等差數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)

【思考】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)計(jì)算

1.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用（1）等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，共涉及到五個(gè)量a1、n、d、an、Sn.若已知其中三個(gè)量，可求另外兩個(gè)量，也就是我們說(shuō)的“知三求二”，其方法一般是通過(guò)通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式聯(lián)立方程（組）求解.（2）在利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式解題時(shí)，常常要聯(lián)系該公式的變形形式：Sn=或Sn=An2+Bn.【名師指津】2.依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到的結(jié)論.（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn=（2）=a1+（n-1）【特別提醒】注意應(yīng)用等差數(shù)列性質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，同時(shí)在解題過(guò)程中還應(yīng)注意已知與未知的聯(lián)系及整體思想的運(yùn)用.【例1】已知等差數(shù)列{an}.(1)a1=a15=Sn=-5,求n和d;(2)a1=4,S8=172,求a8和d.【審題指導(dǎo)】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式解方程.【規(guī)范解答】（1）∵a15=+(15-1)d=∴d=又Sn=na1+·d=-5,解得n=15,n=-4（舍）.（2）由已知，得S8=解得a8=39,又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5.【變式訓(xùn)練】在等差數(shù)列{an}中，已知a6=10，S5=5，求a8.【解析】方法一：設(shè)公差為d,∵a6=10，S5=5，∴解得∴a8=a6+2d=16.方法二：設(shè)公差為d,∵S6=S5+a6=15，∴15=即3（a1+10）=15.∴a1=-5，d==3.∴a8=a1+（8-1）d=16.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì).(1)項(xiàng)數(shù)（下標(biāo)）的“等和”性質(zhì)：(2)項(xiàng)的個(gè)數(shù)的“奇偶”性質(zhì)：等差數(shù)列{an}中，公差為d：①若共有2n項(xiàng)，則S2n=n（an+an+1）；S偶-S奇=nd；S偶∶S奇=an+1∶an；②若共有2n+1項(xiàng)，則S2n+1=（2n+1）an+1；S偶-S奇=-an+1；S偶∶S奇=n∶（n+1）；③“片段和”性質(zhì)：等差數(shù)列{an}中，公差為d，前k項(xiàng)的和為Sk，則Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…構(gòu)成公差為k2d的等差數(shù)列.【例2】Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S10=100，S100=10，求S110.【規(guī)范解答】方法一:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,則Sn=na1+由已知得①×10-②,整理得d=代入①,得a1=∴S110=110a1+=-110.故此數(shù)列的前110項(xiàng)之和為-110.方法二:數(shù)列S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差數(shù)列,設(shè)其公差為D,前10項(xiàng)和為10S10+·D=S100=10D=-22,∴S110-S100=S10+(11-1)D=100+10×(-22)=-120.∴S110=-120+S100=-110.【變式訓(xùn)練】等差數(shù)列{an}中，a2+a7+a12=24，求S13.【解題提示】利用等差數(shù)列的性質(zhì)Sn=【解析】因?yàn)閍1+a13=a2+a12=2a7，又a2+a7+a12=24，所以a7=8，所以S13==13×8=104.【例】已知等差數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為25，后4項(xiàng)和為63，前n項(xiàng)和為286，求項(xiàng)數(shù)n.【審題指導(dǎo)】題目給出前4項(xiàng)和與后4項(xiàng)和，可利用等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)（下標(biāo)）的“等和”性質(zhì)：Sn=來(lái)求得.【規(guī)范解答】因?yàn)閍1+a2+a3+a4=25，an-3+an-2+an-1+an=63.而a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3，所以4（a1+an）=88，所以a1+an=22，所以Sn==11n=286，所以n=26.故所求的項(xiàng)數(shù)為26.【變式備選】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為377，項(xiàng)數(shù)n為奇數(shù)，且前n項(xiàng)和中奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比為7∶6，求中間項(xiàng).【典例】（12分）在等差數(shù)列{an}中，a1=25，S17=S9，求Sn的最大值.【審題指導(dǎo)】題目給出首項(xiàng)和S17=S9等條件，欲求Sn的最大值可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，或利用通項(xiàng)公式an求n使得an≥0,an+1＜0或利用性質(zhì)求出大于或等于零的項(xiàng).【規(guī)范解答】方法一：設(shè)公差為d,由S17=S9得25×17+=25×…3分解得d=-2，………………6分∴Sn=25n+×（-2）=-（n-13）2+169，………9分由二次函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)n=13時(shí)，Sn有最大值169.……12分方法二：先求出公差d=-2（同方法一），………………6分∵a1=25＞0,故{an}為遞減數(shù)列，由得解得……9分即又n∈N*∴當(dāng)n=13時(shí)，Sn有最大值S13=13×25+×（-2）=169.…………12分方法三：先求出公差d=-2（同方法一），………………6分由S17=S9，得a10+a11+…+a17=0，而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14，故a13+a14=0…………9分∵d=-2＜0,a1＞0,∴a13＞0,a14＜0.故n=13時(shí)，Sn有最大值169.……12分【誤區(qū)警示】對(duì)解答本題時(shí)易犯錯(cuò)誤的具體分析如下：【即時(shí)訓(xùn)練】在等差數(shù)列{an}中，a1=50，d=-0.6.（1）從第幾項(xiàng)起以后各項(xiàng)均小于零？（2）求此數(shù)列前n項(xiàng)和的最大值.【解題提示】（１）實(shí)質(zhì)上是解一個(gè)不等式，但要注意ｎ為正整數(shù)；（２）轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最大值的問(wèn)題．【解析】（1）∵a1=50，d=-0.6,∴an=50-0.6（n-1）=-0.6n+50.6.令-0.6n+50.6≤0，則n≥≈84.3.由n∈N*,故當(dāng)n≥85時(shí)，an＜0，即從第85項(xiàng)起以后各項(xiàng)均小于0.(2)方法一：∵a1=50＞0，d=-0.6＜0，由（1）知a84＞0，a85＜0，∴S1＜S2＜S3＜…＜S84，且S84＞S85＞S86＞….∴（Sn）max=S84=50×84+×（-0.6）=2108.4.方法二：Sn=50n+×（-0.6）=-0.3n2+50.3n=-0.3（n-）2+當(dāng)n取最接近于的自然數(shù)，即n=84時(shí)，Sn取得最大值S84=2108.4.1.在等差數(shù)列{an}中，已知a1=4，a6=6，則前6項(xiàng)和S6=（）（A）70（Ｂ）35（Ｃ）30（Ｄ）12【解析】選Ｃ．S6＝＝30．2.等差數(shù)列{an}的前ｎ項(xiàng)和為Sn，若a3＋a17＝10，則S19＝（）（Ａ）55（Ｂ）95（Ｃ）100（Ｄ）不能確定【解析】選Ｂ．S19＝＝95．3.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝-５n＋２，則其前ｎ項(xiàng)和Sn＝_______．【解析】an+1-an＝-５，∴{an}是等差數(shù)列．a(chǎn)1＝-３，ｄ＝-５，∴Sn＝-３ｎ＋×（-５）＝答案：

4.等差數(shù)列{an}的前ｎ項(xiàng)和為Sn，若a2＝１，a3＝３，則S4＝___________．【解析】∵a2=1，