多自由度體系的水平地震作用

多自由度體系的水平地震作用一、振型分解反應(yīng)譜法

多自由度彈性體系在地震時質(zhì)點所受到的地震作用為慣性力，當(dāng)不考慮扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)時，質(zhì)點i上的地震作用為——與第j振型相應(yīng)振子的絕對加速度。

由上式可以求得隨時間變化的曲線，即時程曲線。曲線上的最大值就是設(shè)計用的最大地震作用。則上式又可以寫為

一般采用方法是先求出對應(yīng)于每一振型的最大地震作用（同一振型中各質(zhì)點地震作用將同時達(dá)到最大值）及其相應(yīng)的地震作用效應(yīng)，然后將這些效應(yīng)進(jìn)行組合，以求得結(jié)構(gòu)的最大地震作用效應(yīng)。

1．各振型的最大地震作用

由上式可知，作用在第j振型第i質(zhì)點上的水平地震作用絕對最大標(biāo)準(zhǔn)值為:

令

則作用在第j振型第i質(zhì)點上的水平地震作用絕對最大標(biāo)準(zhǔn)值可表示為:

（i=1,2,…,m；j=1,2,…,n）2．振型組合

求出第j振型第i質(zhì)點上的水平地震作用后，便可以按一般力學(xué)方法計算結(jié)構(gòu)的地震作用效應(yīng)（內(nèi)力、變形）。根據(jù)振型分解法，結(jié)構(gòu)在任意時刻所受到的地震作用為該時刻各振型地震作用之和，并且所求得的相應(yīng)于各振型的地震作用均為最大值。因此按求得的地震作用效應(yīng)Sj也是最大值。

然而，在任一時刻各振型的地震作用并不一定同時達(dá)到最大值，其相應(yīng)的地震作用效應(yīng)也不一定同時達(dá)到最大值。因此，需要進(jìn)行合理的振型組合方式，以確定合理的地震作用效應(yīng)。

振型組合的方式有多種，如求和、取最大、平方和開平方等方法。如假定地震時地面運動為平穩(wěn)的隨機過程，則對于各平動振型所產(chǎn)生的地震作用效應(yīng)可近似采用“平方和開平方”的方法來確定，即：

S——水平地震作用效應(yīng)

Sj——第j振型水平地震作用所產(chǎn)生的作用效應(yīng)，包括內(nèi)力和變形。

將各振型的地震作用效應(yīng)以平方和開平方法求得結(jié)構(gòu)地震作用效應(yīng)；將各振型的地震作用以平方和開平方法進(jìn)行組合，隨后計算其作用效應(yīng)。兩者結(jié)果不同，采用后一種方法，計算結(jié)果將夸大結(jié)構(gòu)的地震作用效應(yīng)。

各個振型在地震總反應(yīng)中的貢獻(xiàn)將隨著頻率的增加而迅速減小。因此在實際計算中，一般采用前2~3個振型即可?？紤]到周期較長結(jié)構(gòu)的各個自振頻率比較接近，因此《抗震規(guī)范》規(guī)定，當(dāng)基本自振周期大于1.5s或房屋高寬比大于5時，可適當(dāng)增加參與組合的振型個數(shù)。

從設(shè)計反應(yīng)譜中可以看出，在長周期段，地震影響系數(shù)下降較快，對于基本周期大于3.5s的結(jié)構(gòu)，根據(jù)振型分解反應(yīng)譜方法計算所得的水平地震作用下的結(jié)構(gòu)作用效應(yīng)可能太小，因此為了保證結(jié)構(gòu)的安全，《抗震規(guī)范》規(guī)定了各樓層水平地震剪力最小值。

——第i層對應(yīng)于水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值的樓層剪力；

λ——剪力系數(shù)，對豎向不規(guī)則結(jié)構(gòu)的薄弱層，尚應(yīng)乘以1.15的增大系數(shù)；

Gi——第i層的重力荷載代表值。

二、底部剪力法

按振型分解反應(yīng)譜方法求解多自由度體系的地震反應(yīng)時，需要計算結(jié)構(gòu)的各個自振頻率，運算較繁。對于滿足一定條件的多自由度結(jié)構(gòu)可以使用更為簡單的底部剪力法。

底部剪力法的適用條件高度不超過40m、以剪切變形為主、質(zhì)量和剛度沿高度分布比較均勻的多自由度結(jié)構(gòu)；近似于單質(zhì)點體系的結(jié)構(gòu)。底部剪力法的基本步驟先計算作用于結(jié)構(gòu)的總水平地震作用，即作用于結(jié)構(gòu)底部的剪力；將總水平地震作用按一定的規(guī)律在分配給各個質(zhì)點。1．結(jié)構(gòu)底部剪力

多質(zhì)點體系在水平地震作用任一時刻的底部剪力為在設(shè)計時取其時程曲線的峰值，即：為簡化計算，根據(jù)底部剪力相等的原則，將多自由度體系用一個與其基本周期相等的單質(zhì)點體系來代替。同時根據(jù)反應(yīng)譜方法，底部剪力就可以簡單地用單自由度體系的公式計算：Geq——結(jié)構(gòu)等效總重力荷載;Gi——集中于質(zhì)點i的重力荷載代表值；

c——等效系數(shù)。根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果分析，其大小與結(jié)構(gòu)的基本周期及場地條件有關(guān)。當(dāng)結(jié)構(gòu)的基本周期小于0.75s時，可近似取0.85；對于單質(zhì)點體系等于1.0。適用于用底部剪力法計算地震作用的結(jié)構(gòu)的基本周期一般都小于0.75s，所以《抗震規(guī)范》規(guī)定對于多質(zhì)點體系取c=0.85；對于單質(zhì)點體系取c=1.0。因此，多質(zhì)點體系的等效總重力荷載即為：2.質(zhì)點的地震作用在求得結(jié)構(gòu)的總水平地震作用后，將其分配到各個質(zhì)點，可以得到各質(zhì)點的地震作用。由于質(zhì)量和剛度沿高度分布比較均勻，高度不高，以剪切變形為主的多自由度結(jié)構(gòu)，其地震反應(yīng)以基本振型為主，而結(jié)構(gòu)的基本振型接近于倒三角形。故假定水平地震作用按倒三角形分布。質(zhì)點的水平地震作用為故根據(jù)假定，振型為倒三角形時故由此可得公式的適用條件上述公式的建立基于使用了結(jié)構(gòu)的基本周期和相應(yīng)的基本振型，對于基本周期較低的結(jié)構(gòu)，計算結(jié)果誤差較小。因此公式適用于基本周期T1≤1.4Tg

的結(jié)構(gòu)。對于周期較長（T1>1.4Tg

）時，需考慮高振型影響的結(jié)構(gòu)，按上述公式計算的結(jié)果，結(jié)構(gòu)頂部的地震剪力偏小，還需進(jìn)行調(diào)整。各質(zhì)點的水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值計算

若各樓層只考慮一個自由度，質(zhì)點i的水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值可按下式計算：其他需要注意的問題當(dāng)房屋頂部有突出屋面的小建筑時，其頂部的地震作用可按上述公式計算。附加集中水平地震作用應(yīng)置于主體房屋的頂部而不置于與小建筑物的頂部。底部剪力法適用于質(zhì)量和剛度沿高度分布比較均勻的結(jié)構(gòu)，當(dāng)房屋頂部