采樣數(shù)據(jù)的處理解析教案資料

采樣數(shù)據(jù)的處理解析12.2.1.1相似性根據(jù)相似定理：且時(shí)（空）域乘對應(yīng)頻域除因此III(x)的頻譜為沿s軸間隔為1/的沖激序列。s1/0III(s)令a=1/

：2設(shè)f(x)帶寬為s0（當(dāng)頻率s超過s0時(shí)，f(x)便為0），即F(s)=0，當(dāng)|s|

s0時(shí)。12.2.2使用Shah函數(shù)采樣以等間隔對f(x)采樣，則僅在x=n處取得f(x)的樣本值，在其他地方，f(x)被破壞了，這個(gè)過程相當(dāng)于用III(x/)乘以f(x)，得到g(x)。xf(x)s0sF(s)-s0x1/s0s-s0-1/312.2.3采樣及其頻譜

時(shí)域相乘對應(yīng)頻域卷積，即III(x/)乘f(x)對應(yīng)F(s)卷

III(s)。由于與沖激函數(shù)的卷積產(chǎn)生了函數(shù)本身的復(fù)制品。因此，頻域卷積在s軸上每隔1/復(fù)制了一個(gè)F(s)，也就是說，G(s)是一個(gè)以F(s)重復(fù)的周期函數(shù)。412.2.4采樣定理由上可見，只要從G(s)中得到F(s)，即可從g(x)中獲得f(x)。方法：保留中心處于原點(diǎn)的F(s)，消除其復(fù)制品，即用矩形(s/2s1)去乘G(s)。其中可見，用采樣后的函數(shù)與一個(gè)形式為的內(nèi)插函數(shù)做卷積，即可從g(x)重構(gòu)f(x)。5上述推導(dǎo)的兩個(gè)限制：1)f(x)的譜＜s0。2)奈奎斯特采樣定理：612.2.5內(nèi)插

g(x)與內(nèi)插函數(shù)卷積，等于在每個(gè)采樣點(diǎn)上復(fù)制一個(gè)窄的sinc(x)函數(shù)，而互相重疊的sinc(x)函數(shù)的總和可準(zhǔn)確地恢復(fù)出原函數(shù)。712.2.6欠采樣與混疊（Aliasing）當(dāng)采樣間隔不夠密，即時(shí)，F(xiàn)(s)的復(fù)制品就會部分地重疊，此時(shí)就不能準(zhǔn)確地恢復(fù)出原函數(shù)了。因?yàn)榇藭r(shí)sG(s)01/21/

頻率s1以上的能量被折疊返回到s1以下，并被加到頻譜上，稱為混疊。f(x)和內(nèi)插所得的函數(shù)的差別稱為混疊誤差。當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(s)也是偶函數(shù)，混疊的效果是提高了頻譜中的能量；奇函數(shù)與之相反；非奇非偶函數(shù)及譜則因此比實(shí)際更趨向于偶函數(shù)。812.2.7采樣舉例函數(shù)：頻譜：以等間隔t對f(t)采樣。f(t)的周期是1/f0。過采樣：臨界采樣：欠采樣：嚴(yán)重欠采樣：對正弦信號的臨界采樣：見后面圖示91、過采樣：102、臨界采樣：113、欠采樣：變成低頻了124、嚴(yán)重欠采樣：變成直流了零頻！135、另一種情況：相鄰頻域復(fù)制區(qū)間重疊的奇沖激對在s=fN處重疊并抵消。結(jié)果內(nèi)插后的函數(shù)為0。它其實(shí)相當(dāng)于在正弦函數(shù)的過零點(diǎn)進(jìn)行了采樣，每次采到的都是0。1412.2.7.1圖像數(shù)字化中的混疊聚焦可有效保留信號的高頻成分，而散焦則相當(dāng)于信號的高頻成分減少，帶寬變窄，因而圖像變得模糊些，但不再混疊了。像素寬度小于像素間距像素寬度等于像素間距等效于

結(jié)論：空間采樣點(diǎn)太稀疏，雖然像素很細(xì)小，但只能當(dāng)粗點(diǎn)用，否則會出現(xiàn)高頻混疊。151612.3.1時(shí)域中的截取12.3頻譜計(jì)算對離散的f(t)樣值計(jì)算F(s)，N個(gè)時(shí)域采樣點(diǎn)將對應(yīng)N個(gè)頻譜上的點(diǎn)。通常頻域上的點(diǎn)在s軸上等距分布。頻域采樣間隔與時(shí)域中的截取窗口寬度成反比最高頻率與時(shí)域采樣間隔成反比假定一個(gè)信號f(t)用間距為t的N個(gè)采樣點(diǎn)來代表，則總的采樣區(qū)間寬度T＝Nt。（T為截取窗口的寬度，T外部的信號的采樣被忽略了，相當(dāng)于將截取窗口外的信號置0了）1712.3.2頻域上的截取離散f(t)的頻譜是周期的，周期2sm=1/t

