?難點(diǎn)在時(shí)鐘問(wèn)題中求解兩針重合、兩針垂直、兩針成直線等問(wèn)題也都是對(duì)求兩針夾角問(wèn)題的擴(kuò)展和延伸。因此只要能夠透徹地分析、解答了兩針夾角問(wèn)題，其他問(wèn)題則有章可循。學(xué)法指導(dǎo)解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，通常分別考慮時(shí)針與分針的轉(zhuǎn)動(dòng)情況，再根據(jù)條件綜合在一起，然后求解，另外，還需要注意全面考慮多種可能的情況。經(jīng)典例題例1如圖1，在時(shí)鐘盤(pán)面上，1點(diǎn)45分時(shí)的時(shí)針與分針之間的夾角是多少？思路剖析將時(shí)鐘盤(pán)面分成12個(gè)分格，那么在1點(diǎn)45分，分針必落在9這個(gè)位置上，而時(shí)鐘針不在1這個(gè)位置上，而是在1和2之間的某個(gè)位置上，也就是要求出從1點(diǎn)到1點(diǎn)45分，45分鐘的時(shí)間時(shí)鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角度。時(shí)針走60分鐘轉(zhuǎn)過(guò)360°÷12=30°，那么走45分鐘，轉(zhuǎn)過(guò)。而且從1點(diǎn)45分時(shí)時(shí)鐘盤(pán)面上時(shí)針、分針的位置易知，從9點(diǎn)整到13點(diǎn)整之間包含有4個(gè)大格。那么此時(shí)時(shí)針與分針的夾角是這兩部分角度的和。解答點(diǎn)津或用變式2.360-（30×1－5.5×45）＝142.5°（思考為什么用360來(lái)減，當(dāng)然在考題中選擇題答案是唯一的好辦！）對(duì)于求兩針夾角的問(wèn)題，我們都可以按照例1的思路求解。從此題的求解中，可以總結(jié)出如下的規(guī)律性結(jié)論：在1點(diǎn)45分時(shí)，兩針夾角：，那么在a點(diǎn)b分時(shí)，兩針夾角：，為了避免a<b÷5的情況（分針在時(shí)針前），通常a采用24時(shí)計(jì)時(shí)法；若a>b÷5（分針在時(shí)針后），則a采用12時(shí)計(jì)時(shí)法。如果所求的角度是大于180°的，那么需與360°求差后求出的值為最后結(jié)果。例2從5時(shí)整開(kāi)始，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間后，時(shí)針與分針第一次成了直線？思路剖析時(shí)針與分針直線也就是說(shuō)兩針的夾角為180°。從5時(shí)整開(kāi)始時(shí)，時(shí)針在一個(gè)小時(shí)之內(nèi)從5運(yùn)轉(zhuǎn)到6，分針從12開(kāi)始在一個(gè)小時(shí)之內(nèi)會(huì)旋轉(zhuǎn)360°，必然在此期間有一個(gè)時(shí)刻時(shí)針與分針成了直線，從圖2中易知此時(shí)刻必然落在11與12之間。此題是已知兩針夾角求時(shí)間的問(wèn)題，與例1正好是個(gè)相反的過(guò)程。我們?nèi)钥砂凑绽?得出的規(guī)律求解。當(dāng)兩針成直線時(shí)，時(shí)間為5點(diǎn)幾分，那么a=5，由于分針位置在11至12之間，則b>55，那么b÷5>11，a<b÷5，應(yīng)采用24小時(shí)計(jì)時(shí)法。只須解一個(gè)方程，便可求解此題。解答時(shí)針與分針第一次成直線，它們的夾角為180°，設(shè)從5時(shí)整開(kāi)始，經(jīng)過(guò)b分后，時(shí)針與分針第一次成直線，這時(shí)分針落在11與12之間，即b÷5>11，而a=5<b÷5，則采用24時(shí)計(jì)時(shí)法，可得方程：那么可知在5時(shí)60分時(shí)，即6時(shí)整，兩針成直線?；蛘?60－〔30×5－5.5×y〕＝180解出y＝60（變式1.好理解些）以下類(lèi)似略了答：從5時(shí)整開(kāi)始，經(jīng)過(guò)60分鐘后，時(shí)針與分針第一次成直線。