2021-2022學(xué)年江西省上饒市圭峰中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年江西省上饒市圭峰中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知則的取值范圍是(A)

(B)

(C)

(D)

參考答案：【知識點(diǎn)】對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).B7D

解析：由可轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時，解不等式得；當(dāng)時，解不等式得，綜上所述：的取值范圍是，故選D.【思路點(diǎn)撥】利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對a進(jìn)行分類討論即可。2.已知向量，滿足：||=2，||=4，＜，＞=，則|3﹣2|=（）A．52 B．2 C．100﹣48 D．參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積與模長根式，計算即可．【解答】解：向量，滿足：||=2，||=4，＜，＞=，∴?=2×4×cos=4，∴=9﹣12?+4=9×4﹣12×4+4×16=52，∴|3﹣2|==2．故選：B．3.在△ABC中，若sin2（B+C）+cos2B+cos2C+sinBsinC≥2，則角A的取值范圍是（）A． B．C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】GI：三角函數(shù)的化簡求值．【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值轉(zhuǎn)化成邊，進(jìn)而代入到余弦定理公式中求得cosA的范圍，進(jìn)而求得A的范圍．【解答】解：sin2（B+C）+cos2B+cos2C+sinBsinC≥2?sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥，∴A≤，∵A＞0，∴A的取值范圍是（0，]故選：C．4.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程f（x）＝g（x）有唯一解x0，且x0（0，＋），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A（一一1）B．（一l，0）C．（0，1）D．（1，＋）參考答案：A5.已知數(shù)列為各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，則數(shù)列（

）A．單調(diào)遞增

B．單調(diào)遞減

C．先遞增后遞減

D．是常數(shù)列參考答案：D6.在一次拋硬幣實(shí)驗(yàn)中，甲、乙兩人各拋一枚硬幣一次，設(shè)命題p是“甲拋的硬幣正面向上”，q是“乙拋的硬幣正面向上”，則命題“至少有一人拋的硬幣是正面向下”可表示為（）A．（￢p）∨（￢q） B．p∧（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q參考答案：A【考點(diǎn)】2E：復(fù)合命題的真假．【分析】利用“或”“且”“非”命題的意義即可得出．【解答】解：￢P，表示“甲拋的硬幣正面向下”，￢q表示“乙拋的硬幣正面向下”．則（￢p）∨（￢q）表示“至少有一人拋的硬幣是正面向下”．故選：A．7.已知函數(shù)，則“是奇函數(shù)”是“”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：B試題分析：當(dāng)為奇函數(shù)時，有，得，由誘導(dǎo)公式得，因此，得，得不到；當(dāng)時，為奇函數(shù)，因此“是奇函數(shù)”是“”的必要不充分條件,故答案為B.考點(diǎn)：1、奇函數(shù)的應(yīng)用；2、充分條件和必要條件的判斷.8.下列命題中，真例題的是(

)（A）．，＜0（B）．，（C）．“a＋b＝0”的充要條件是“＝－1”

（D）．“a＞1，b＞1”是“ab＞1“的充分條件參考答案：D9.某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友每位朋友1本，則不同的贈送方法共有（

）A．4種

B．10種

C．18種

D．20種參考答案：B10.直線與圓相交于M,N兩點(diǎn)，若，則k的取值范圍是（

）（A）

（B）（C）

（D）參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為

。參考答案：2

12.已知函數(shù)，，則f(x)的最小值是

．參考答案：化簡：當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，最小值是

13.已知定義在R上的偶函數(shù)，f(x)在時，，若，則a的取值范圍是_____________．參考答案：【分析】函數(shù)，在上都為增函數(shù)，從而得到在上為增函數(shù)，從而由為偶函數(shù)及得到，從而得到，解該不等式即得的取值范圍．【詳解】時，，，在上都是增函數(shù)，在上為增函數(shù)；由已知條件知，得，解得的取值范圍是。答案為：。【點(diǎn)睛】考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，，在區(qū)間上都為增函數(shù)時，+在上也是增函數(shù)，偶函數(shù)的定義，以及增函數(shù)定義的運(yùn)用．14.正四棱形錐S—ABCD的5個頂點(diǎn)都在球O的表面上，過球心O的一個截面如圖，棱錐的底面邊長為1，則球O的表面積為

。參考答案：15.一副撲克牌(有四色，同一色有13張不同牌)共52張．現(xiàn)隨機(jī)抽取3張牌，則抽出的3張牌有且僅有2張花色相同的概率為(用數(shù)值作答)．參考答案：16.平均數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2019，則該數(shù)列的首項(xiàng)為__________．參考答案：1.【分析】由題意可得關(guān)于首項(xiàng)的方程，解方程可得．【詳解】設(shè)該等差數(shù)列的首項(xiàng)為a，由題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得2019+a＝1010×2解得a＝1故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)，涉及中位數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．17.已知與之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)觀測得到的四組觀測值并制作了右邊的對照表，由表中數(shù)據(jù)粗略地得到線性回歸直線方程為，其中的值沒有寫上．當(dāng)不小于時，預(yù)測最大為