，只需計(jì)算覆蓋F(s)的一個(gè)周期即可。常用的方法是將N個(gè)采樣點(diǎn)均勻地散布在中心位于原點(diǎn)的F(s)的一個(gè)周期上，即當(dāng)在F(s)的一個(gè)周期上取N個(gè)等間隔的采樣點(diǎn)，則Ns

＝

1/t

。其中s

＝

1/Nt＝1/T是頻域中的采樣間隔。因此計(jì)算f(t)頻譜的最好做法是按s

＝

1/T等間隔取，即從-sm到sm。Sm=

1/2t

1812.3.3頻譜計(jì)算由上可見，一個(gè)域中的采樣間隔決定了另一個(gè)域中的截取窗口寬度。要計(jì)算頻譜中的高頻成分（sm

），必須在時(shí)域中細(xì)密地采樣（t

）。而要頻譜中的高分辨率（s

），必須在時(shí)域中采用大的截取窗口（T

）。19采樣和截取參數(shù)小結(jié)參數(shù)域關(guān)系采樣點(diǎn)數(shù)時(shí)頻采樣間隔時(shí)采樣間隔頻截?cái)啻翱趯挾葧r(shí)最大可計(jì)算頻率頻

當(dāng)f(t)是復(fù)數(shù)，有N個(gè)實(shí)部和N個(gè)虛部，變換后產(chǎn)生頻譜中的N個(gè)實(shí)值和N個(gè)虛值。

當(dāng)f(t)是實(shí)數(shù)，有N個(gè)實(shí)部和N個(gè)0（虛部），變換后在頻譜的右半部產(chǎn)生N/2個(gè)偶實(shí)值和N/2個(gè)奇虛值。由于實(shí)函數(shù)的F(s)是Hermite型的，頻譜的左半部是右半部的鏡像。2012.4.1混疊的不可避免性12.4混疊根據(jù)采樣定理，對帶寬有限的函數(shù)采樣時(shí)，只要選擇合適的采樣間距就可完全避免混疊。但是，如果帶寬有限的函數(shù)被截取了一段有限長度T，這個(gè)過程即模型化為將函數(shù)與寬度為T的矩形脈沖相乘，等價(jià)于將其頻譜與無限持續(xù)的sinc(x)函數(shù)在頻域卷積。兩個(gè)函數(shù)的卷積結(jié)果不可能比其中任意一個(gè)窄，因此，經(jīng)截取的函數(shù)的譜在頻域內(nèi)無限延伸。截取破壞了帶寬的有限性，注定了數(shù)字處理在任何情況下都造成混疊。因而我們只能限定其誤差。帶寬有限帶寬無限時(shí)域截取2112.4.2混疊誤差的上界因?yàn)閠有限，不能無限小，因此F(s)被無限展寬。F(s)在形式為1/s的包絡(luò)線內(nèi)，保證了函數(shù)的峰值隨著頻率升高而下降并趨于0。22如果忽略函數(shù)的正弦波動(dòng)，僅考慮F(s)的包絡(luò)線，并注意可能混疊的最大頻譜強(qiáng)度在頻率sm處出現(xiàn)，則可以認(rèn)為這是混疊的最壞情況。定義混疊誤差＝F(sm)/F(0)，由于F(0)＝1，F(xiàn)(s)的包絡(luò)為1/2as，因而混疊上界為混疊誤差的上界與t成正比，與T無關(guān)。因此，當(dāng)t<<2a脈沖寬度時(shí)，混疊誤差即可小到所需的程度。2312.4.3頻譜分辨率