例3從6時(shí)整開(kāi)始，經(jīng)過(guò)多少分鐘后，時(shí)針與分針第一次重合？思路剖析時(shí)針與分針的重合，在第一次它們的夾角為360°，那么解決兩針重合問(wèn)題的方法與求解兩針成直線問(wèn)題的方法類(lèi)似。從6點(diǎn)整開(kāi)始，一個(gè)小時(shí)之內(nèi)，時(shí)針從6轉(zhuǎn)到7；分針從12開(kāi)始轉(zhuǎn)過(guò)360°，在此期間必有一時(shí)刻兩針重合。解答重合時(shí)兩針都落在6與7之間，因此b÷5>6，而a=6<b÷5，則采用24時(shí)計(jì)時(shí)法，經(jīng)過(guò)b分鐘后兩針重合，得方程：例4在8時(shí)多少分，時(shí)針與分針垂直？思路剖析在8時(shí)多少分時(shí)，兩針垂直應(yīng)有兩種情況。如圖3和圖4所示。圖3是分針在時(shí)針后，此時(shí)的垂直夾角是90°。圖4是分針在時(shí)針前，此時(shí)的垂直夾角是270°。確定了夾角之后，可根據(jù)例1得出的規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。解答分為兩種情況：（1）分針在時(shí)針后，a=8,a>b÷5，可采用12時(shí)計(jì)時(shí)法，設(shè)從8時(shí)整開(kāi)始，經(jīng)過(guò)b1分后，時(shí)針與分針第一次垂直，夾角為90°。得方程：（2）時(shí)針在分針后，a=8，a<b÷5，可采用24時(shí)計(jì)時(shí)法，設(shè)從8時(shí)整開(kāi)始，經(jīng)過(guò)b2分后，時(shí)針與分針第二次垂直，夾角為2700。得方程：由于求得b2=60分，那么經(jīng)過(guò)60分鐘，即在9點(diǎn)鐘時(shí)，兩針第二次垂直。但題意要求是在8點(diǎn)幾分時(shí)垂直，所以此種情況可舍。答：在8小時(shí)點(diǎn)分時(shí)，時(shí)針與分針垂直。例5如圖5所示的時(shí)間是8點(diǎn)20分差一些。如果時(shí)針和分針同6的距離正好相等，試問(wèn)是幾點(diǎn)幾分？思路剖析由于時(shí)針和分針同6的距離正好相等，從圖中可知，時(shí)針和分針與6的距離都是兩個(gè)大格再加上部分大格。注意到時(shí)針多走的部分大格是時(shí)針與8的距離，即在幾分鐘內(nèi)時(shí)針走的格數(shù)，而分針多出的部分大格是分歧針與4的距離，即40個(gè)大格減去分針幾分鐘內(nèi)走的格數(shù)。而這兩部分是相等的。由于分針走5分鐘走1個(gè)大格，那么1分鐘就走個(gè)大格，而時(shí)針60分鐘走1個(gè)大格，那么1分鐘走個(gè)大格。由此可以將經(jīng)過(guò)幾分鐘后時(shí)針與8的距離和分針與4的距離表示出來(lái)，得到方程，進(jìn)而求出結(jié)果。解答發(fā)散思維訓(xùn)練1.求下面各種盤(pán)面上的時(shí)針與分針之間的夾角。（1）3時(shí)25分；（2）8時(shí)40分；（3）9時(shí)12分2.從9點(diǎn)整開(kāi)始，經(jīng)過(guò)多少分，在幾點(diǎn)鐘，時(shí)針與分針第一次成直線？3.小明同時(shí)開(kāi)動(dòng)兩個(gè)鐘后發(fā)現(xiàn)，其中的一個(gè)鐘每小時(shí)慢3分鐘，而另一個(gè)鐘每小時(shí)快2分鐘。過(guò)了一段時(shí)間他再去看這兩個(gè)鐘，發(fā)現(xiàn)那個(gè)快的鐘正好比慢的鐘快1小時(shí)，問(wèn)小明過(guò)了多長(zhǎng)時(shí)間去看的鐘？4.時(shí)針現(xiàn)在表示的時(shí)間是15時(shí)整，那么分針旋轉(zhuǎn)2002周后，時(shí)針表示的時(shí)間是幾時(shí)？5.鐘面上的時(shí)針和分針同時(shí)旋轉(zhuǎn)，在相同的時(shí)間內(nèi)分針旋轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)是時(shí)針旋轉(zhuǎn)度數(shù)的多少倍？