；參考答案：

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）設(shè)命題p：函數(shù)的定義域?yàn)镽；命題q：3x﹣9x＜a對一切的實(shí)數(shù)x恒成立，如果命題“p且q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】：復(fù)合命題的真假．【專題】：規(guī)律型．【分析】：分別求出命題p，q成立的等價條件，利用p且q為假．確定實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：要使函數(shù)的定義域?yàn)镽，則不等式ax2﹣x+對于一切x∈R恒成立，若a=0，則不等式等價為﹣x＞0，解得x＜0，不滿足恒成立．若a≠0，則滿足條件，即，解得，即a＞2，所以p：a＞2．∵g（x）=3x﹣9x=﹣（），∴要使3x﹣9x＜a對一切的實(shí)數(shù)x恒成立，則a，即q：a．要使p且q為假，則p，q至少有一個為假命題．當(dāng)p，q都為真命題時，滿足，即a＞2，∴p，q至少有一個為假命題時有a≤2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤2．【點(diǎn)評】：本題主要考查復(fù)合命題與簡單命題之間的關(guān)系，利用條件先求出p，q成立的等價條件是解決此類問題的關(guān)鍵．將p且q為假，轉(zhuǎn)化為先求p且q為真是解決本題的一個技巧．19.設(shè)橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，長軸長等于4，離心率為，直線AB過焦點(diǎn)F1且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)（A在第一象限），△F1AF2與△F1BF2的面積比為7：3．（1）求橢圓的方程；（2）求直線AB的方程．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（1）由于2a=4，=，a2=b2+c2，聯(lián)立解出即可得出．（2）可設(shè)直線AB的方程為：my﹣1=x，A（x1，y1），B（x2，y2）．與橢圓方程聯(lián)立化為：（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，由△F1AF2與△F1BF2的面積比為7：3．可得=，與根與系數(shù)的關(guān)系聯(lián)立解出m即可得出．【解答】解：（1）∵2a=4，=，a2=b2+c2，解得a=2，c=1，b2=3．∴橢圓的方程為：=1．（2）可設(shè)直線AB的方程為：my﹣1=x，A（x1，y1），B（x2，y2）．聯(lián)立，化為：（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，∴y1+y2=，y1y2=，（*）∵△F1AF2與△F1BF2的面積比為7：3．∴=，與（*）聯(lián)立可得：m=．∴直線BA的方程為：y﹣1=x，即3x±4y+3=0．20.設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a為實(shí)數(shù)．

（1）若f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；

（2）若g（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，試求f（x）的零點(diǎn)個數(shù)，并證明你的結(jié)論．參考答案：解：（1）求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=

∵f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，∴≤0在（1，+∞）上恒成立，

∴a≥，x∈（1，+∞）．∴a≥1．

g′（x）=ex-a，若1≤a≤e，則g′（x）=ex-a≥0在（1，+∞）上恒成立，g（x）=ex-ax在（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，無最小值，不符合題意；若a＞e，則g（x）=ex-ax在（1，lna）上是單調(diào)減函數(shù)，在（lna，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，gmin（x）=g（lna），滿足題意．

故a的取值范圍為：a＞e．

（2）g′（x）=ex-a≥0在（-1，+∞）上恒成立，則a≤ex在（-1，+∞）上恒成立，

∴a≤

f′（x）=（x＞0）0＜a≤，令f′（x）＞0得增區(qū)間（0，）；令f′（x）＜0得減區(qū)間（）當(dāng)x→0時，f（x）→-∞；當(dāng)x→+∞時，f（x）→-∞∴當(dāng)x=時，f（）=-lna-1≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a=時取等號∴當(dāng)a=時，f（x）有1個零點(diǎn)；當(dāng)0＜a＜時，f（x）有2個零點(diǎn)；②a=0時，則f（x）=-lnx，∴f（x）有1個零點(diǎn)；

③a＜0時，f′(x)＝≥0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）=lnx-ax在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)當(dāng)x→0時，f（x）→-∞；當(dāng)x→+∞時，f（x）→+∞∴f（x）有1個零點(diǎn)

綜上所述，當(dāng)a=或a≤0時，f（x）有1個零點(diǎn)；當(dāng)0＜a＜時，f（x）有2個零點(diǎn)．略21.（本小題滿分12分）某校決定為本校上學(xué)所需時間不少于30分鐘的學(xué)生提供校車接送服務(wù)．為了解學(xué)生上學(xué)所需時間，從全校600名學(xué)生中抽取50人統(tǒng)計上學(xué)所需時間（單位：分鐘），將600人隨機(jī)編號為001，002，…，600，抽取的50名學(xué)生上學(xué)所需時間均不超過60分鐘，將上學(xué)所需時間按如下方式分成六組，第一組上學(xué)所需時間在［0，10），第二組上學(xué)所需時間在[10，20）…，第六組上學(xué)所需時間在［50，60］，得到各組人數(shù)的頻率分布直方圖，如下圖（1）若抽取的50個樣本是用系統(tǒng)抽樣的方法得到，且第一個抽取的號碼為006，則第五個抽取的號碼是多少？（2）若從50個樣本中屬于第四組和第六組的所有人中隨機(jī)抽取2人，設(shè)他們上學(xué)所需時間分別為a、b，求滿足的事件的概率；（3）設(shè)學(xué)校配備的校車每輛可搭載40名學(xué)生，請根據(jù)抽樣的結(jié)果估計全校應(yīng)有多少輛這樣的校車？

參考答案：（1）600÷50=12，第一段的號碼為006，第五段抽取的數(shù)是6＋（5－1）×12=54，即第五段抽取的號碼是054（2）第四組人數(shù)=0.008×10×50=4，設(shè)這4人分別為A、B、C、D，第六組人數(shù)=0.004×10×50=2，設(shè)這2人分別為,隨機(jī)抽取2人的可能情況是：AB

AC

AD

BC

CD

xy

Ax

Ay

Bx

By

Cx

Cy

Dx

Dy一共15種情況，其中他們上學(xué)所需時間滿足的情況有8種，所以滿足的事件的概率，（3）全校上學(xué)所需時間不少于30分鐘的學(xué)生約有：600×（0.008＋0.008＋0.004）×10=120人，所以估計全校需要3輛校車.

22.(13分)

如圖1，已知：拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，－2），連結(jié)．(1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2）判斷的形狀，并說明理由