F(s)具有頻率為a的正弦波動(dòng)（周期為1/a）。用M表示在所計(jì)算的頻譜F(s)上每個(gè)周期的采樣點(diǎn)數(shù)，并用它作為頻譜分辨率的量度，則這就是說，如果使采樣周期T與脈沖的半寬度a相比足夠大，即可在F(s)的一個(gè)周期中取得足夠多的采樣點(diǎn)。2412.5.1計(jì)算一個(gè)邊緣的頻譜12.5截取用寬度為T的截取窗口對f(x)截取截取會使計(jì)算得到的譜與實(shí)際的譜不同。需認(rèn)真選擇截取窗口的寬度。xf(x)=sign(x)-110sF(s)=-j/s0j-jxg(x)-110T/2-T/2奇矩形脈沖對25對g(x)進(jìn)行FT：G(s)與F(s)不一樣了，僅在幾個(gè)點(diǎn)處兩者值相等，也就是cos(sT)=0時(shí)。或者sT=i/2時(shí)（i為奇數(shù)）。對應(yīng)s=i/2T。此時(shí)G(s)＝F(s)。26如果令si=i/T，＝0,1,2,…,N/2，則G(si)＝2F(si)（當(dāng)i為奇數(shù)）0（當(dāng)i為偶數(shù)）2712.5.2截取效應(yīng)上例i奇數(shù)時(shí)是正確的（是正常大小的兩倍），而偶數(shù)時(shí)為0。這表明截取在奇數(shù)號點(diǎn)和偶數(shù)號點(diǎn)之間重新分配了能量。將G(is)即G(si)與一個(gè)窄的三角形局部平均濾波器[1/4,1/2,1/4]相卷積，可獲得期望結(jié)果。2812.6數(shù)字處理以下考慮對連續(xù)信號（見下圖）或圖像進(jìn)行截取、采樣、內(nèi)插等進(jìn)行數(shù)字處理后的影響。2912.6.1截取3012.6.2采樣孔徑在采樣點(diǎn)上有一有限寬度的采樣孔徑，信號在該孔徑中被平均。采樣孔徑是寬度為的窄矩形脈沖，則截取后的信號再與采樣孔徑函數(shù)卷積，相當(dāng)于將其譜與sinc(s)相乘。如果采樣窗口是高斯脈沖，則輸出譜將與高斯譜相乘。上述采樣孔的作用是降低了信號中的高頻能量，頻率超過s=1/時(shí)能量極性反轉(zhuǎn)。3112.6.3采樣上述經(jīng)采樣孔徑平滑后的截取后的信號再與III(t/t)相乘，得到采樣結(jié)果。于是采樣后的譜有了周期性（以1/t復(fù)制原來的譜）。3212.6.4內(nèi)插對采樣后的信號插值，以盡可能好地恢復(fù)f(t)。用三角脈沖與采樣后的函數(shù)卷積來實(shí)現(xiàn)插值。由于[sinc(st0)]2隨頻率增加而減小，使得除了位于s=0處的主復(fù)制品外，其余所有復(fù)制品趨向于0。33用h(t)表示對采樣后函數(shù)進(jìn)行內(nèi)插得到的結(jié)果函數(shù)：3412.6.5數(shù)字處理的影響數(shù)字處理對信號的影響是顯然的，那么，究竟有多大？采樣孔徑與內(nèi)插函數(shù)之間一般都有適當(dāng)?shù)年P(guān)系，如采樣孔徑寬度與采樣間距t相等。對于線性插值，t0=t。若截取窗口寬，則其頻譜窄，接近于一個(gè)脈沖，其影響就會減小。如果截取窗口外的原函數(shù)值已經(jīng)為0，截取就不會產(chǎn)生影響了。采樣孔徑相當(dāng)于低通濾波，降低的頻譜中的高頻能量，因而減少了混疊。如果采樣孔徑的傳遞函數(shù)有負(fù)值，會改變高頻能量的極性。用sinc(x)函數(shù)進(jìn)行內(nèi)插最理想。其它內(nèi)插函數(shù)不能完全消除其余復(fù)制品，且還會減少主復(fù)制品的高頻能量。數(shù)字化參數(shù)取決于數(shù)字化設(shè)備的設(shè)計(jì)。截取窗口代表圖像數(shù)字化器的最大視野。采樣孔徑是掃描點(diǎn)的靈敏度，采樣間距可調(diào)節(jié)，并與采樣點(diǎn)直徑相聯(lián)系。對于顯示圖像，其內(nèi)插函數(shù)就是顯示點(diǎn)本身。3512.7混疊誤差的控制用采樣孔徑和采樣間隔來控制。12.7.1抗混疊濾波器孔徑寬度是采樣間距的兩倍，使其傳遞函數(shù)的第一個(gè)過0點(diǎn)位于fN=1/2t。則fN以上的頻率被大大削減。36三角孔徑寬度為4個(gè)樣點(diǎn)寬，其傳遞函數(shù)的第一個(gè)過0點(diǎn)也位于fN=1/2t。相對于矩形脈沖的譜，三角脈沖的譜下降得更快，因此可更有效地減少混疊。與矩形脈沖同樣的是，它也降低了F(s)中低于fN部分的能量。3712.7.2過采樣用小的采樣間隔使折返頻率fN遠(yuǎn)遠(yuǎn)落在高邊帶。這樣，即使混疊污染了頻譜的高頻部分，對我們感興趣的數(shù)據(jù)也基本上無影響。截取窗口足夠大，對信號頻譜造成的影響最小。sG(s)0這部分高頻折疊部分不要了3812.8線性濾波的數(shù)字實(shí)現(xiàn)可以在時(shí)（空）域或頻域（變換域）來實(shí)現(xiàn)。線性系統(tǒng)輸入f(t)輸出g(t)響應(yīng)h(t)輸入F(s)輸出G(s)傳遞函數(shù)H(s)12.8.1卷積濾波對f(t)和h(t)采樣使其頻譜變成周期性的。若兩個(gè)信號都以同樣間距t進(jìn)行采樣，它們的頻譜將具有相同的周期1/t。采樣后信號的卷積，使頻域中兩個(gè)頻譜相乘得到G(s)，那么G(s)也是頻率為t的周期函數(shù)。當(dāng)對g(t)內(nèi)插時(shí)，它的頻譜減為位于原點(diǎn)的一個(gè)復(fù)制品。如果f(t)或h(t)帶寬有限（假定在s=1/2t

以外截止），則g(t)的譜也帶寬有限，通過內(nèi)插可精確恢復(fù)。但是，截取破壞了頻譜