有限元分析-空間問題簡介

有限元分析及應用

FiniteElementAnalysisandApplication揚州大學機械工程學院CollegeofMechanicalEngineeringYangzhouUniversity

鄭翔TELPmail:9zhengxiang@163.com1a5.1軸對稱問題5.1.1基本概念、基本方程5.1.2節(jié)點位移與節(jié)點載荷5.1.3單元剛度矩陣5.1.4單元剛度矩陣的疊加5.1.5邊界條件5.1.6工程實例5.2空間問題有限元法5.2.1基本方程5.2.2四面體單元5.2.3等參數(shù)單元5.2.4空間六面體單元5.3工程實例CollegeofMechanicalEngineeringYangzhouUniversity有限元分析及應用第5章空間問題簡介第5章空間問題簡介2a第五章空間問題簡介

工程實際中的很多問題難于簡化為平面問題，如受任意空間載荷作用的任意形狀幾何體，受對稱于軸線載荷作用的回轉(zhuǎn)體，本章簡單介紹兩類問題：軸對稱問題和空間問題的有限元計算。空間問題的主要困難：（1）離散化不直觀（網(wǎng)格自動生成）；（2）未知量的數(shù)目劇增（對某些問題簡化,軸對稱問題）?？臻g分析的優(yōu)點：精確。3a1）幾何形狀關于軸線對稱；2）作用于其上的載荷關于軸線對稱。3）約束條件關于軸線對稱。因過z軸的任一子午面都是對稱面，其上任一點p只在該平面上發(fā)生位移，即彈性體內(nèi)任一點的位移、應力與應變只與坐標r、z有關，與無關。從而，軸對稱問題可轉(zhuǎn)化為二維問題，但因與平面問題有區(qū)別，常稱為二維半問題。5-1軸對稱問題zrxp柱坐標系4a5-1軸對稱問題位移分量應力分量應變分量虛功方程基本方程5a5-1軸對稱問題步驟1：選擇單元類型步驟2：選擇位移函數(shù)步驟3：確定應變位移和應力應變關系步驟4：推導單元剛度陣剛度陣的推導：6a5-1軸對稱問題單元位移函數(shù)利用節(jié)線位移，待定系數(shù)，可得

zroi(rz)rmurjuriumwjwiwiim(rz)mmj(rz)jj單元類型：三角形單元7a5-1軸對稱問題其中為r的函數(shù)，故[B]的元素不是常量，與平面三角形單元有區(qū)別。當r0時，f不存在，即奇異，需近似處理。應變矩陣剛度矩陣8a5-1軸對稱問題1）軸對稱單元為圓環(huán)體，單元與單元間為節(jié)圓相連接；2）節(jié)點力與節(jié)點載荷是施加于節(jié)圓上的均布力；3）單元邊界是一回轉(zhuǎn)面；4）應變分量中出現(xiàn)了，即應變不是常量；且應變矩陣在r0時，存在奇異點，需特殊處理，通常用該單元的形心坐標替代節(jié)點坐標。軸對稱單元的特點（與平面三角形單元的區(qū)別）9a5-2空間問題有限元法基本方程10a5-3四面體單元1.單元類型：2.位移函數(shù)線性位移函數(shù)四面體單元節(jié)點位移向量11a5-3四面體單元

這些系數(shù)為四面體體積V各行各元素的代數(shù)余子式利用節(jié)點位移可待定系數(shù)，并整理為如下形式其中12a5-3四面體單元3.應變矩陣其中顯然[B]為常量矩陣，故四面體單元為常應變單元13a5-3四面體單元4.剛度矩陣14a5-4等參數(shù)單元

從前可知，矩形單元比三角形有更高的精度，而三角形有較矩形單元更好的邊界適應性。實際工程中，往往更希望有單元精度高、邊界適應性好的單元。本章將介紹的等參單元具有此特點。所謂等參單元：即以規(guī)則形狀單元（如正四邊形、正六面體單元等）的位移函數(shù)相同階次函數(shù)為單元幾何邊界的變換函數(shù)，進行坐標變換所獲得的單元。由于單元幾何邊界的變換式與規(guī)則單元的位移函數(shù)有相同的節(jié)點參數(shù)，故稱由此獲得的單元為等參單元。借助于等參單元可以對一般任意形狀的求解域方便地進行有限元離散。15a5-4等參數(shù)單元局部坐標總體坐標變換函數(shù)1.等參變換

將局部坐標下的規(guī)則形狀單元轉(zhuǎn)換為總體坐標下幾何形狀扭曲的單元，以滿足任意形狀離散的要求。

m為單元節(jié)點數(shù)，Ni為局部坐標下表示的形函數(shù)，xi為總體坐標下的節(jié)點坐標對四節(jié)點四邊形等參元，Ni最方便的變換函數(shù)是:16a5-4等參數(shù)單元變換實例xyz

t

3(1,1)4(-1,1)2(1,-1)1(-1,-1)

y=1=1=-1=12(x2,y2)1(x1,y1)3(x3,y3)4(x4,y4)uvP(x,y)17a5-4等參數(shù)單元2.形函數(shù)的性質(zhì)同前注意：不是直線在矩形單元上的變化如圖18a5-4等參數(shù)單元形函數(shù)N1的正確表示直線（1,-1）直線不是平面19a5-4等參數(shù)單元單元內(nèi)任意點p的位移函數(shù)(2D)：其中：Ni和坐標變換式的形函數(shù)相同。3.等參單元位移函數(shù)20a5-4等參數(shù)單元1）應變矩陣注意：應變?yōu)槲灰茖，y的導數(shù)，如四節(jié)點四邊形單元計算式如右：2）復合求導利用x，y，z與局部坐標系的關系，有用于二維等參元4.等參單元剛度矩陣21a5-4等參數(shù)單元記為矩陣(如四節(jié)點四邊形單元)[J]稱為Jacobi矩陣，由坐標變換式確定，當[J]的逆存在時，則形函數(shù)對x，y的導數(shù)可求，即應變陣可求。2）復合求導22a5-4等參數(shù)單元應變矩陣23a5-4等參數(shù)單元一般而言，等參單元的剛度積分很難有解析式，必須進行數(shù)值積分，目前普遍采用高斯數(shù)值積分法。(略)3）剛度矩陣24a5-5空間六面體單元8(x8,y8,z8)1234(x4,y4,z4)5(x5,y5,z5)67xzy

23(1,-1,1)48(1,1,-1)65725a5-5空間六面體單元（i=1,2,…8)其中：例：形函數(shù)26a5-5空間六面體單元1）等參單元為協(xié)調(diào)元，滿足有限元解收斂的充要條件。證明略。2）等參單元存在的充要條件是：為了保證能進行等參變換(即總體坐標與局部坐標一一對應)，通常要求總體坐標系下的單元為凸，即不能有內(nèi)角大于或等于或接近180度情況。等參單元的幾點說明：27a5-5空間六面體單元3）等參單元的優(yōu)點是當單元邊界呈二次以上的曲線時，容易用很少的單元去逼近曲線邊界。4）上述等參單元的理論公式可適應三次以上的曲線型等參元，只是階次提高，單元自由度相應增加，計算更復雜，積分更困難，實際中，很少超過3次曲線型。