間接證明反證法 (上課)

2.2.2間接證明

—反證法1a直接證明：(1)綜合法——(2)分析法——由因?qū)Ч麍?zhí)果索因已知條件結論……已知條件結論……2a

反證法：

假設命題結論的反面成立，經(jīng)過正確的推理,引出矛盾，因此說明假設錯誤,從而證明原命題成立,這樣的的證明方法叫反證法。反證法的思維方法：正難則反

3a已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的內(nèi)角.求證：∠A，∠B，∠C中至少有一個不小于60°證明：假設的三個內(nèi)角A，B，C都小于60°，所以∠A

60°，∠B

60°，∠C

60°<<<∴∠A+∠B+∠C<180°這與

相矛盾.三角形內(nèi)角和等于180°∴

不能成立，所求證的結論成立.假設4a反思1：用反證法證題的一般步驟是什么？（1）假設命題的結論不成立；即假設結論的反面成立。（2）從這個假設出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；（3）由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確。假設結論反面成立正確推理導出矛盾否定假設肯定結論5a1、用反正法證明時，導出矛盾有那幾種可能？（1）與原命題的條件矛盾；（3）與定義、公理、定理、性質(zhì)矛盾；（2）與假設矛盾。（1）難于直接使用已知條件導出結論的命題；（2）唯一性命題；（3）“至多”或“至少”性命題；（4）否定性或肯定性命題。2、你認為反證法的使用情形有那些？反思2：（4）與客觀事實矛盾.6a說明：常用的正面敘述詞語及其否定：正面詞語等于大于（>）小于(<)是都是否定正面詞語至多有一個至少有一個任意的所有的至多有n個任意兩個否定不等于小于或等于（≤）大于或等于（≥）不是不都是至少有兩個一個也沒有某個某些至少有n＋1個某兩個7a例1用反證法證明：如果a>b>0，那么我試試8a9a例2

求證：是無理數(shù)。假設不成立，故是無理數(shù)。10a反饋練習1、寫出用“反證法”證明下列命題的第一步“假設”.

(1)互補的兩個角不能都大于90°.

(2)△ABC中,最多有一個鈍角

假設互補的兩個角都大于90°.假設△ABC中,至少有兩個鈍角11a2、“已知:△ABC中,AB=AC.求證:∠B<90°”.下面寫出了用反證法證明這個命題過程中的四個推理步驟.

(1)所以∠B+∠C+∠A>180°.這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾.

(2)所以∠B<90°.(3)假設∠B≥90°.

(4)那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°.即∠B+∠C≥180°.

這四個步驟正確的順序應是()

A.(1)(2)(3)(4) B.(3)(4)(2)(1)

C.(3)(4)(1)(2) D.(4)(3)(2)(1)反饋練習C12a用反證法證明：圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分。已知：如圖，在⊙O中，弦AB、CD交于點P，且AB、CD不是直徑.求證：弦AB、CD不被P平分.例

證明：假設弦AB、CD被P平分，連結

AD、BD、BC、AC,

DPOBAC因為弦AB、CD被P點平分，所以四邊形ADBC是平行四邊形所以因為ABCD為圓內(nèi)接四邊形所以因此所以，對角線AB、CD均為直徑，這與已知條件矛盾，即假設不成立所以，弦AB、CD不被P平分。13a用反證法證明：圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分。已知：如圖，在⊙O中，弦AB、CD交于點P，且AB、CD不是直徑.求證：弦AB、CD不被P平分.POBADC例1由于P點一定不是圓心O，連結OP，根據(jù)垂徑定理的推論，有所以，弦AB、CD不被P平分。證明：假設弦AB、CD被P平分，即過點P有兩條直線與OP都垂直，這與垂線性質(zhì)矛盾，即假設不成立證法二OP⊥AB，OP⊥CD，14a2.已知a≠0，證明x的方程ax=b有且只有一個根。演練反饋15a

16a17a【方法總結】推出矛盾，可通過特殊值進行說明。18a[例4]已知0<a≤3，函數(shù)f(x)＝x3－ax在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，設當x0≥1，f(x0)≥1時，f(f(x0))＝x0，求證：f(x0)＝x0.[分析]要求證明存在某個對象具有某種特殊性質(zhì)，而我們又無法具體地指出這個對象來，如本例，此時應考慮用反證法來解決．19a[證明]假設f(x0)≠x0，則必有f(x0)>x0或f(x0)<x0，若f(x0)>x0≥1，由f(x)在[1，＋∞)上為增函數(shù)，則f(f(x0))>f(x0)，又f(f(x0))＝x0，∴x0>f(x0)，與假設矛盾，若x0>f(x0)≥1，則f(x0)>f(f(x0))，又f(f(x0))＝x0，∴f(x0)>x0也與假設矛盾．綜上所述，當x0≥1，f(x0)≥1且f(f(x0))＝x0時有f(x0)＝x0.20a已知p3＋q3＝2，求證：p＋q≤2.[證明]假設p＋q＞2，那么p＞2－q，∴p3＞(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3.將p3＋q3＝2代入得，6q2－12q＋6＜0，即6(q－1)2＜0.由此得出矛盾．∴p＋q≤2.21a22a1、如果一條直線經(jīng)過平面內(nèi)一點，又經(jīng)過平面外一點，則此直線與平面相交?！驹囈辉嚒?、證明：3、已知方程2x=3，求證方程有且只有一根【作業(yè)】P54

練習1、2A組323a演練反饋1、寫出下列命題，用反證法證明的第一步（1）已知a=b，則