6.一個(gè)指在九點(diǎn)鐘的時(shí)鐘，分針追上時(shí)針需要多少分鐘？7.時(shí)鐘的分針和時(shí)針在24小時(shí)中，形成過(guò)幾次直角？8.時(shí)鐘的分針和時(shí)針現(xiàn)在恰好重合，那么經(jīng)過(guò)多少分鐘可以成一條直線？9.在一天的第六個(gè)小時(shí)，小月看了一下表，分針正接近時(shí)針，還差3分的距離就重合。求現(xiàn)在是幾點(diǎn)鐘？請(qǐng)同學(xué)們做完練習(xí)后再看答案！

參考答案1.解：2.解：時(shí)針與分針第一次成直線，即它們的夾角為180。設(shè)從9點(diǎn)整開(kāi)始，經(jīng)過(guò)b分后，時(shí)針與分針第一次成直線，這時(shí)針針必落在3與4之間，即b÷5<4，而a=9>b÷5，可采用12時(shí)計(jì)時(shí)法，得到方程：3.解：快的鐘比慢的鐘每小時(shí)快3+2=5（分鐘），1小時(shí)=60分鐘，快出60分鐘則需經(jīng)過(guò)60÷5=12（小時(shí)）答：小明過(guò)了12小時(shí)去看的鐘。4.解：分針旋轉(zhuǎn)1周經(jīng)過(guò)的時(shí)間是1小時(shí)，那么2002周后經(jīng)過(guò)的是2002個(gè)小時(shí)，一天有24小時(shí)，2002÷24=83……10，即旋轉(zhuǎn)2002周之后經(jīng)過(guò)了83天，還多10個(gè)小時(shí)，而現(xiàn)在的時(shí)間是15時(shí)，15+10=25，25-24=1（小時(shí)）。答：當(dāng)分針旋轉(zhuǎn)2002周之后，時(shí)針表示的時(shí)間是1時(shí)。5.解：由于在相同的時(shí)間內(nèi)分針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)是時(shí)針旋轉(zhuǎn)度數(shù)的多少倍是一個(gè)固定的值，那么不妨看經(jīng)過(guò)1個(gè)小時(shí)，兩針各旋轉(zhuǎn)多少度。1小時(shí)，時(shí)針旋轉(zhuǎn)整個(gè)表盤(pán)的，而分針旋轉(zhuǎn)一周。因此有：1÷=12（倍）。答：相同時(shí)間內(nèi)分針旋轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)是時(shí)針旋轉(zhuǎn)度數(shù)的12倍。6.解：分針追上時(shí)針即兩針重合，設(shè)在9點(diǎn)b分時(shí)兩針重合，夾角為360°，采用24時(shí)計(jì)時(shí)法。7.解：因?yàn)闀r(shí)針在1小時(shí)內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)30°÷60=0.5°，分針1分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)360°÷6=6°，設(shè)：經(jīng)過(guò)x分后，時(shí)針與分針成為直角，那么有方程x×（6°-0.5°）=90°，故x=16。即：一天的開(kāi)始時(shí)，兩針都指12，兩針在16分鐘以后，第一次形成直角。所以，下式成立：16×n=60×24，故n=88。但是，兩針到下次重合前，形成的角依次是90°、180°、270°、360°（相當(dāng)于0°），其中，符合題意的只有90°和270°二個(gè)。因此，24小時(shí)內(nèi)，時(shí)針和分針可以形成44次直角。8.解：設(shè)時(shí)針和分針成一條直線，所需時(shí)間為x分鐘，這樣，分針在表盤(pán)上轉(zhuǎn)動(dòng)6x°，因?yàn)榉轴?分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，時(shí)針則轉(zhuǎn)了0.5x°，那么兩針之差相差180°。6x°-0.5x°=